2個(gè)競(jìng)賽不等式的統(tǒng)一證明

●

(常熟市中學(xué) 江蘇常熟 215500)

2個(gè)競(jìng)賽不等式的統(tǒng)一證明

●査正開(kāi)

(常熟市中學(xué) 江蘇常熟 215500)

2012年愛(ài)爾蘭國(guó)家?jiàn)W林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有2個(gè)不等式證明題，應(yīng)用常規(guī)的不等式證明方法處理均需一定的技巧，對(duì)實(shí)施新課程后的學(xué)生來(lái)說(shuō)有較大的難度.為此筆者采用“函數(shù)法”(文獻(xiàn)[1])給出它們統(tǒng)一的簡(jiǎn)潔證明，以便使廣大學(xué)生能很好地掌握.

例1若x,y∈R+，則(x+y)5≥12xy(x3+y3)；并證明式中系數(shù)12是最佳的，即證明：對(duì)任意k>12都存在正實(shí)數(shù)x,y滿足(x+y)5

(2012年愛(ài)爾蘭國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

x2+y2=4xy，

于是

(2012年愛(ài)爾蘭國(guó)家數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

當(dāng)0b>0時(shí)，f′(a)≥0,從而當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，f(a)取到最小值，即

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，上式等號(hào)成立，于是當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，f(a)取到最小值0，因此

上述2個(gè)不等式均采用“函數(shù)法”理念，借助導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性并求出最值完成對(duì)不等式的證明，這樣可規(guī)避傳統(tǒng)不等式證明中靈活多變的方法和高難技巧，使解題有明確的指向和固有的定式，思維流暢自然，很多復(fù)雜的不等式問(wèn)題都迎刃而解，具有較廣泛的適用性.這樣處理不等式問(wèn)題既適應(yīng)新課程“降低不等式證明要求，強(qiáng)化函數(shù)(導(dǎo)數(shù))的應(yīng)用”的需求，又迎合“淡化特殊技巧，注重通性通法”的新高考理念，且符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能有效提高學(xué)生的思維能力和解題能力，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)的高效學(xué)習(xí)，值得在教學(xué)中加以推廣和運(yùn)用.

[1] 査正開(kāi).自主招生數(shù)學(xué)試題中用“函數(shù)法”求不等式問(wèn)題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2012(9)：39-41.