如何打好函數(shù)概念這張牌（續(xù)）

北京市第八十中學(xué) 索云旺 張啟華 （郵編：100102）

山西長(zhǎng)治第二中學(xué) 張銳軍 （郵編：046000）

（續(xù)上期）

4 教學(xué)過(guò)程

（1課時(shí).北京市朝陽(yáng)區(qū)公開(kāi)課，授課對(duì)象：北京市第八十中學(xué)科學(xué)創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，基礎(chǔ)較好，有一定自學(xué)能力、推理能力和創(chuàng)造能力.點(diǎn)評(píng)：第八屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獲獎(jiǎng)?wù)?、特?jí)教師張銳軍）

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出研究問(wèn)題

師：利用數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)的眼光研究運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象的著眼點(diǎn)是什么？以公路上勻速行駛的汽車為例.

點(diǎn)評(píng)：本問(wèn)題的提出是為了讓學(xué)生了解函數(shù)概念產(chǎn)生的背景，感受函數(shù)概念源于“現(xiàn)實(shí)”的基本思想.但考慮到提的問(wèn)題太大，教師舉出一個(gè)學(xué)生非常熟悉的公路上勻速行駛的汽車，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)探究的欲望.

4.2 學(xué)生探索，推斷依賴關(guān)系

生1：著眼點(diǎn)是汽車行駛里程、汽車行駛時(shí)間，行駛里程依賴行駛時(shí)間變化而變化的關(guān)系.

師：你的著眼點(diǎn)是變量，以及變量之間的依賴關(guān)系，請(qǐng)?jiān)倥e幾個(gè)例子.

生2：我國(guó)人口問(wèn)題，變量為人口數(shù)、時(shí)間（年），人口數(shù)依賴時(shí)間（年）的變化而變化的關(guān)系.

生3：每天氣溫依賴時(shí)間變化而變化的關(guān)系，變量為氣溫、時(shí)間.

師：如果我們?nèi)サ暨@些例子的現(xiàn)實(shí)背景，它們的共同點(diǎn)是什么？

生3：都有兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量依賴于另一個(gè)變量變化而變化.

師：很好！現(xiàn)實(shí)世界中，像這樣涉及兩個(gè)變量，且其中一個(gè)變量依賴于另一個(gè)變量變化而變化的事物或現(xiàn)象的例子多嗎？

眾生：很多！

師：正因?yàn)檫@樣的例子多，值得我們研究.在初中我們?cè)?jīng)把前一個(gè)變量叫做后一個(gè)變量的？

生4：函數(shù).

師：請(qǐng)同學(xué)敘述一下初中學(xué)過(guò)的函數(shù)定義？

生5：（初中定義，略）

師：根據(jù)這個(gè)定義，要說(shuō)y是x的函數(shù)，這兩個(gè)變量之間必須具備怎樣的關(guān)系？

生6：“對(duì)應(yīng)關(guān)系”

4.3 語(yǔ)言變式，識(shí)別對(duì)應(yīng)關(guān)系

師：與我們剛才說(shuō)的“依賴關(guān)系”意思一致嗎？

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)語(yǔ)言變式，換一種說(shuō)法，識(shí)別出“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，為用“對(duì)應(yīng)關(guān)系”描述變量之間依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ).

4.4 師生交流，歸類對(duì)應(yīng)關(guān)系

師：好！兩個(gè)變量之間是怎么對(duì)應(yīng)的？是一一對(duì)應(yīng)嗎？

點(diǎn)評(píng)：雖然不少老師并不贊成在“一一對(duì)應(yīng)”或“多一對(duì)應(yīng)”下工夫，但是，我們的教學(xué)實(shí)踐和教學(xué)觀察認(rèn)為：這是學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)、學(xué)會(huì)用“對(duì)應(yīng)關(guān)系”刻畫(huà)變量之間的依賴關(guān)系不可缺少的必經(jīng)階段！數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)不在于記住一個(gè)個(gè)抽象的概念和命題，而在于和它之前的背景知識(shí)交融在一起形成解決問(wèn)題的能力.

生7：有些是“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，也有“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

師：你能通過(guò)舉例說(shuō)得具體些嗎？（略）.經(jīng)過(guò)同學(xué)們的討論，兩個(gè)變量滿足的是“一對(duì)一”與“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，函數(shù)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

請(qǐng)同學(xué)再舉一個(gè)自變量x與因變量y是“多對(duì)一”對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)例子.

生8：二次函數(shù)y＝x2，是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

師：非常好！你能用集合語(yǔ)言表示這個(gè)函數(shù)中自變量x的取值范圍、因變量y的取值范圍嗎？

生9：x的取值范圍是R，因變量y的取值范圍是｛y｜y≥0｝.

4.5 轉(zhuǎn)換情境，推斷對(duì)應(yīng)關(guān)系

對(duì)以下三個(gè)問(wèn)題“鑒別”出變量，寫(xiě)出變量的取值集合，推斷“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，并判斷變量之間是否是函數(shù)關(guān)系？

問(wèn)題1、問(wèn)題2、問(wèn)題3（略，人教社A版教材第15頁(yè)）

生10：三個(gè)問(wèn)題中兩個(gè)變量之間都是函數(shù)關(guān)系，因?yàn)榉虾瘮?shù)定義.

師：請(qǐng)用集合語(yǔ)言回答三個(gè)問(wèn)題中兩個(gè)變量之間都是函數(shù)關(guān)系的理由.

生11：對(duì)問(wèn)題1，對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對(duì)應(yīng)，所以h是t的函數(shù).對(duì)問(wèn)題2、問(wèn)題3（同樣，略）

師：如果我們拋去三個(gè)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)背景，要說(shuō)變量y（y∈B）是變量x（x∈A）的函數(shù)，如何表述呢？

生12：對(duì)于數(shù)集A的每一個(gè)x，按照“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù).

師：很好！要說(shuō)y是x的函數(shù)，對(duì)于數(shù)集A的有幾個(gè)x同時(shí)與數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)重要嗎？

生12：不重要.

師：那請(qǐng)你再概括一下？

生12：對(duì)于數(shù)集A的每一個(gè)x，按照某種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù).

4.6 師生交流，評(píng)論對(duì)應(yīng)關(guān)系

師：要說(shuō)變量y是變量x的函數(shù)，數(shù)集A、數(shù)集B、“對(duì)應(yīng)關(guān)系”你認(rèn)為哪個(gè)因素更重要些呢？

眾生：“對(duì)應(yīng)關(guān)系”

師：很好！兩個(gè)數(shù)集中兩個(gè)變量之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是“初中定義”中y是x函數(shù)的關(guān)鍵要素，在它們的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下是函數(shù)關(guān)系，與是否用變量x表示出變量y有關(guān)系嗎？

眾生：無(wú)關(guān).

師：請(qǐng)舉例說(shuō)明.

生13：前面公路上勻速行駛汽車的例子中兩個(gè)變量s、t滿足“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用變量t可以表示出s，即s＝80t（設(shè)汽車行駛的速度是80千米／每小時(shí)），問(wèn)題1中的兩個(gè)變量h、t滿足多“對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用變量t亦可以表示出h，即h＝130t－5t2（課前準(zhǔn)備曾讓學(xué)生求解過(guò)解析式）.但是，同學(xué)2、同學(xué)3所舉的例子及問(wèn)題2、問(wèn)題3中的兩個(gè)變量在它們的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下，卻無(wú)法用一個(gè)變量表示出另一個(gè)變量，所以兩個(gè)數(shù)集中的兩個(gè)變量在它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系下是函數(shù)關(guān)系，與是否用變量x表示出變量y無(wú)關(guān).

4.7 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，產(chǎn)生引入f的可能

師：在用圖象、表格表示的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下的兩個(gè)變量，如果也能用變量x表示出變量y的話，那么我們就可以把在三種類型（解析式、圖象、表格）“對(duì)應(yīng)關(guān)系”下的兩個(gè)變量，一般地用變量x表示出變量y來(lái)，實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一和諧之美！

點(diǎn)評(píng)：制造強(qiáng)烈的、合乎自然邏輯的認(rèn)知沖突，提出高認(rèn)知水平的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)與探究的欲望，也有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

生14：引入一個(gè)符號(hào)就行.

師：你怎么想到引入一個(gè)符號(hào)呢？

生14：我們剛才為了表達(dá)變量的取值范圍用了集合符號(hào)，最近學(xué)過(guò)的集合內(nèi)容，引入了符號(hào)“∈”、“?”，用a∈A表示元素a屬于集合A；用A?B表示集合A是集合B的子集.

師：你太棒了！“∈”、“?”這些符號(hào)就是為了用來(lái)表達(dá)兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系而引入的.其實(shí)，數(shù)學(xué)總是這樣，為了精確和清晰表達(dá)內(nèi)容與問(wèn)題，總是創(chuàng)造性地引入一些數(shù)學(xué)符號(hào).那么，要表示兩個(gè)數(shù)集中變量之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”你覺(jué)得用什么數(shù)學(xué)符號(hào)合適呢？（生沉默）.

4.8 喚醒經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)設(shè)計(jì)方案

師：以前學(xué)習(xí)中，你有為表達(dá)兩個(gè)數(shù)集變量之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”而引入數(shù)學(xué)符號(hào)的經(jīng)驗(yàn)嗎？

點(diǎn)評(píng)：笛卡爾曾說(shuō)：“我們解決的每一個(gè)問(wèn)題都將成為一個(gè)范例用于解決其他問(wèn)題”.面對(duì)一時(shí)難以解決的困惑，不妨從“歷史經(jīng)驗(yàn)”中尋找啟發(fā).“歷史是最好的啟發(fā)式”.［1］

師：那么，要表示兩個(gè)數(shù)集變量之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，你們覺(jué)得應(yīng)引入一個(gè)什么樣的數(shù)學(xué)符號(hào)呢？

生16：受生15同學(xué)的啟發(fā)，引入一個(gè)符號(hào)就可以，并且y可以用引入的符號(hào)表示出來(lái).

師：你太棒了！教師板書(shū)：符號(hào)“Δ”：x→y，且y可以用“Δ”表示出來(lái)，師生討論后引入f：x→y（當(dāng)然，f也可以用g，p，h等表示）.

剛才，生16同學(xué)說(shuō)y可以用f表示出來(lái)，而我們前面提出的要研究的問(wèn)題是變量x表示出變量y來(lái)，兩者結(jié)合起來(lái)，下面我們要研究的問(wèn)題是什么？

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)符號(hào)要便于進(jìn)行數(shù)學(xué)思維才有生命力，反過(guò)來(lái)，為了進(jìn)行數(shù)學(xué)思維必須使用數(shù)學(xué)符號(hào)，必須學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)語(yǔ)言（由符號(hào)表達(dá)）.［2］

眾生：用x，f表示出變量y來(lái).

生17：太抽象了（眾生笑）.

4.9 師生交流，啟發(fā)尋找思路

師：那怎么辦？遇到抽象的問(wèn)題如何處理呢，你有想法嗎？

點(diǎn)評(píng)：教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索解決問(wèn)題的方法.波利亞指出：類比提供了一種可能的解題模式.即在解決某個(gè)問(wèn)題之前，先“選出一個(gè)類似的、較易的問(wèn)題，去解決它，改造它的解法以便用作一個(gè)模式，然后利用剛剛建立的模式，以達(dá)到原來(lái)問(wèn)題的解決.”

生18：研究一下問(wèn)題1中是如何用x，f表示出變量y的，因?yàn)閱?wèn)題1中的函數(shù)有具體“解析式”.

師：好！那請(qǐng)你具體說(shuō)一說(shuō)吧！

生18：

4.10 轉(zhuǎn)換表征，建構(gòu)f的涵義

師：為了更直觀、清晰表達(dá)你寫(xiě)的兩個(gè)數(shù)集A、B之中變量x與y之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，你還有其它方法嗎？

點(diǎn)評(píng)：多元表征理論認(rèn)為：數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)往往隱含在豐富多彩的表現(xiàn)形式中.概念的表征形式常見(jiàn)有：語(yǔ)言表征、符號(hào)表征、圖形表征、操作表征、情景表征等.教學(xué)中需要教師對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行多元表征，力求從直觀形象的角度對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行挖掘，賦予靜態(tài)抽象的數(shù)學(xué)概念以豐富直觀的背景，促進(jìn)學(xué)生理解.

生19：用Venn圖表示兩個(gè)集合，畫(huà)上用箭頭表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.所以，對(duì)應(yīng)關(guān)系f為：t→130t－5t2＝h.（Venn圖，略）

師：你能舉例說(shuō)出學(xué)過(guò)的有“解析式”函數(shù)的“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”嗎？

生20：y＝x2，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→x2＝y(tǒng)；

y＝，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→＝y(tǒng)；

y＝2x＋3，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→2x＋3＝y(tǒng).

生1同學(xué)所舉的例子：

s＝80t，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→80t＝s.

（突然）生21：我似乎找到了問(wèn)題3的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”了.將生18同學(xué)所計(jì)算數(shù)值列成表格如下：

這個(gè)“表格”就表示了問(wèn)題1中的對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→130t－5t2＝y(tǒng).

所以，問(wèn)題3中的表格就蘊(yùn)含著“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”，“表格”就是“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”，即：f：t→n.生2同學(xué)所舉的例子：f：t→y（t為時(shí)間（年），y為人口數(shù)）

師：你太棒了！你怎么想到的？

生21：初中學(xué)習(xí)分析數(shù)據(jù)的基本方法，就是用條形圖將它們畫(huà)出來(lái)，或用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，尋找規(guī)律.其實(shí)，也是受生19的啟發(fā).

（突然）生22：我也找到了問(wèn)題2中的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，因?yàn)閳D象中的每個(gè)點(diǎn)就表示了給定的一個(gè)時(shí)間（自變量）所對(duì)應(yīng)的唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對(duì)應(yīng).所以，圖象本身蘊(yùn)含著“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”，對(duì)每一對(duì)（t，s）就是唯一確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→s.生3同學(xué)所舉的例子f：t→T（t為時(shí)間，T為氣溫）.

師：通過(guò)上面的討論可以看出，我們引入的符號(hào)f：x→y表示“對(duì)應(yīng)關(guān)系”是合理的.你能說(shuō)一下“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”的含義或功能嗎？

點(diǎn)評(píng)：美國(guó)數(shù)學(xué)史家D.J.Struik曾經(jīng)指出：“一種合適的符號(hào)要比一種不良的符號(hào)更能反映真理.而合適的符號(hào)，它就帶著自己的生命出現(xiàn)，并且它又創(chuàng)造出新的生命來(lái).”［3］

生23：通過(guò)上面的討論可以看出：數(shù)集B中唯一確定的與數(shù)集A中變量x對(duì)應(yīng)的變量y是對(duì)變量x實(shí)施“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”得到的.

師：還有其它說(shuō)法嗎？

生24：y是經(jīng)過(guò)f對(duì)應(yīng)過(guò)來(lái)的.

生25：“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”的含義就是使x與y對(duì)應(yīng)起來(lái).

師：三位同學(xué)的認(rèn)識(shí)如何？

眾生：鼓掌！

4.11 師生交流，生成符號(hào)f（x）

師：你們說(shuō)得非常精彩？這樣，如何用x，f表示出變量y呢？

點(diǎn)評(píng)：如果一個(gè)聰明的學(xué)生沒(méi)有足夠的機(jī)會(huì)通過(guò)自身的經(jīng)驗(yàn)來(lái)使自己相信，數(shù)學(xué)符號(hào)組成的語(yǔ)言有助于思維，那么，他對(duì)代數(shù)的這種反感是無(wú)可非議的.幫助學(xué)生獲得這樣的經(jīng)驗(yàn)是教師的一項(xiàng)重要任務(wù)，是他最為重要的任務(wù)之一.

生25：老師，用x，f的加、減、乘、除等運(yùn)算都不行.

師：在18世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲已經(jīng)解決了該問(wèn)題，他是將y換成符號(hào)f（x），即x→f（x）＝y(tǒng).

這樣的話，問(wèn)題1中的對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→f（t）＝h；（學(xué)生回答，教師板書(shū)以下同）

問(wèn)題2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→f（t）＝s；問(wèn)題3中的對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→f（t）＝n.

生20同學(xué)所舉的例子中：

y＝x2，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→x2，即f：x→f（x）＝x2＝y(tǒng)；

y＝，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→，即f：x→f（x）＝＝y(tǒng).

生1同學(xué)所舉例子中：s＝80t對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→80t＝s，即f：t→f（t）＝80t＝s；

生2同學(xué)所舉例子：對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→y，即f：t→f（t）＝y(tǒng)（t為時(shí)間（年），y為人口數(shù)）；

生3同學(xué)所舉例子：對(duì)應(yīng)關(guān)系f：t→T，即f：t→f（t）＝T（t為時(shí)間，T為氣溫）.

同學(xué)們還能舉例一些用圖像、表格表示的函數(shù)嗎？其對(duì)應(yīng)關(guān)系？（略）

所以，一個(gè)函數(shù)都可以將其“對(duì)應(yīng)關(guān)系”表示為f：x→f（x），從而實(shí)現(xiàn)了用x、f表示出變量y，即y＝f（x）.

4.12 運(yùn)用f（x），形成函數(shù)概念

師：請(qǐng)運(yùn)用符號(hào)f（x）表述y是x函數(shù)的理由.

生26：對(duì)于數(shù)集A的每一個(gè)x，按照某種“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”，在數(shù)集B中都有唯一確定的f（x）和它對(duì)應(yīng)，我們稱y是x的函數(shù).

教師投影教材定義：（高中函數(shù)定義略）

4.13 師生交流，理解函數(shù)概念

師：談?wù)剬?duì)教材給出的定義的認(rèn)識(shí).

點(diǎn)評(píng)：概念定義后，必須從不同的側(cè)面、不同角度去挖掘，深化理解.一般地，從以下幾個(gè)方面理解數(shù)學(xué)概念：從定義的重要詞句上剖析，找出其內(nèi)涵和外延；從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行剖析，建立與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)的聯(lián)系；通過(guò)反例來(lái)剖析概念，建立清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu).反例辨析的方法主要采用命題判斷與變式（概念變式主要包括：圖形變式、式子變式、符號(hào)變式、等價(jià)說(shuō)法等）兩種形式，通過(guò)變式利用外延來(lái)檢驗(yàn)概念.

生27：我對(duì)定義中值域是數(shù)集B的子集不理解，值域和數(shù)集B應(yīng)該是相等.頓時(shí)，教室內(nèi)討論氣氛熱烈.2分鐘后 ——

生28：C?B是對(duì)的，定義中數(shù)集B不再是實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)集B，可以允許數(shù)集B中的元素比與x對(duì)應(yīng)的f（x）構(gòu)成的集合中元素多，所以C?B.（多數(shù)同學(xué)點(diǎn)頭，從個(gè)別同學(xué)表情來(lái)看，仍有困惑.）

師：能否舉例解釋？

生29：如果A＝R，B＝R，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→x2，在數(shù)集B中都有唯一確定的f（x）與數(shù)集A中的每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)，所以f：A→B為數(shù)集A到數(shù)集B上的一個(gè)函數(shù)，記為y＝x2，其值域?yàn)椋篊＝｛f（x）｜f（x）≥0｝，由于數(shù)集B中有小于零的數(shù)，顯然C?B.

生30：如果按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→－x2，那么f：A→B也是數(shù)集A到數(shù)集B上的一個(gè)函數(shù)，記為y＝－x2，其值域?yàn)镃＝ ｛f（x）｜f（x）≤0｝，顯然C?B.

生31：通過(guò)以上兩位同學(xué)的回答，數(shù)集A與數(shù)集B中的“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”，有人為“規(guī)定”的意思.

師：那你憑什么這么說(shuō)呢？

生32：給定兩個(gè)數(shù)集A、B，我們可任意規(guī)定一個(gè)“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”，只要使數(shù)集A任意元素x，保證數(shù)集B中都有唯一確定的元素f（x）與之對(duì)應(yīng)，就建立了一個(gè)函數(shù).

師：你太聰明了！同學(xué)們，你們能構(gòu)建一些函數(shù)嗎？

生33：A＝R，B＝ ｛1｝，f：x→1，y＝1.

生34：我認(rèn)為函數(shù)值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的.

師：你為什么這么說(shuō)？

生35：從同學(xué)們所舉例子中就可以知道，如函數(shù)f（x）＝x2，定義域?yàn)?R，值域?yàn)椋鹒（x）｜f（x）≥0｝.

師：很好！你對(duì)函數(shù)的定義域有怎樣的認(rèn)識(shí)？

生36：定義域中的數(shù)必須讓“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”能對(duì)應(yīng)它.

師：這是什么意思？能幫助他解釋嗎？

生37：他的意思就是說(shuō)定義域中的數(shù)必須做到對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”有意義才行，換句話說(shuō)，定義域就是使“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”有意義的自變量取值集合.

師：很好！你舉個(gè)例子吧！

生37：比如f（x）＝，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→，0這個(gè)數(shù)“對(duì)應(yīng)關(guān)系x”對(duì)它無(wú)能為力，（眾生笑）.所以，函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)椋鹸｜x≠0｝.

師：這樣的話，如果判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，需要看什么？

眾生：兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，且“對(duì)應(yīng)關(guān)系f”完全一致，兩個(gè)函數(shù)完全相同.

師：舉個(gè)例子？（略）

師：好！我們把函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系f、值域稱為函數(shù)的三要素.對(duì)應(yīng)關(guān)系f是使“對(duì)應(yīng)”得以實(shí)現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系x與y的紐帶，從而是函數(shù)概念的核心.x與y的關(guān)系既互相依賴，又互相制約.

至此，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的初中、高中兩個(gè)定義，請(qǐng)同學(xué)們舉例說(shuō)明兩個(gè)定義的異同，你認(rèn)為高中定義有什么優(yōu)點(diǎn)？

生38：兩個(gè)定義的本質(zhì)是一致的，即它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上也是一致.只不過(guò)語(yǔ)言的敘述不同，初中定義是從運(yùn)動(dòng)變化的語(yǔ)言（教師板書(shū)，俗稱“變量說(shuō)”生動(dòng)、直觀），高中定義用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言.（教師板書(shū)俗稱“對(duì)應(yīng)說(shuō)”）但是，在判斷y＝1是函數(shù)，用初中定義判斷比較勉強(qiáng)，而用高中定義解釋十分自然.

生39：在判斷函數(shù)y＝x與y＝是否是同一個(gè)函數(shù)時(shí)，用高中定義也非常方便自然.

師：好！高中定義的優(yōu)點(diǎn)我們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)中還會(huì)繼續(xù)體會(huì).但初中定義由于用變量觀點(diǎn)描述函數(shù)比較生動(dòng)、直觀，今后為了方便，我們有時(shí)仍然使用它.

4.14 運(yùn)用概念，解決實(shí)際問(wèn)題

師：同學(xué)們能用高中定義敘述一下所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、銳角的三角函數(shù)是函數(shù)嗎？（略）.

點(diǎn)評(píng)：概念的獲得最終是為了獲得思維過(guò)程的訓(xùn)練和更高級(jí)的運(yùn)用.“運(yùn)用概念的能力是掌握概念的標(biāo)志”，由于知識(shí)的內(nèi)化的過(guò)程本身是建立在原先已有的知識(shí)之上的，這樣，原先知識(shí)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量就決定了知識(shí)生長(zhǎng)的數(shù)量和質(zhì)量.

例題1 （教材例題1略）

例題2 （1）函數(shù)y＝x2－2x的定義域?yàn)椋?，1，2，3｝，那么其值域__________；

（2）下列表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是________；

點(diǎn)評(píng) 本著教學(xué)活動(dòng)、教學(xué)目標(biāo)、測(cè)量評(píng)估一致性原則，精心選擇幾道難易適中的典型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生盡可能獨(dú)立地（也可以討論、交流）思考、分析、探索問(wèn)題，從中感悟函數(shù)概念、基本方法的應(yīng)用.教師針對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題，借題發(fā)揮，進(jìn)行示范性講解.教師的分析要重聯(lián)系、重轉(zhuǎn)化、重本質(zhì)，概括提煉規(guī)律，由例及類，教給學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法.

4.15 變練演編，鞏固深化概念

Ⅰ（1）設(shè)集合M＝ ｛x｜0≤x≤2｝，N＝ ｛y｜0≤y≤2｝，則在下面4個(gè)圖形中，能建立從集合M到集合N的函數(shù)的有________；

（2）在（1）中函數(shù)的圖象與直線x＝a（a∈R）最多有幾個(gè)交點(diǎn)____________；

（3）在課堂問(wèn)題1中，炮彈在發(fā)射3秒后爆炸，集合A變?yōu)镃＝｛t｜0≤t≤3｝，其它條件不變，問(wèn)：h是否還是t的函數(shù)？

Ⅱ.試構(gòu)造一個(gè)A到B的函數(shù)，且A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝｛y｜0≤y≤1｝.請(qǐng)同學(xué)們自己編一道與本題類似的題目，讓同桌解答.

點(diǎn)評(píng) 變練是指教師通過(guò)對(duì)概念、圖形背景、題目的條件或結(jié)論、題目的形式等進(jìn)行多角度、全方位的引申，編制形式多樣（最好是具有探索性、開(kāi)放性）的問(wèn)題，讓學(xué)生討論、交流、解答，以加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解；演編是指學(xué)生在對(duì)知識(shí)、問(wèn)題有較深的理解的基礎(chǔ)上，自己模仿或創(chuàng)造性的編擬數(shù)學(xué)（變式）題，供全班同學(xué)研究或解答.實(shí)踐證明，編題實(shí)踐是學(xué)生概括能力、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力得以鍛煉和表現(xiàn)的有效措施，也是豐富課堂內(nèi)容的有效方法.

4.16 反思小結(jié)，提煉升華概念

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)函數(shù)概念有了那些新認(rèn)識(shí)？還有哪些收獲？（知識(shí)、思想、觀點(diǎn)方面）

點(diǎn)評(píng) 回顧在獲得函數(shù)概念（y＝f（x））的艱難曲折歷程中師生所做的概括工作.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)y＝f（x）中x、y代表了現(xiàn)實(shí)世界中滿足特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系f的兩個(gè)變量，譬如里程，時(shí)間等，體會(huì)概念是簡(jiǎn)化世界的類目.

4.17 引發(fā)問(wèn)題，做好后續(xù)鋪墊

師：本節(jié)課，我們構(gòu)建了y＝f（x）這樣的函數(shù)模型，來(lái)刻畫(huà)描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象.那么，要了解運(yùn)動(dòng)事物或變化現(xiàn)象的規(guī)律，就需要研究函數(shù)y＝f（x）的什么問(wèn)題？

眾生：變化規(guī)律，性質(zhì).

師：就是說(shuō)，要通過(guò)研究y＝f（x）的變化規(guī)律、性質(zhì)，來(lái)把握事物的變化規(guī)律，是我們以后幾節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)一節(jié)的教學(xué)應(yīng)成為本章各節(jié)的教學(xué)典范，即從研究方式上看指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)與函數(shù)一節(jié)是是一致的，同樣是“現(xiàn)實(shí)—數(shù)學(xué)—現(xiàn)實(shí)”的過(guò)程.事實(shí)上，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，這樣的研究過(guò)程還會(huì)不斷地重復(fù)下去，而這樣的過(guò)程的不斷重復(fù)，就能夠使學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)的一般方法：原來(lái)數(shù)學(xué)研究就是這樣進(jìn)行的.［4］

4.18 信息反饋，形成性測(cè)試（略）

5 教后反思（略）

1 歐陽(yáng)鋒.數(shù)學(xué)的藝術(shù)［M］.北京：農(nóng)村讀物出版社，1997，51

2 張楚廷.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：警官教育出版社，1998：127

3 D.J.斯特洛伊克.數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史［M］.北京：科學(xué)出版社，1956：75－76.

4 石志群.函數(shù)［J］.數(shù)學(xué)通訊增刊，2009（7）