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    直線與拋物線位置關(guān)系的另類(lèi)判別方法

    2013-09-17 01:13:58安徽省阜陽(yáng)市紅旗中學(xué)吳冬梅郵編236112
    關(guān)鍵詞:另類(lèi)雙曲線拋物線

    安徽省阜陽(yáng)市紅旗中學(xué) 張 震 吳冬梅 (郵編:236112)

    文[1]、文[2]分別研究了直線與橢圓、雙曲線位置關(guān)系的不同判別方法,本文將給出有關(guān)直線與拋物線位置關(guān)系的另類(lèi)判別方法.

    結(jié)論1 直線l:Ax+By+C=0(ABC≠0)拋物線y2=2px(p≠0)

    Ay2+2pBy+2pC=0,

    △ =(2pB)2-4A·2pC=4p(pB2-2AC),

    結(jié)論2 直線l:Ax+By+C=0(ABC≠0),

    拋物線x2=2py(p≠0),

    探究結(jié)論1和結(jié)論2 推廣至一般情況,可得下面結(jié)論:

    結(jié)論3 直線l:Ax+By+C=0(ABC≠0),

    (2)直線l與拋物線相交 ?(y1+y2)(y1-y2)>-p2;

    (3)直線l與拋物線相離 ?(y1+y2)(y1-y2)<-p2.

    最后聯(lián)立直線l與拋物線:

    ⑤ 代入 ① 式(y1+y2)(y1-y2)=-p2,

    于是 (1)直線l與拋物線相切 ?△ =0?(y1+y2)(y1-y2)=-p2;

    (2)直線l與拋物線相交 ?△ >0?(y1+y2)(y1-y2)>-p2;

    (3)直線l與拋物線相離 ?△ <0?(y1+y2)(y1-y2)<-p2.

    結(jié)論4 直線l:Ax+By+C=0(ABC≠0),

    (2)直線l與拋物線相交 ?(x1+x2)(x1-x2)>-p2;

    (3)直線l與拋物線相離 ?(x1+x2)(x1-x2)<-p2.

    聯(lián)立直線l與拋物線:

    ⑤ 代入 ①(x1+x2)(x1-x2)=-p2

    于是 (1)直線l與拋物線相切 ?△ =0?(x1+x2)(x1-x2)=-p2;

    (2)直線l與拋物線相交 ?△ >0?(x1+x2)(x1-x2)>-p2;

    (3)直線l與拋物線相離 ?△ ≤0?(x1+x2)(x1-x2)<-p2.

    應(yīng)用舉例

    例 當(dāng)m為何值時(shí),直線l:y=2x+m2+1與拋物線y2=16x相切、相交、相離.

    解法一y=2x+m2+1即2x-y+m2+1=0.這里A=2,B=-1,C=m2+1.

    在拋物線y2=4x中,p=8,

    解法二y2=16x,準(zhǔn)線l1:x=-4,直線l2:x=4,

    解得y1=m2-7及y2=m2+9,

    所以y1+y2=2m2+2,y1-y2=-16,

    (y1+y2)(y1-y2)=-32(m2+1).

    由結(jié)論3:(y1+y2)(y1-y2)=-p2,

    即-32(m2+1)=-64,m2+1=2,m=±1.

    當(dāng)m=±1時(shí),(y1+y2)(y1-y2)=-p2,直線與拋物線相切.

    當(dāng)-1<m<1時(shí),(y1+y2)(y1-y2)>-p2,直線與拋物線相交.

    當(dāng)m=<-1或m>1時(shí),(y1+y2)(y1-y2)<-p2,直線與拋物線相離.

    1 晏銀林.直線與橢圓的位置關(guān)系的另類(lèi)判別方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2010(5):32—33

    2 姜坤崇.直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的又一判別方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2011(1):36

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