最優(yōu)有界控制下色噪聲驅(qū)動多時滯擬線性系統(tǒng)瞬態(tài)響應＊

戚魯媛，徐 偉，高維廷

（1．西北工業(yè)大學理學院，陜西 西安 710129；2．西北工業(yè)大學電子信息學院，陜西 西安 710129）

引 言

隨機因素在自然界中廣泛存在。隨機振子的響應問題是理論研究及工程應用中的熱點問題［1～3］。瞬態(tài)響應是響應問題的一個重要方面，研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應可以從時域方面詮釋隨機振子的運動性態(tài)。Fokker－Planck－Kolmogorov（FPK）方程方法是擴散過程理論的主要方法，通過求解FPK方程得到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率密度可用以分析系統(tǒng)響應控制、信息熵等問題［4，5］。由于FPK方程的復雜性，只有少數(shù)特殊的系統(tǒng)具有理論精確解［6］。雖然相關(guān)領域的學者們在穩(wěn)態(tài)FPK方程理論求解方面進行了大量的研究工作［7，8］，但瞬態(tài)FPK方程的解仍是極難解決的一個問題，目前只能借助理論分析與數(shù)值計算 相 結(jié) 合 的 方 式 進 行 近 似 求 解［9，10］。1968 年，Bhandari和Sherrer首次應用Galerkin法求解FPK方程的平穩(wěn)解［11］，而后 Wen將其發(fā)展到求解FPK方程的瞬態(tài)解［12］。2007年，Spanos結(jié)合基于等價線性化的隨機平均法和Galerkin法研究了白噪聲激勵的非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應［13］。

時滯現(xiàn)象廣泛存在于物理、生物和控制等自然科學與工程實踐領域中。研究瞬態(tài)響應概率密度時考慮到時滯的作用具有重要的理論及實踐意義。文獻［14］中基于廣義諧和函數(shù)隨機平均法和Galerkin法研究了白噪聲激勵的時滯強非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。雖然白噪聲模型在理論上便于處理，但研究表明實際噪聲模型應為有色噪聲。與有色噪聲相關(guān)的研究工作已經(jīng)滲入到隨機動力學的各個分支：文獻［15］中研究了色噪聲激勵下非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均首次穿越時間，文獻［16］中研究了色噪聲激勵的雙穩(wěn) Duffing－Van Der Pol振子的隨機分岔，文獻［17］中研究了色噪聲激勵的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，文獻［18］中研究了非高斯色噪聲作用下 Van Der Pol－Duffing振子的穩(wěn)定性。但是，色噪聲激勵的時滯非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應相關(guān)研究卻少見報道。當系統(tǒng)中含有時滯與非白噪聲時，隨機平均法是一種有力的理論分析工具。該方法不但可以避免非白噪聲引起的FPK方程的擴維現(xiàn)象，而且可以降低FPK方程的維數(shù)，從而簡化理論分析和數(shù)值計算。

考慮到工程安全，瞬態(tài)響應需要被控制在安全范圍內(nèi)，因此考慮瞬態(tài)響應的最優(yōu)控制問題是非常有必要的。鑒于實際控制器發(fā)生裝置只能產(chǎn)生有限的控制力，故而研究最優(yōu)有界控制是符合工程實際的。很多學者已經(jīng)關(guān)注到隨機非線性振子的最優(yōu)有界控制問題，例如文獻［19］中利用最優(yōu)有界控制率成功地降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。然而基于瞬態(tài)求解FPK方程技術(shù)研究隨機時滯擬線性系統(tǒng)的最優(yōu)有界控制問題未見報道。

綜上所述，本文提出了色噪聲激勵的時滯擬線性系統(tǒng)瞬態(tài)響應的最優(yōu)有界控制問題。將時滯系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價的非時滯系統(tǒng)后應用標準隨機平均法得到振幅過程的部分平均It?隨機微分方程。再由動態(tài)規(guī)劃準則導出最優(yōu)有界控制率進而得到完全平均的FPK方程。利用Galerkin方法近似求解此FPK方程即得到系統(tǒng)近似瞬態(tài)響應。最后將該方法應用到受最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的時滯Duffing－Van Der Pol振 子 得 到 理 論 解，并 利 用Monte－Carlo模擬方法證明理論解的有效性，利用該方法綜合討論了色噪聲、時滯和控制力參數(shù)以及共振對瞬態(tài)響應的影響。

1 模型提出和化簡

色噪聲激勵多時滯擬線性受控系統(tǒng)的方程為

1．1 時滯化簡

假設存在小量δ，當ξ0，H，F(xiàn)和u為δ階小量且fkSk（ω）為δ1／2階小量時，系統(tǒng)（1）是擬線性系統(tǒng)［20］，采用標準隨機平均法，引入如下變換

利用式（3）和（4），系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)化為如下非時滯系統(tǒng)

1．2 部分平均It?隨機微分方程

將式（2）代入式（5）得到A（t）和Θ（t）的方程組，如下

式中m1，m2，σ1k和σ2k的具體表達形式為：

由式（6）中第1式的系數(shù)m1（A，Θ）和σ1k看出，關(guān)于A（t）的微分方程不顯含Θ（t），故A（t）收斂于一維Markov擴散過程［22］

式中B（t）為單位維納過程，且

方程（10）對應的FPK方程為

方程（14）的初始條件設為

2 最優(yōu)有界控制和完全平均FPK方程

振幅可以代表系統(tǒng)響應程度，降低振幅可降低系統(tǒng)響應。以減小振幅為目標，在［0，tf］上考慮最優(yōu)遍歷控制，假設控制力滿足如下約束條件

式中u0表示控制力界值。

值函數(shù)為

由動態(tài)規(guī)劃準則和式（10）［23］，得動態(tài)規(guī)劃方程為

終值條件為

將式（21）代入式（11）并按式（13）完成所有平均過程，得到如下完全平均的漂移系數(shù)

將式（22）代入式（14）即得到全平均FPK方程。

3 FPK方程近似瞬態(tài)解

3．1 正交基空間

首先考慮系統(tǒng)（1）的退化線性系統(tǒng)

通過化學與生物活性相結(jié)合的篩選模式得到真菌Penicillium sp. H1，這株菌主要代謝產(chǎn)生二萜類物質(zhì)，即3個二萜類化合物（1～3），其中化合物1為新化合物。發(fā)現(xiàn)化合物1和2有中等強度的香蕉枯萎病菌抑制活性（MIC分別為32.0和16.0 μg/mL）。結(jié)果表明海洋來源的青霉作為生物活性物質(zhì)的來源具有進一步研究和開發(fā)的價值。

在式（22）中令u0＝0，H＝0，F(xiàn)＝0并代入式（14）得到退化線性系統(tǒng)的FPK方程為

由FPK方程本征函數(shù)法得關(guān)于式（24）的本征方程［24］

式中λn為特征值，Zλ為特征函數(shù)。

式（26）滿足Laguerre多項式微分方程，由此可得一組特征值λn和基函數(shù)An：

式中Ln（·）表示第n階Laguerre多項式。

由式（28）和Laguerre多項式性質(zhì)得基函數(shù)滿足

式中δj，n是 Kronecher Delta符號。

式（24）的解可以表示為

3．2 近似瞬態(tài)解

首先將式（14）的解近似寫成如下形式

將式（31），（32）代入式（14）并整理得如下誤差參量：

將式（33）代入式（34）并結(jié)合式（30）進行化簡得到關(guān)于cj（j＝0，1，…）的常微分方程組如下：

聯(lián)合式（15），（32）可得式（35）的初始條件：cj＝0。

系統(tǒng)j階響應矩表達式為

4 算例分析

本章用一個例子具體分析理論求解過程。色噪聲模型為高斯白噪聲的二階濾過過程，表示為

式中和βk為正常數(shù)，Wk（t）為零均值且強度為2Dk的高斯白噪聲，色噪聲（37）的譜密度為

令

式中ω0和ξ0與式（1）中相同；a1，a2和β0均為常數(shù)，ε為正常數(shù)表示非線性阻尼強度?？紤]一個色噪聲激勵的情況，即f1＝1。將式（21），（39）和（40）代入式（1）得到最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的雙時滯Duffing－Van Der Pol振子

4．1 理論分析

將式（39）和（40）代入式（22）整理可得

由式（14）得與系統(tǒng)（41）相應的FPK方程為

由式（27）～（29）得到相應的特征值和基函數(shù)為：

由式（33），（39），（40）得相應的誤差參量為

結(jié)合Laguerre多項式的性質(zhì)得到如下化簡關(guān)系式：

將式（39），（40）代入式（35）并利用式（49），（50）化簡最終得到關(guān)于cj（t）的常微分方程組如下：

當cj的下標為負時認為其不存在。實際計算中應當對式（51）進行合理截斷以便數(shù)值求解，將cj（t）的近似解代入式（32）得到p（a，t）。

4．2 數(shù)值分析

本節(jié)利用數(shù)值計算直觀說明色噪聲、時滯、控制力參數(shù)以及共振對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響，并對系統(tǒng)（1）進行MCS來驗證理論求解的有效性。數(shù)值計算中固定的系統(tǒng)參數(shù)為：ω0＝1，ξ0＝0．02，β0＝0．5，a1＝a2＝0．01，ε＝5。

圖1 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0Fig．1 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS： τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0

圖2 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．2 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01

圖3 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．03Fig．3 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．03

圖1～3討論了控制力參數(shù)u0對瞬態(tài)概率密度p（a，t）的影響。圖1畫出了當u0＝0時，在式（51）中取21項計算所得的p（a，t）的圖像，圖2是令u0＝0．01并在式（51）中截斷到j＝20得到的結(jié)果，圖3是令u0＝0．03并在式（51）中截斷到j＝35得到的結(jié)果。如圖所示：理論解和MCS解吻合程度好，證明了理論和數(shù)值求解的有效性。比較圖1～3看出：p（a，t）隨控制力增大向左偏移并且此偏移隨時間增大越來越明顯。隨控制力u0增大p（a，t）將集中在較小振幅值范圍內(nèi)并在較小幅值處達到峰值。從概率的觀點可以解釋為：系統(tǒng)將以較大概率在較小程度響應，即最優(yōu)有界控制率成功地降低了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。正如文獻［13］中指出的，當計算的項數(shù)達到一定程度時，由計算項數(shù)不同而引起的計算誤差可忽略。根據(jù)本文的數(shù)值計算過程發(fā)現(xiàn)，當計算項數(shù)大于100時，由于計算項數(shù)不同引起的誤差便可以忽略。當u0由0．03繼續(xù)增大時（u0?1），需計算至少30項能得到較好結(jié)果，即系統(tǒng)中涉及到的非線性行為越復雜所需要計算的項數(shù)就越多。

圖2，4和5討論了在相同條件下，不同的時滯參數(shù)對p（a，t）的影響，計算過程中式（51）截斷到j＝20。以圖4作為參考并分析得到：τ1＝τ2＝4．7（圖5）時p（a，t）向左偏移的程度比τ1＝τ2＝0．5（圖2）時p（a，t）向左偏移的程度大，即τ1＝τ2＝4．7時的系統(tǒng)響應程度較小。在相同控制力作用下，時滯因素使得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應產(chǎn)生了明顯變化，即時滯可以影響控制力的作用。另外，聯(lián)合式（3），（4）可以得到在平均意義下系統(tǒng)（41）的等效線性阻尼系數(shù)為ξ1＝ξ0－0．005（cosτ2－sinτ1），即時滯作用主要通過影響系統(tǒng)的線性阻尼部分來影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。

圖4 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝1．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．4 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝1．5，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01

圖5 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝4．7，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．5 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝4．7，D1＝1，□1＝3，β1＝0．5，u0＝0．01

圖6和7討論了不同色噪聲參數(shù)對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響，計算過程中式（51）截斷到j＝20。圖6中令□1＝3．5其余參數(shù)保持與圖2中相同，對比圖2和6發(fā)現(xiàn)：當□1＝3．5時p（a，t）明顯向左偏移并且在較小幅值達到峰值，從一個側(cè)面說明了適當增大□1可降低系統(tǒng)瞬態(tài)響應程度。圖7中令β1＝1．0其余參數(shù)與圖2中相同。對比圖2和7看出：較大的β1使得p（a，t）集中在較小的振幅值范圍內(nèi)并在較小幅值處達到峰值，這也說明了適當增大β1可降低系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。綜合圖2，6和7看出：在相同控制力條件下，適當改變色噪聲參數(shù)可加強控制力的作用。在工程實踐中當控制力有限時，可通過噪聲的作用加強控制效果。

圖6 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3．5，β1＝0．5，u0＝0．01Fig．6 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3．5，β1＝0．5，u0＝0．01

圖7 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝1，u0＝0．01Fig．7 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝1，□1＝3，β1＝1，u0＝0．01

圖8中給出了當系統(tǒng)頻率ω0與激勵頻率□1相接近時系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，計算過程中式（51）截斷到j＝20。由圖可見：理論解和MCS解擬合程度高證明了共振條件下理論求解方法的也是有效的。

圖8 p（a，t）的曲線，—理論解，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝0．03，□1＝1．1，β1＝1，u0＝0．001Fig．8 Curves of p（a，t），—theory solution，＊○□×●◇? MCS：τ1＝τ2＝0．5，D1＝0．03，□1＝1．1，β1＝1，u0＝0．001

圖1～8的綜合討論說明了文中所提的理論方法可有效計算受最優(yōu)有界控制的色噪聲激勵的時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應。

5 結(jié) 論

本文系統(tǒng)地研究了最優(yōu)有界控制力作用下色噪聲激勵的多時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應概率密度。主要包括以下兩個部分：（1）引入最優(yōu)有界控制率來控制色噪聲激勵的多時滯擬線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，并提出了求解其瞬態(tài)響應概率密度的近似方法。該方法包括如下四個方面：首先將時滯方程轉(zhuǎn)化為等價的非時滯方程；其次利用標準隨機平均法得到系統(tǒng)振幅過程的部分平均It?隨機微分方程；利用動態(tài)規(guī)劃原理并結(jié)合控制力有界的條件導出了最優(yōu)有界控制率，將其代入部分平均It?隨機微分方程并完成所有平均過程得到完全平均的FPK方程；利用FPK方程本征函數(shù)法得到一組正交基空間并在此基空間內(nèi)進行Galerkin變分得到系統(tǒng)的近似瞬態(tài)響應。（2）以受最優(yōu)有界控制率作用的色噪聲激勵的Duffing－Van Der Pol振子為算例實現(xiàn)上述求解過程，利用數(shù)值計算綜合討論了控制力、時滯和色噪聲參數(shù)以及共振條件下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應概率密度并采用MCS證明了所有理論解的有效性。本文涉及的系統(tǒng)是擬線性系統(tǒng)，關(guān)于受控的強非線性系統(tǒng)的瞬態(tài)響應問題還有待于進一步研究。

［1］ 王洪禮，姚士磊，葛根，等．形狀記憶合金梁在隨機激勵下的隨機分岔與首次穿越［J］．振動與沖擊，2012，31（9）：24—28．

Wang Hongli，Yao Shilei，Ge Gen，et al．Stochastic bifurecation and first－passage failure of shape memory alloy beam subjevted to stochastic excitation［J］．Journal of Vibration and Shork，2012，31（9）：24—28．

［2］ 孫忠奎，徐偉，楊曉麗．窄帶激勵下帶有時滯反饋的非線性動力系統(tǒng)的響應［J］．振動工程學報，2006，19（1）：57—64．

Sun Zhongkui，Xu Wei，Yang Xiaoli．Response of nonlinear system to randon narrow－band excitation with time delay state feedback ［J］．Journal of Vibration Engingeering，2006，19（1）：57—64．

［3］ 方同．工程隨機振動［M］．北京：國防工業(yè)出版社，1995．

［4］ Zhu W Q，Huang Z L，Ko J M，et al．Optimal feedback control for strongly non－linear systems excited by bounded noise ［J］．Jurnal of Sound and Vibration，2004，274（3）：701—724．

［5］ Guo P R，Xu W，Liu D．Upper bound for the time derivative of entropy for a stochastic dynamical system with double singularities driven by non－Gaussian noise［J］．Chinese Physics B，2010，19（3）：030520－1－6．

［6］ Caughey T K，Dienes J K．Analysis of a nonlinear first－order system with a white noise input［J］．Journal of Applied Physics，1961，32（11）：2 476—2 479．

［7］ Feng C S，Wu Y J，Zhu W Q．Response of Duffing system with delayed feedback control under combined harmonic and real noise excitations ［J］．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14（6）：2 542—2 550．

［8］ Feng C S，Zhu W Q．Response of harmonically and stochastically excited strongly nonlinear oscillators with delayed feedback bang－bang control［J］．Journal of Zhejiang University－Science A，2009，10（1）：54—61．

［9］ Xie W X，Xu W，Cai L．Path integration of Duffing－Rayleigh oscillator subject to harmonic and stochastic excitations［J］．Applied Mathematics and Computation，2005，171（2）：870—884．

［10］Li J，Yan Q，Chen J B．Stochastic modeling of engineering dynamic excitations for stochastic dynamics of structures［J］．Probabilistic Engineering Mechanics，2012，27（1）：19—28．

［11］Bhandari R G，Sherrer R E．Random vibrations in discrete nonlinear dynamic systems［J］．Journal of Mechanical Engineering Science，1968，10（2）：168—174．

［12］Wen Y K．Approximate method for nonlinear random vibration ［J］．Journal of the Engineering Mechanics Division，1975，101（4）：389—401．

［13］Spanos P D，Sofi A，Di Paola M．Nonstationary response envelope probability densities of nonlinear oscillators［J］．Journal of Applied Mechanics，2007，74（2）：315—324．

［14］Jin X L，Huang Z L．Nonstationary probability densities of strongly nonlinear single－degree－of－freedom oscillators with time delay ［J］．Nonlinear Dynamics，2010，59（1）：195—206．

［15］張娜敏，徐偉，王超慶．色噪聲驅(qū)動的非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng) 的平均首次穿越時間［J］．物理學報，2007，56（9）：5 083—5 087．

Zhang Namin，Xu Wei，Wang Chaoqing．The mean first－passage time for an asymmetric bistable system driven by multiplicative colored and addictive white noise with a correlated noise［J］．Acta Physica Sinica，2007，56（9）：5 083—5 087．

［16］Xu Y，Gu R C，Zhang H Q，et al．Stochastic bifurecations in a bistable Duffing－Van der Pol oscillator with colored noise［J］．Physical Review E，2011，83（5）：0562151－6．

［17］吳勇軍，朱位秋．色噪聲激勵下 Duffing－Rayleigh－Mathieu系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應 ［J］．振動工程學報，2009，22（2）：207—212．

Wu Yongjun，Zhu Weiqiu．Stationary response of Duffing－Rayleigh－Mathieu system under colored noise excitation ［J］．Journal of Vibration and Engineering，2009，22（2）：207—212．

［18］楊建華，胡棟梁，劉先斌．非高斯色噪聲激勵下Van der pol Duffing振子的隨機穩(wěn)定性 ［J］．振動工程學報，2011，24（1）：240—250．

Yang J H，Hu D L，Liu X B．The Stochastic stability of a Van der pol Duffing oscillator under a non Gaussian colored noise excitation ［J］．Journal of Vibration and Engineering，2011，24（1）：240—250．

［19］Zhu W Q，Deng M L．Optimal bounded control for minmizing the response of quasi－integrable Hamiltonian systems［J］．Internatinal Journal of Non－linear Mechanics，2004，39（9）：1 535—1 546．

［20］朱位秋．隨機振動［M］．北京：科學出版社，1992：285—287．

［21］Feng J，Zhu W Q，Liu Z H．Stochastic optimal timedelay control of quasi－integrable Hamiltonian systems［J］．Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation．2011，16（8）：2 978—2 984．

［22］Khasminskii R Z．A limit theorem for the solution of differential equations with random right－h(huán)and sides［J］．Theory of Probability and Its Applications，1966，11（3）：390—406．

［23］朱位秋．非線性隨機動力學與控制［M］．北京：科學出版社，2003：405—407．

［24］Gardiner C W．Handbook of Stochastic Methods for Physics，Chemistry and the Natural Science［M］．2nd ed．Berlin：Springer－Velarge，1983．