均勻圓陣下單個(gè)近場(chǎng)源信號(hào)四維參數(shù)估計(jì)快速算法

吳云韜，張彥斌，曹 輝，汪 海

（1.武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.武漢工程大學(xué)智能機(jī)器人湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074）

0 引 言

利用空間位置分散的陣元組成的陣列來進(jìn)行空間信號(hào)源定位在雷達(dá)、聲納和無線通信等方面有著重要的應(yīng)用.而用均勻圓陣（Uniform Circle Array，以下簡(jiǎn)稱：UCA）估計(jì)信號(hào)源位置相對(duì)于其它陣列結(jié)構(gòu)有著360°的全方位角覆蓋范圍、幾乎不變的方向圖和額外的俯仰角信息等優(yōu)點(diǎn)［1－2］.近年來，文獻(xiàn)［1－4］研究了基于圓陣的近場(chǎng)源無源定位問題.文獻(xiàn)［2］中首先利用三維多重信號(hào)分類算法（3－Dimensions Multiple Signal Classification Method，以下簡(jiǎn)稱：3－D MUSIC）來聯(lián)合估計(jì)出近場(chǎng)源的方位角、俯仰角和距離［2］，但基于 MUSIC的方法由于需要3－D搜索計(jì)算因而計(jì)算復(fù)雜度高而難以工程實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn).通過在UCA陣的中心增加一個(gè)陣元，Bea［3］等最近提出了一種計(jì)算量比較小的基于最小二乘（Least Square，LS）的近場(chǎng)源定位算法，但是這種方法只適用于非圓信號(hào)源.筆者提出了一種基于最小二乘的快速信源定位算法，該算法首先給出方位角、俯仰角和頻率的估計(jì)，然后再估計(jì)出距離參數(shù).和文獻(xiàn)［3］不同的是，該方法無需利用UCA中心的參考陣元，且信號(hào)源無需非圓特性假設(shè).該算法的核心思想是利用UCA的中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)構(gòu)造出兩個(gè)相關(guān)序列，且該相關(guān)序列的相位上包含信號(hào)的位置信息，然后利用構(gòu)造的相關(guān)序列的相位信息估計(jì)出信號(hào)源的4－D參數(shù).值得注意的是所提算法可以認(rèn)為是遠(yuǎn)場(chǎng)定位方法的一個(gè)推廣.仿真結(jié)果表明提出的算法和單個(gè)信號(hào)源的4－D MUSIC算法在性能上相當(dāng)，但在計(jì)算復(fù)雜度上所提算法因不需要三維搜索和特征分解而具有顯著優(yōu)勢(shì).

1 提出的方法

假定中心對(duì)稱均勻圓陣的半徑為R，且放置M（2的倍數(shù)）個(gè)陣元，所有的陣元分布在xy平面上，且UCA的中心為相位參考點(diǎn).假設(shè)窄帶近場(chǎng)信號(hào)源在球面坐標(biāo)系統(tǒng)上的位置參數(shù)為（θ，φ，r）：θ∈［0，2π）是信號(hào)的方位角，表示從x軸的正方向按逆時(shí)針方向所旋轉(zhuǎn)的角度；φ∈［0，π／2）是信號(hào)的俯仰角，表示從z軸的正方向按從上往下所旋轉(zhuǎn)的角度；距離r是信號(hào)離UCA中心的距離，設(shè)w0是信號(hào)載波的頻率，則第k個(gè)陣元上的接收數(shù)據(jù)可以寫成［2］：

式（1）中：s（n）為零均值的復(fù)窄帶信號(hào)，其功率為E［｜s（n）｜2］＝，E［·］為期望運(yùn)算符；噪聲｛wk（n）｝是各態(tài)歷經(jīng)、零均值、空域和時(shí)域上的復(fù)白高斯過程，且和信號(hào)源相互獨(dú)立；N為快拍數(shù)；λ是信號(hào)的波長；rk（θ，φ，r）是信號(hào)源和第k個(gè)陣元間的距離，它可以寫成如下的形式：

這里，

γk＝2π（k－1）／M 為第k個(gè)陣元的方位角.我們的任務(wù)是在獲得｛xk（n）｝后估計(jì)θ，φ，r，w0.

當(dāng)r足夠大時(shí)，根據(jù)泰勒展開，式（2）可以近似為：

把式（4）帶入到式（1）中，有

在陣列配置的中心對(duì)稱性和陣元數(shù)為偶數(shù)的假設(shè)下，可以得到γM／2＋k＝γk＋π，并由此可以得到：

式（6）中：ak（θ，φ）為第k個(gè)陣元對(duì)信號(hào)源的復(fù)響應(yīng).（·）＊為復(fù)共軛算子.同時(shí)有關(guān)系式γM／4＋k＝γk＋π／2，由此可以得到：

根據(jù)式（6）和式（7），利用｛xk（n）｝構(gòu)造兩個(gè)相關(guān)序列且：

當(dāng)N和信噪比都足夠大時(shí)，且當(dāng)各態(tài)歷經(jīng)條件成立時(shí)，xk（n）≈xk（n＋1），p（k）可以近似表示為［1］，

同樣的，式（9）可以如下近似：

1.1 信號(hào)源角度和載波頻率的估計(jì)

首先從式（10）中估計(jì)出θ、φ和w0，然后從式（11）中估計(jì)出r.令wk為p（k）的相角，從式（10）中可以得到

式（12）中mk為整數(shù).假設(shè)式（12）中的相位模糊問題已經(jīng)通過選擇適當(dāng)?shù)膍k得到解決［5－6］，這樣就可以得到唯一的角度估計(jì).不失一般性，假設(shè)mk＝0，于是式（12）可以寫成

這里，（·）T為轉(zhuǎn)置算子.于是b的最小二乘估計(jì)，寫成，為

對(duì)θ，φ，w0的估計(jì)，寫成，可以由給出：

需要指出的是，上述估計(jì)步驟和文獻(xiàn)［4，6－7］是一樣的.

1.2 信號(hào)源距離的估計(jì)

利用前面估計(jì)的角度結(jié)果，筆者將給出距離的估計(jì)，設(shè)uk為qk的相位，可以從式（11）中得到如下關(guān)系：

將式（19）表示成矩陣形式有，

這里，

2 仿真結(jié)果

筆者將所提算法和3－D MUSIC［2］的性能在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行比較，入射信號(hào)為單個(gè)窄帶近場(chǎng)信號(hào)，噪聲為加性高斯白噪聲.設(shè)定仿真參數(shù)M＝8，R＝λ＝1，信號(hào)參數(shù)為（θ，φ，r，w0）＝（70，10，1.5R，0.2），快拍數(shù) N＝200.用均方差來評(píng)價(jià)算法的估計(jì)性能，性能結(jié)果為300次獨(dú)立運(yùn)行的均值.圖1～圖4給出了所提算法proposed和傳統(tǒng)的基于MUSIC方法的參數(shù)估計(jì)性能比較，圖中均方誤差越小越好.由圖1～圖4可以看出，兩種方法的估計(jì)性能大致相當(dāng)，但在計(jì)算復(fù)雜度方面，比較300次獨(dú)立運(yùn)算的總時(shí)間即單個(gè)信噪比（Signal to Noise Ratio，以下簡(jiǎn)稱：SNR），所提算法只要0.2246s，而3－D MUSIC方法卻要349.8254s，表明本文算法具有顯著優(yōu)勢(shì).

圖1 θ的均方誤差隨著SNR的變化曲線Fig.1 Mean square error ofθversus SNR

3 結(jié) 語

本文針對(duì)UCA陣列結(jié)構(gòu)，提出了一種對(duì)單個(gè)近場(chǎng)源信號(hào)進(jìn)行定位的快速算法，并給出了信號(hào)的方位角、俯仰角、距離和載波頻率參數(shù)的閉式解.仿真結(jié)果表明，所提算法在性能上和3－D MUSIC相近，但具有更低的計(jì)算復(fù)雜度而利于工程實(shí)時(shí)應(yīng)用.該方法只能處理單個(gè)近場(chǎng)信號(hào)源，而無法解決存在多個(gè)信號(hào)源情況下的定位問題，推廣到多個(gè)信號(hào)源是筆者需要進(jìn)一步探討的問題.

圖2 φ的均方誤差隨著SNR的變化曲線Fig.2 Mean square error ofφversus SNR

圖3 r的均方誤差隨著SNR的變化曲線Fig.3 Mean square error of r versus SNR

圖4 w0的均方誤差隨著SNR的變化曲線Fig.4 Mean square error of w0versus SNR

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