改進(jìn)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)傳遞矩陣法

萬(wàn)浩川，李以農(nóng)，鄭 玲

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044;2.樂(lè)山職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000)

傳遞矩陣法自上世紀(jì)20年代提出，于60～70年代在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中廣泛應(yīng)用［1］。傳遞矩陣法最初用于薄殼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)分析，但精度較低。向宇［2］運(yùn)用微分方程與矩陣分析理論，將傳遞矩陣表示成封閉形式，直接得出傳遞矩陣的精確形式，大大提高了傳遞矩陣法的計(jì)算精度。因此傳遞矩陣法被廣泛應(yīng)用于鋼橋結(jié)構(gòu)分析［3］、轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)分析［4］、軸系扭振［5－7］、旋轉(zhuǎn)殼振動(dòng)［8］等領(lǐng)域。

若將結(jié)構(gòu)控制微分方程寫(xiě)成一階微分方程組的形式，則起點(diǎn)與終點(diǎn)的狀態(tài)向量間即可用傳遞矩陣建立簡(jiǎn)單關(guān)系，利用邊界條件可得問(wèn)題答案。因此，傳遞矩陣法計(jì)算精度主要取決于狀態(tài)向量的選取與矩陣方程的積分。動(dòng)力方程積分方法研究較多，如精細(xì)時(shí)程積分法［9－12］、龍格庫(kù)塔法［13－14］、齊次擴(kuò)容積分法［15］。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，積分計(jì)算精度不斷提高，已基本能滿足要求。而隨著傳遞矩陣法在多自由度系統(tǒng)中的應(yīng)用，狀態(tài)向量一階方程的推導(dǎo)卻越加困難。因?yàn)橹把芯炕靖鶕?jù)邊界條件確定狀態(tài)向量，而狀態(tài)向量并不能從振動(dòng)方程中直接獲得，造成狀態(tài)向量一階微分方程推導(dǎo)過(guò)程非常復(fù)雜，不僅工作量增加，且常有錯(cuò)誤出現(xiàn)。

本文以圓柱殼與約束阻尼圓柱殼振動(dòng)為例，對(duì)傳遞矩陣法進(jìn)行改進(jìn)，直接由振動(dòng)方程選擇狀態(tài)向量，可減輕推導(dǎo)狀態(tài)向量一階導(dǎo)數(shù)的工作量。在狀態(tài)向量與邊界條件之間引入關(guān)聯(lián)矩陣，并代入傳遞矩陣求解，在減少出錯(cuò)的同時(shí)可獲得與原方法相同計(jì)算精度。

1 圓柱殼振動(dòng)的改進(jìn)傳遞矩陣法

1.1 圓柱殼振動(dòng)方程

如圖1所示，圓柱殼長(zhǎng)L，半徑R，厚度H。取圓柱殼體母線與緯線方向?yàn)檎磺€坐標(biāo)系主方向。中面上一點(diǎn)坐標(biāo)用(s，θ)表示，s為頂點(diǎn)至該點(diǎn)母線長(zhǎng)度，θ定義同一般旋轉(zhuǎn)殼。Ρ為材料密度、E為彈性模量，μ為泊松比。

圖1 圓柱殼示意圖Fig.1 A cylindrical shell

若殼體中曲面上一點(diǎn)的軸向、切向、法向位移分別為 u、v、w，則據(jù)克?；舴蚣俣ǎ?6］，圓柱殼振動(dòng)方程為:

對(duì)軸向半波數(shù)為m、周向波數(shù)為n的振動(dòng)模態(tài)，ωmn為固有頻率，則式(1)的解可寫(xiě)為:

式中:U(s)，V(s)，W(s)分別為軸向位置s的函數(shù)。將式(2)代入式(1)，并化簡(jiǎn)得:

1.2 傳遞矩陣

圓柱殼邊界條件為:

文獻(xiàn)［8，16］均將邊界條件向量 ζ={U，V，W，φ，N，F(xiàn)，S，M}設(shè)為狀態(tài)向量，雖解方程容易，但狀態(tài)向量的一階微分計(jì)算較復(fù)雜，且易出錯(cuò)。本文選ξ=為狀態(tài)向量，其一階微分可直接由式(3)獲得:八階矩陣C中的非零元素為:

由式(4)可得ζ=Dξ，八階矩陣D中非零元素為:

稱D為狀態(tài)向量與邊界條件之間的關(guān)聯(lián)矩陣。有:ζ(s)=Dξ(s)=DeCsξ(0)=DeCsD－1Dξ(0)=DeCsD－1ζ(0)令:T=DeCsD－1，有:ζ(s)=Tζ(0)，其中 T 為傳遞矩陣。通過(guò)引入關(guān)聯(lián)矩陣D，使其求解更簡(jiǎn)單。

1.3 方程求解

以兩端簡(jiǎn)支邊界為例:

ζ(L)=［U(L)，0，0，φ(L)，0，F(xiàn)(L)，Ss(L)，0］ζ(0)=［U(0)，0，0，φ(0)，0，F(xiàn)(0)，S(0)，0］

有:

令:

式(5)有非零解條件為T(mén)'=0。而T'為頻率函數(shù)。由此可得各階模態(tài)固有頻率值。對(duì)不同的邊界約束，可得不同的T'，但均T'=0。

表1 兩端簡(jiǎn)支鼓筒固有頻率計(jì)算結(jié)果(m=0)Tab.1 Natural frequency shell by different methods

1.4 算例

為驗(yàn)證計(jì)算方法與計(jì)算程序的正確性，對(duì)具有解析解的兩端簡(jiǎn)支柱殼進(jìn)行計(jì)算。圓柱殼尺寸與材料參數(shù)為(單位均為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位):L=0.06，R=0.142 7，H=0.002 4，E=2.1E+11，μ =0.3，ρ=7 850 。

兩端簡(jiǎn)支、n取不同值時(shí)采用解析法與傳遞矩陣法所得固有頻率f(Hz)見(jiàn)表1。

由表1看出，本文改進(jìn)的傳遞矩陣法因原理完全一致，計(jì)算精度未受任何影響。

2 約束阻尼圓柱殼振動(dòng)的改進(jìn)傳遞矩陣法

2.1 約束阻尼圓柱殼振動(dòng)方程

將克?；舴蚣俣ㄒ爰s束阻尼圓柱殼，并忽略粘彈層拉伸變形，可得約束阻尼圓柱殼振動(dòng)方程為［17］:

式(6)各變量定義同前，下標(biāo)1、2、3分別代表基層、粘彈層、約束層。其它變量見(jiàn)文獻(xiàn)［17］。其解的形式為:

2.2 傳遞矩陣

將式(7)代入式(6)，得:

邊界條件為:

十二階矩陣C中非零元素為:

十二階矩陣D中的非零元素為:

由運(yùn)算可較易獲得傳遞矩陣T。

2.3 方程求解

與圓柱殼求解相同，據(jù)邊界條件選擇傳遞矩陣子矩陣T’，并令其行列式為零，即可求解。

2.4 算例

取約束阻尼圓柱殼基層［17］為:半徑 R1=0.3 m，長(zhǎng)L=0.1 m，hl=0.003 m，h2=0.001 m，h3=0.002 m，El=E3=70 GPa，ρl= ρ3=2 700 kg/m3，μl= μ3=0.3，G2*=0.896(1+0.968 3i)MPa，ρ2=999 kg/m3，邊界條件為兩端固支:

本文解與文獻(xiàn)［17］解的對(duì)比見(jiàn)表2。由表2看出本文方法計(jì)算結(jié)果非常精確。

表2 約束阻尼殼動(dòng)力學(xué)特性計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.2 Dynamic results of constrained damping shell

3 結(jié)論

(1)通過(guò)對(duì)狀態(tài)向量選取進(jìn)行改進(jìn)，可簡(jiǎn)化一階導(dǎo)數(shù)求解。通過(guò)關(guān)聯(lián)矩陣將狀態(tài)向量與邊界條件相聯(lián)系，可使傳遞矩陣計(jì)算更簡(jiǎn)單，從而簡(jiǎn)化方程的求解過(guò)程。

(2)本文方法通過(guò)算例證明其正確性。尤其求解方程較復(fù)雜的多自由度振動(dòng)系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)更明顯。對(duì)傳遞矩陣法應(yīng)用于更多領(lǐng)域具較好的推廣作用。

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