根的判別式的等價(jià)形式及其推論

湖北省赤壁市車站學(xué)校 李道生 王荊洲 （郵編：201302）

眾所周知，根的判別式是判斷一元二次方程有無實(shí)數(shù)根的重要方法，經(jīng)過對(duì)其結(jié)構(gòu)形式的深入研究與全面分析，我們發(fā)現(xiàn)它在解決其他數(shù)學(xué)問題，特別是不等式問題中有著重要的應(yīng)用.為此，首先必須換一個(gè)角度、換一種形式表述根的判別式，如此才能拓展其應(yīng)用前景，帶給我們耳目一新回味無窮的思維快感.

根的判別式：“若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)根，則b2－4ac≥0”.

若設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)根為m，則根據(jù)根的定義有：am2＋bm＋c＝0，于是，我們得到根的判別式的等價(jià)形式：“若am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數(shù)），則b2≥4ac”.

特殊地，取m＝±1，則有推論：“若a±b＋c＝0（a≠0），則b2≥4ac”.

有些競(jìng)賽題如果通過如此等價(jià)的根的判別式來思考，則可考察我們敏銳的觀察能力，培養(yǎng)我們思維的靈巧性，使問題獲得簡(jiǎn)潔巧妙的解法.茲舉例如下：

例2 設(shè)a、b、c是實(shí)數(shù)，a＋b＋c＝0，abc＝1，

求證a、b、c中有且只有一個(gè)數(shù)不小于.

證明 由題設(shè)可知，a≠0，b≠0，c≠0，又因?yàn)閍＋b＋c＝0，abc＝1，所以a、b、c中有且只有一個(gè)正數(shù)，不妨設(shè)b＞0.

例3 實(shí)數(shù)x、y、z滿足x＝6－y，z2＝xy－9，求證：x＝y(tǒng).

證明x＝6－y?x－6＋y＝0?62≥4xy?xy≤9，

又z2＝xy－9，?z2≤0?z＝0，進(jìn)而易得：x＝y(tǒng)＝3.

用此類似的方法，我們可輕易解決以下難題：

1.“若a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc＝2，那么｜a｜＋｜b｜＋｜c(diǎn)｜的最小值達(dá)到________（湖北省黃岡市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）.

2.已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且a－b＝8，ab＋c2＋16＝0，求證：a＋b＋c＝0.

則x2y＋z的值為__________（1998年上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）

最后，我們給出有關(guān)根的判別式的其它變換形式，供大家學(xué)習(xí)思考.

命題1 已知am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數(shù)）

（1）若m＝－，則b2＝4ac；

（2）若m≠－，則b2＞4ac.

命題2 已知am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數(shù)）

（1）若b2＝4ac，則m＝－；

（2）若b2＞4ac，則m≠－.

命題3 若am2＋bm＋c＝0（a≠0，m為常數(shù)），則存在常n數(shù)，使

（1）mn＝，m＋n＝－；

（2）an2＋bn＋c＝0.

根的判別式貌似簡(jiǎn)單平常，但從求新求變的角度去思考，我們就能從中挖掘出許多令我們意想不到的結(jié)果，可謂平凡中隱含著奇特.