Kriging響應(yīng)面代理模型在有限元模型確認(rèn)中的應(yīng)用

張冬冬，郭勤濤

(南京航空航天大學(xué)，南京 210016)

工程應(yīng)用領(lǐng)域建模與仿真(M＆S)技術(shù)已被廣泛應(yīng)用。NASA［1］頒布了建模與仿真的指導(dǎo)框架，旨在建立規(guī)范，促進(jìn)其過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)化。自建模與仿真技術(shù)產(chǎn)生以來(lái)，模型響應(yīng)預(yù)測(cè)置信度一直為研究難點(diǎn)及熱點(diǎn)。國(guó)外對(duì)模型驗(yàn)證與確認(rèn)技術(shù)［2-4］進(jìn)行研究，試圖應(yīng)用于國(guó)防科研領(lǐng)域。ANS［5］制定出工程科學(xué)計(jì)算編程的模型驗(yàn)證與確認(rèn)指導(dǎo)框架;AIAA［6］發(fā)布計(jì)算流體力學(xué)仿真模型驗(yàn)證與確認(rèn)技術(shù)框架;ASME［7］發(fā)布計(jì)算固體力學(xué)仿真模型驗(yàn)證與確認(rèn)的技術(shù)框架。模型驗(yàn)證與確認(rèn)除含對(duì)軟件編程技術(shù)認(rèn)證外，重點(diǎn)討論建模中各種不確定性［8-10］對(duì)模型響應(yīng)不確定性影響?；谠囼?yàn)與仿真數(shù)據(jù)確認(rèn)方法［11-12］即如何判斷試驗(yàn)與仿真預(yù)測(cè)間的一致性與相關(guān)性，也不斷探索與發(fā)展。盡管已有諸多研究，但模型驗(yàn)證與確認(rèn)因具體應(yīng)用領(lǐng)域(或應(yīng)用目的)不同，其運(yùn)作思想存在諸多差別。為此，文獻(xiàn)［13-14］相繼提出模型驗(yàn)證與確認(rèn)的熱力學(xué)及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)挑戰(zhàn)問(wèn)題，供全球?qū)＜覍W(xué)者探討模型驗(yàn)證與確認(rèn)的思路。此外，圣地亞國(guó)家實(shí)驗(yàn)室正與美國(guó)能源部、國(guó)防部、工業(yè)界、學(xué)術(shù)界合作建立預(yù)測(cè)與狀態(tài)管理創(chuàng)優(yōu)中心，支持PHM技術(shù)的開(kāi)發(fā)及技術(shù)試驗(yàn)與確認(rèn)。

吳立人［15］探討仿真模型有效性定量確認(rèn)法，重點(diǎn)研究仿真模型有效性評(píng)估的定量化確認(rèn)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法;郭勤濤等［16］初步探討了模型確認(rèn)的主要內(nèi)容及總體框架，比較模型修正與模型確認(rèn)的區(qū)別，并將模型確認(rèn)技術(shù)應(yīng)用于工程實(shí)例;鄧小剛等［17］總結(jié)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)中模型確認(rèn)方法及概念。目前，模型確認(rèn)在國(guó)內(nèi)也逐漸受到重視，中國(guó)工程物理研究院與國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)［18］已于2008年批準(zhǔn)“工程結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬的模型驗(yàn)證與確認(rèn)方法研究”項(xiàng)目，重點(diǎn)研究工程結(jié)構(gòu)分層模型修正和確認(rèn)技術(shù)框架，及模型驗(yàn)證與確認(rèn)的基本方法以及在工程中典型結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。本文借鑒模型驗(yàn)證與確認(rèn)的基本思想，初步探討有限元模型確認(rèn)流程，以Garteur Benchmark飛機(jī)結(jié)構(gòu)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真問(wèn)題為例，采用三種不同響應(yīng)面試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，檢驗(yàn)Kriging響應(yīng)面的預(yù)測(cè)精度，借助Kriging響應(yīng)面代理模型快速實(shí)現(xiàn)10萬(wàn)個(gè)參數(shù)樣本的響應(yīng)計(jì)算，采用核密度估計(jì)方法估計(jì)加速度響應(yīng)最大值概率分布及置信區(qū)間上下限。

1 有限元模型確認(rèn)流程

1.1 模型驗(yàn)證與確認(rèn)思想

模型驗(yàn)證［7］定義為檢驗(yàn)仿真計(jì)算模型的解是否與理論數(shù)學(xué)解準(zhǔn)確吻合過(guò)程。模型驗(yàn)證內(nèi)容包括:驗(yàn)證仿真計(jì)算模型求解代碼編寫(xiě)的正確性，算法實(shí)現(xiàn)的正確性，計(jì)算相對(duì)誤差及計(jì)算機(jī)代碼求解重復(fù)的可靠性。模型確認(rèn)［7］定義為從目標(biāo)用途角度出發(fā)，判斷仿真計(jì)算模型有多大可信度能準(zhǔn)確描述真實(shí)世界。模型確認(rèn)過(guò)程核心內(nèi)容是計(jì)算模型輸出響應(yīng)結(jié)果與試驗(yàn)響應(yīng)結(jié)果的對(duì)比過(guò)程，據(jù)模型確認(rèn)準(zhǔn)則，實(shí)現(xiàn)計(jì)算模型可信度評(píng)價(jià)［19］。

圖1為模型驗(yàn)證與確認(rèn)流程圖。模型驗(yàn)證與確認(rèn)過(guò)程主要由兩個(gè)分支構(gòu)成，即建模分支與試驗(yàn)分支。建模分支涵蓋三種模型:概念模型、數(shù)學(xué)模型、計(jì)算模型。例如，要預(yù)測(cè)某飛機(jī)機(jī)翼受外界氣動(dòng)載荷作用影響產(chǎn)生的振動(dòng)加速度，通常會(huì)將機(jī)翼簡(jiǎn)化為梁，此簡(jiǎn)化與假設(shè)過(guò)程即為建立概念模型過(guò)程。給定梁模型邊界條件，結(jié)合力學(xué)理論，建立梁振動(dòng)求解方程，即為數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程。計(jì)算模型通常以代碼形式出現(xiàn)，其基本特點(diǎn)是需將數(shù)學(xué)方程求解過(guò)程轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)言。模型驗(yàn)證分為代碼驗(yàn)證與精度驗(yàn)證，代碼驗(yàn)證通過(guò)對(duì)已知理論解問(wèn)題的計(jì)算檢驗(yàn)及減少計(jì)算模型在算法與編碼的誤差，精度驗(yàn)證用于檢驗(yàn)計(jì)算模型對(duì)物理試驗(yàn)響應(yīng)預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。試驗(yàn)分支中設(shè)計(jì)的確認(rèn)試驗(yàn)為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的計(jì)算精度與試驗(yàn)不確定性的量化分析提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

總之，模型驗(yàn)證可保證計(jì)算模型代碼與算法的正確性、準(zhǔn)確性、可靠性;模型確認(rèn)可確認(rèn)試驗(yàn)響應(yīng)與計(jì)算模型預(yù)測(cè)響應(yīng)結(jié)果的量化對(duì)比，兩種數(shù)據(jù)結(jié)果的高度吻合性可表明概念模型假設(shè)簡(jiǎn)化的可行性、數(shù)學(xué)模型與計(jì)算模型的正確性及準(zhǔn)確性。

1.2 有限元模型確認(rèn)流程

據(jù)模型驗(yàn)證與模型確認(rèn)基本思想，結(jié)合有限元方法的應(yīng)用，本文提出有限元模型確認(rèn)流程，如圖2所示。

圖1 模型驗(yàn)證與確認(rèn)流程圖［7］Fig.1 Flow chart of model verification and validation

圖2 有限元模型確認(rèn)流程圖Fig.2 Flow chart of finite element model validation

有限元模型確認(rèn)及技術(shù)問(wèn)題的解決為:

(1)子結(jié)構(gòu)劃分及有限元模型建立

將復(fù)雜目標(biāo)劃分為若干簡(jiǎn)單子結(jié)構(gòu)，建立各子結(jié)構(gòu)有限元模型。據(jù)該模型參數(shù)是否存在不確定性，將其分為確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型與不確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型。

(2)校準(zhǔn)試驗(yàn)與確認(rèn)試驗(yàn)設(shè)計(jì)

校準(zhǔn)試驗(yàn)是通過(guò)試驗(yàn)對(duì)子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，如材料彈性模量、泊松比、連接剛度等進(jìn)行直接或間接測(cè)量及修正，統(tǒng)計(jì)分析不確定性參數(shù)。確認(rèn)試驗(yàn)是將記錄的試驗(yàn)輸入數(shù)據(jù)及輸出響應(yīng)數(shù)據(jù)作為不確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型響應(yīng)概率分布與試驗(yàn)響應(yīng)結(jié)果之間進(jìn)行比較的依據(jù)。

(3)子結(jié)構(gòu)有限元模型確認(rèn)

確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型參數(shù)不確定性較小，可忽略不計(jì)。因此，該模型確認(rèn)常采用確定性準(zhǔn)則進(jìn)行試驗(yàn)與仿真響應(yīng)結(jié)果直接比較。響應(yīng)結(jié)果相對(duì)誤差較小時(shí)，接受該確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型。而不確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型參數(shù)不確定性較大，常采用不確定性準(zhǔn)則，如置信區(qū)間準(zhǔn)則，進(jìn)行試驗(yàn)與仿真響應(yīng)結(jié)果比較;仿真樣本響應(yīng)結(jié)果概率分布能較好涵蓋試驗(yàn)響應(yīng)值時(shí)，接受不確定性子結(jié)構(gòu)有限元模型，否則拒絕該模型。

(4)子結(jié)構(gòu)有限元模型合成

子結(jié)構(gòu)有限元模型合成技術(shù)方便了目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)有限元模型的建立，以該合成后模型作為目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算的有限元模型，可實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)有限元模型參數(shù)向目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)有限元模型參數(shù)的直接轉(zhuǎn)化。

(5)代理模型建立

建立目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)有限元模型響應(yīng)的代理模型，對(duì)其進(jìn)行精度檢驗(yàn)及偏差修正。工程中，單個(gè)目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)有限元模型計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，因此，建立有限元模型的響應(yīng)計(jì)算代理模型(或稱(chēng)快速運(yùn)行模型)。代理模型種類(lèi)很多，如基于多項(xiàng)式的響應(yīng)面代理模型、基于高斯過(guò)程的響應(yīng)面代理模型、基于支持向量機(jī)的響應(yīng)面代理模型等，其特點(diǎn)為可實(shí)現(xiàn)參數(shù)設(shè)計(jì)空間內(nèi)任意樣本點(diǎn)響應(yīng)的快速、準(zhǔn)確計(jì)算。

(6)參數(shù)蒙特卡洛抽樣計(jì)算

在目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)代理模型基礎(chǔ)上，結(jié)合蒙特卡洛抽樣計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)子結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性的正向傳遞。

(7)目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)

通常，目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)滿(mǎn)足一定概率分布，需采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)其進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)。典型的方法有參數(shù)型分布(如正態(tài)分布，指數(shù)分布)統(tǒng)計(jì)方法與非參數(shù)型分布統(tǒng)計(jì)方法(如核密度估計(jì))。

2 Kriging響應(yīng)面代理模型基本理論

代理模型(或稱(chēng)元模型)在工程試驗(yàn)設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。為復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析及優(yōu)化提供了方便。代理模型可描述為:給定n個(gè)參數(shù)樣本點(diǎn)并仿真試驗(yàn)輸出，尋找能近似描述樣本點(diǎn)及仿真試驗(yàn)輸出間關(guān)系的顯式數(shù)學(xué)模型。響應(yīng)面模型作為代理模型具有操作簡(jiǎn)單、能快速逼近等優(yōu)點(diǎn)。在計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析(DACE)及優(yōu)化中，Kriging［20-22］插值方法起重要作用，以多項(xiàng)式逼近方式實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)仿真模型的近似描述，表達(dá)式［23］為:

其中:fj(x)為基函數(shù)，βj為基函數(shù)系數(shù)，z(x)為擬合偏差函數(shù)。Kriging方法認(rèn)為不同樣本點(diǎn)處的擬合偏差量并非相互獨(dú)立，并假定該偏差函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程Z(x)，且均值為0，方差為σ2，協(xié)方差非0。任意兩點(diǎn)t及u的協(xié)方差函數(shù)定義為:其中:ρ(t，u;θ)為相關(guān)函數(shù);θ為相關(guān)函數(shù)參數(shù)，用于衡量樣本點(diǎn)t與樣本點(diǎn)u之間相關(guān)性隨兩點(diǎn)間距離增加的衰減度，相關(guān)性參數(shù)越小，響應(yīng)面越光滑。相關(guān)函數(shù)類(lèi)型較多，通常以高斯相關(guān)函數(shù)作為常用相關(guān)函數(shù)。

其中:

式中:R為相關(guān)系數(shù)矩陣，Rij=ρ(xi，xj;θ)，(1≤i，j≤n)。

參數(shù)β，σ表達(dá)式為:

由此得:

相關(guān)系數(shù)θ采用數(shù)值求解方法，借助最大似然函數(shù)求極值確定其數(shù)值大小。記r(x)=［ρ(x，x1)，ρ(x，x2)，…，ρ(x，xN)］T，則 Kriging模型在任意設(shè)計(jì)參數(shù)樣點(diǎn)x處的響應(yīng)預(yù)測(cè)表達(dá)式為:

3 實(shí)例應(yīng)用

3.1 動(dòng)力學(xué)問(wèn)題及不確定性描述

圖3為Garteur benchmark飛機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖。采用MD Nastran建立該飛機(jī)結(jié)構(gòu)有限元梁模型，機(jī)身與機(jī)翼，垂尾與平尾連接處均為固支，機(jī)翼兩端同時(shí)受幅值1 000 N、寬度1.1 ms的時(shí)域沖擊載荷F作用。設(shè)因加工制造工藝影響，飛機(jī)材料密度 ρ在區(qū)間［6.0，7.0］×10-9t/mm3滿(mǎn)足均勻隨機(jī)分布，彈性模量E在區(qū)間［2.0，3.0］×104MPa 滿(mǎn)足均勻隨機(jī)分布，采用該有限元模型預(yù)測(cè)測(cè)點(diǎn)在載荷作用方向加速度響應(yīng)最大值概率分布。

圖3 Garteur benchmark飛機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 The chart of Garteur benchmark structure

3.2 加速度響應(yīng)最大值Kriging響應(yīng)面

為檢驗(yàn)響應(yīng)面設(shè)計(jì)樣點(diǎn)數(shù)對(duì)Kriging響應(yīng)面預(yù)測(cè)精度影響，選取拉丁超立方抽樣設(shè)計(jì)［24-25］、D最優(yōu)試驗(yàn)設(shè)計(jì)、5水平全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)及中心復(fù)合設(shè)計(jì)建立Kriging響應(yīng)面模型見(jiàn)圖4，響應(yīng)面檢驗(yàn)點(diǎn)為5個(gè)隨機(jī)參數(shù)樣點(diǎn)，Kriging響應(yīng)面精度檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1。比較四種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的 Kriging響應(yīng)面精度檢驗(yàn)指標(biāo)R2、MSR、RMSE發(fā)現(xiàn)，拉丁超立方抽樣設(shè)計(jì)方法能以較少試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)空間內(nèi)響應(yīng)量較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，適用于Kriging響應(yīng)面建立。

圖4 加速度最大值Kriging響應(yīng)面Fig.4 Kriging response surface for the maximum value of acceleration

表1 Kriging響應(yīng)面精度檢驗(yàn)Tab.1 Check for the accuracy of Kriging RSM

3.3 加速度最大值核密度估計(jì)

Kriging響應(yīng)面以試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)樣本點(diǎn)為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)非試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)樣本組合下懸臂梁加速度幅值。結(jié)合蒙特卡洛及隨機(jī)抽樣方法，選8萬(wàn)個(gè)彈性模量E與材料密度ρ的參數(shù)樣本組合，計(jì)算懸臂梁加速度幅值。加速度響應(yīng)最大值非參數(shù)核密度估計(jì)［26］見(jiàn)圖5。由表2看出，在不同置信度條件下，加速度響應(yīng)最大值的置信區(qū)間上下限并未隨置信度的下降發(fā)生顯著變化。

圖5 加速度最大值核密度估計(jì)Fig.5 Kernel density estimation for the maximum value of acceleration

表2 不同置信度下置信區(qū)間Tab.2 Confidence interval under different confidence level

4 結(jié)論

通過(guò)討論模型驗(yàn)證與確認(rèn)，提出有限元模型確認(rèn)流程;結(jié)合Kriging響應(yīng)面理論，以Garteur benchmark飛機(jī)結(jié)構(gòu)有限元瞬態(tài)仿真為例，采用四種響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法建立加速度響應(yīng)最大值Kriging響應(yīng)面;借助蒙特卡洛和核密度估計(jì)方法的有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)飛機(jī)結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)最大值概率分布預(yù)測(cè);采用區(qū)間估計(jì)法，對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)最大值置信區(qū)間上下限進(jìn)行估計(jì)，結(jié)論如下:

(1)Kriging響應(yīng)面代理模型能實(shí)現(xiàn)對(duì)有限元模型響應(yīng)較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，為有限元模型確認(rèn)中模型參數(shù)不確定性傳遞，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)分析提供便利。

(2)置信區(qū)間準(zhǔn)則能從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度估計(jì)目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)響應(yīng)上下限，當(dāng)試驗(yàn)響應(yīng)數(shù)值大小位于置信區(qū)間上下限之間時(shí)，有限元計(jì)算模型可信度較好;否則，拒絕有限元計(jì)算模型。故可將置信區(qū)間準(zhǔn)則作為有限元模型確認(rèn)準(zhǔn)則。

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