軌道隨機(jī)不平順影響下高速鐵路地基動(dòng)力分析模型＊

馮青松，雷曉燕，練松良

（1．華東交通大學(xué)鐵路環(huán)境振動(dòng)與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013；2．同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 201804）

引 言

高速列車在軌道上行駛時(shí)將引起軌道、路基及地基的振動(dòng)，當(dāng)振動(dòng)波通過地基傳遞到建筑物基礎(chǔ)時(shí)將誘發(fā)建筑物振動(dòng)及輻射低頻結(jié)構(gòu)噪聲，形成環(huán)境振動(dòng)問題，對(duì)人們的日常生活和工作產(chǎn)生影響。路基及地基振動(dòng)是鐵路環(huán)境振動(dòng)中最基本問題，是進(jìn)行環(huán)境振動(dòng)預(yù)測、減振及隔振設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。影響地基振動(dòng)的因素眾多，如列車類型、行車速度、輪軌表面的平順狀態(tài)、軌道結(jié)構(gòu)類型、路基及地基中土層分布及土體材料特性等。近年來國內(nèi)外鐵路工作者對(duì)高速鐵路地基振動(dòng)給予了大量關(guān)注，出現(xiàn)了許多有代表性的研究成果［1～17］。

在這些研究中，一般采用基于頻率－波數(shù)域的解析或半解析法［1～10］，數(shù)值計(jì)算方法如有限元［11～14］、有限元－邊界元混合法等［15～17］。數(shù)值計(jì)算方法具有強(qiáng)大的分析能力，能較好地適應(yīng)復(fù)雜系統(tǒng)的不同狀況，但當(dāng)列車高速運(yùn)行時(shí)，計(jì)算模型必須很大，計(jì)算時(shí)間步長需很短，這樣計(jì)算成本很高，特別是在設(shè)計(jì)階段，需進(jìn)行大量的方案比較，此時(shí)數(shù)值計(jì)算方法的應(yīng)用受到很大的限制。解析或半解析法通過適當(dāng)?shù)膸缀魏喕?，能較好地分析復(fù)雜系統(tǒng)振動(dòng)的基本特性，具有高效的計(jì)算效率，受到學(xué)者和工程師的推崇。文獻(xiàn)［1～5］采用解析法分析了移動(dòng)軸荷載作用下軌道－地基或軌道－路基的振動(dòng)響應(yīng)，但未考慮車輛與軌道的耦合振動(dòng)。文獻(xiàn)［6～8］將軌道不平順考慮為諧波不平順，通過車輛－軌道－地基耦合振動(dòng)模型分析了列車行駛引起的地基振動(dòng)。文獻(xiàn)［9］提出了軌道隨機(jī)不平順功率譜密度與地基表面位移功率譜之間的關(guān)系式，得到地基表面位移功率譜，但文中所建模型不能得到動(dòng)態(tài)輪軌力，也很難應(yīng)用于地基表面振動(dòng)的時(shí)程分析。文獻(xiàn)［10］建立了分析軌道隨機(jī)不平順影響下地基振動(dòng)的半解析模型，但由于使用了解析法、邊界元法等多種理論方法，理論推導(dǎo)復(fù)雜，編程難度很高，計(jì)算效率較低。

作者曾建立了車輛－軌道－路基－地基耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)模型，軌道不平順考慮為諧波不平順。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，引入虛擬激勵(lì)法和諧波疊加原理，建立了軌道隨機(jī)不平順影響下高速鐵路地基振動(dòng)分析模型，通過與現(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比驗(yàn)證了模型的有效性。與文獻(xiàn)［9，10］所建模型相比，本文模型思路清晰易懂，程序編制相對(duì)簡單，計(jì)算效率高，適用于對(duì)軌道隨機(jī)不平順影響下高速鐵路地基振動(dòng)進(jìn)行時(shí)域及頻譜分析。

1 虛擬激勵(lì)法求解軌道隨機(jī)不平順引起的動(dòng)態(tài)輪軌力功率譜

列車荷載作用下地基的動(dòng)應(yīng)變很小，一般考慮為線彈性體，因此在研究鐵路地基振動(dòng)時(shí)，一般將車輛－軌道－路基－地基系統(tǒng)考慮為線性系統(tǒng)。在文獻(xiàn)［7］中作者建立了基于線性系統(tǒng)假設(shè)的車輛－有砟軌道－路基－地基耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)模型（見圖1）。模型中軌道不平順考慮為諧波不平順。移動(dòng)車輛考慮為彈簧與阻尼器連接的多剛體系統(tǒng)；包括鋼軌、扣件及墊板、軌枕、道床、路基基床的軌道結(jié)構(gòu)考慮為層狀彈性多層梁模型；路堤本體－地基考慮為層狀半空間體；車輪和鋼軌為線性赫茲彈性接觸。由輪軌接觸點(diǎn)處位移限制條件，可求解得動(dòng)態(tài)輪軌力的方程

式中AW，AR分別為車輛在輪對(duì)處、軌道－路基－地基系統(tǒng)在輪軌接觸點(diǎn)處的柔度矩陣，AΔ為輪軌線性赫茲接觸柔度系數(shù)矩陣，Δz（）Ω為輪軌接觸點(diǎn)處軌道表面諧波不平順，P（Ω）為動(dòng)態(tài)輪軌力幅值，上述各式的具體表達(dá)式見文獻(xiàn)［7］。

圖1 車輛－軌道－路基－地基耦合系統(tǒng)垂向振動(dòng)模型Fig．1 Vertical vibration model of the vehicle－track－subgrade－ground coupled system

虛擬激勵(lì)法是中國學(xué)者林家浩等提出的用于分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的新方法，其具體原理見文獻(xiàn)［18］．當(dāng)列車在具有軌道不平順的鐵路軌道上運(yùn)行時(shí)，同一條軌道上的任意兩車輪可以認(rèn)為受到相同的軌道不平順激勵(lì)作用，兩激勵(lì)間存在某一時(shí)間差，即第一個(gè)輸入激勵(lì)點(diǎn)之后各點(diǎn)的輸入可視為前一個(gè)輸入點(diǎn)的簡單延時(shí)。設(shè)系統(tǒng)受到M點(diǎn)（M個(gè)輪對(duì)）異相位平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)Δz（t），則有

式中 Δz（t）為軌道高低不平順平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的時(shí)間歷程函數(shù)；tj（j＝1，2，…，M）為各激勵(lì)點(diǎn)處的激勵(lì)滯后時(shí)間，tj＝（aj－a1）／c，aj為t＝0時(shí)第j個(gè)輪對(duì)的位置坐標(biāo)，c為列車運(yùn)行速度；Δz（t）可視為一個(gè)廣義的單激勵(lì)。設(shè)Δz（t）的自譜密度為Sv（Ω），則相應(yīng)的虛擬激勵(lì)可設(shè)為

由于軌道不平順功率譜一般為以空間圓頻率表示的單邊功率譜Sv（β），而Sv（Ω）為時(shí)間功率譜，因此計(jì)算中需首先將軌道不平順功率譜轉(zhuǎn)換為以時(shí)間圓頻率表示的單邊功率譜。時(shí)間圓頻率Ω＝βc，β為空間圓頻率，則時(shí)間功率譜Sv（Ω）為

將式（7）代入式（4），利用上述方法可得到軌道隨機(jī)不平順引起的動(dòng)態(tài)輪軌力的單邊功率譜密度SPP（Ω）。常規(guī)的動(dòng)態(tài)輪軌力計(jì)算中，需先由軌道不平順功率譜反演軌道不平順樣本，再由軌道不平順樣本求解動(dòng)態(tài)輪軌力功率譜。本文直接利用軌道不平順功率譜得到準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)輪軌力功率譜，減少了誤差，極大地減小了計(jì)算工作量。

2 求解軌道－路基－地基隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的諧波疊加法

軌道隨機(jī)不平順一般可考慮為平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，由于整個(gè)系統(tǒng)模擬為線性定常系統(tǒng)，則動(dòng)態(tài)輪軌力P（t）也為平穩(wěn)隨機(jī)過程。由隨機(jī)振動(dòng)理論知，激振力P（t）作用于軌道上固定點(diǎn)時(shí)，軌道－路基－地基系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)也應(yīng)為平穩(wěn)隨機(jī)過程；但當(dāng)P（t）在軌道上移動(dòng)時(shí)，此時(shí)即使激振力為平穩(wěn)隨機(jī)過程，但軌道－路基－地基系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)卻為非平穩(wěn)隨機(jī)過程。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程，用一個(gè)功率譜密度函數(shù)就足夠來描述整個(gè)過程；而對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)過程，則每一個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)功率譜密度函數(shù)，需用譜場（功率譜隨頻率和時(shí)間的變化）來表示。由于譜場計(jì)算非常復(fù)雜，且沒有明確的物理意義，因此工程上一般仍借用平穩(wěn)隨機(jī)過程的方法來近似處理非平穩(wěn)隨機(jī)過程。本文將非平穩(wěn)隨機(jī)過程近似處理為平穩(wěn)隨機(jī)過程。

動(dòng)態(tài)輪軌力P（t）可表示為指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)形式，即

式中P0為軸荷載。根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，軌道－路基－地基系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)為移動(dòng)軸荷載和所有動(dòng)態(tài)輪軌力諧波分量引起的振動(dòng)響應(yīng)的疊加。

對(duì)式（10）取模的平方，并考慮到各諧波分量之間相互獨(dú)立，則得相應(yīng)的地基表面的位移能量譜為

式中T為觀測周期，取列車通過某點(diǎn)的時(shí)間。同理，可求出鋼軌、軌枕、道砟和基床表面加速度功率譜密度的估計(jì)值。

式（11）表明，能量譜的計(jì)算需在頻率Ωk，－Ωk處計(jì)算位移響應(yīng)頻譜，而且為得到精確而光滑的能量譜，頻率采樣點(diǎn)數(shù)N應(yīng)取很大，對(duì)盡量多的譜頻率計(jì)算能量譜，因此計(jì)算工作量非常大。為此需研究位移響應(yīng)頻譜的簡化計(jì)算方法。

由文獻(xiàn)［7］可知，在移動(dòng)諧荷載作用下地基表面位移可表示為

令（Ωk－2πf）／c＝βk，則式（16）變?yōu)?/p>

根據(jù)關(guān)于x，y的空間雙重傅里葉逆變換公式

式（17）可改寫為

由式（9）知，作用于軌道上的總荷載為軸荷載和傅立葉級(jí)數(shù)表示的N個(gè)正負(fù)諧波分量的疊加，移動(dòng)軸荷載可看作頻率Ω＝0的諧波分量。在任一個(gè)諧波分量作用下軌道－路基－地基系統(tǒng)各部分的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)程可根據(jù)文獻(xiàn)［7］計(jì)算得到。根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，振動(dòng)響應(yīng)的總時(shí)程為所有諧波分量作用下的時(shí)程疊加。為提高計(jì)算效率，可將動(dòng)態(tài)輪軌力諧波分量劃分為合適的諧波區(qū)間，根據(jù)能量等效原則計(jì)算出諧波區(qū)間中心頻率處動(dòng)態(tài)輪軌力的等效幅值，這樣求解振動(dòng)響應(yīng)的總時(shí)程只需在各諧波區(qū)間中心頻率處計(jì)算即可。

諧波區(qū)間中心頻率處的動(dòng)態(tài)輪軌力等效幅值的計(jì)算方法：假定動(dòng)態(tài)輪軌力時(shí)域信號(hào)為a（t），其功率譜密度為SPP（f），f為頻率。某一個(gè)頻帶的下限頻率是fl，上限頻率是fu，該頻帶總的功率為

假設(shè)該功率是由某頻率等于該頻帶中心頻率的簡諧振動(dòng)產(chǎn)生的，該簡諧振動(dòng)的振幅為A，則中心頻率處的動(dòng)態(tài)輪軌力有效值為

采用諧波疊加法求解軌道－路基－地基系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)功率譜和時(shí)程，思路清晰；另外通過在波數(shù)域內(nèi)直接計(jì)算位移頻譜、劃分合適的諧波區(qū)間等，可大大提高求解隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)功率譜和時(shí)程的計(jì)算效率。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

3．1 計(jì)算參數(shù)

為驗(yàn)證本文所提模型的合理性，于2010年1月在滬寧鐵路嘉定段進(jìn)行了地基振動(dòng)現(xiàn)場測試，模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

測試地段為雙線電氣化鐵路，路堤高約1．5m。選擇靠近下行線線路一側(cè)平坦地面進(jìn)行測試，在距下行線線路中心線14，24，34，44m處同時(shí)布置4個(gè)測點(diǎn)，每個(gè)測點(diǎn)同時(shí)測試x，y，z三個(gè)方向的地基表面振動(dòng)加速度。將VM53A檢測到的信號(hào)輸出到INV306U5206數(shù)據(jù)采集分析儀，并利用DASP分析軟件進(jìn)行分析處理。

針對(duì)測試地點(diǎn)實(shí)際工況，選擇合適參數(shù)，利用文中模型進(jìn)行計(jì)算分析。列車類型CRH2，運(yùn)行速度200km／h，CRH2動(dòng)車組車輛基本參數(shù)見表1，單節(jié)CRH2動(dòng)車車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2。

表1 CRH2動(dòng)車組基本參數(shù)Tab．1 Basic parameters of CRH2train

表2 單節(jié)CRH2動(dòng)車車輛結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab．2 Parameters of single－unit CRH2vehicle

表3 有砟軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab．3 Parameters of ballasted track

由于無測試地段的軌道不平順實(shí)際參數(shù)，軌道隨機(jī)不平順選取德國低干擾高速線路軌道譜，該不平順也是中國高速鐵路總體技術(shù)條件下進(jìn)行列車平穩(wěn)性分析時(shí)建議采用的譜密度函數(shù)，其軌道高低不平順譜密度表達(dá)式為

式中β為軌道不平順的空間角頻率（rad／m）；βc，βr，Av依次取值為0．824 6rad／m，0．020 6rad／m，4．032×10－7m·rad。

測試點(diǎn)地基土體為灰色粉性土，參考上海地區(qū)工程勘察報(bào)告取測試地段地基土層參數(shù)見表4。

表4 測試地段地基土層計(jì)算參數(shù)Tab．4 Parameters of ground on the test site

3．2 地基表面振動(dòng)加速度頻譜的理論計(jì)算與實(shí)測結(jié)果比較

選取3．1中計(jì)算參數(shù)，利用本文模型對(duì)試驗(yàn)實(shí)際工況進(jìn)行計(jì)算分析，理論計(jì)算與實(shí)測的地基表面測點(diǎn)振動(dòng)加速度振級(jí)見圖2。由圖可看出：理論計(jì)算的1／3倍頻程頻譜與實(shí)測結(jié)果吻合較好，特別是在低頻段和距離軌道較近測點(diǎn)如14m測點(diǎn)，這證明了本文理論模型的合理性。另外由圖也可看出：在高頻段理論預(yù)測與實(shí)測結(jié)果兩者偏差較大；距軌道中心線較遠(yuǎn)測點(diǎn)，模型預(yù)測精度有所下降。產(chǎn)生這種結(jié)果可能與土體模型的簡化假定有關(guān)。當(dāng)前土體模型為半無限大層狀土體模型，各層土考慮為均質(zhì)且各向同性的粘彈性體，而實(shí)際地基中土體為非均質(zhì)、各向異性體，其空間分布經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)局部變化。當(dāng)考慮低頻振動(dòng)時(shí)，土體中振動(dòng)波主要波長較長，小范圍的土體變化不影響這些主要波長，然而當(dāng)頻率較高時(shí)，小范圍的土體變化可能影響土體中較短波長的振動(dòng)波。

3．3 地基表面振動(dòng)加速度時(shí)程的理論預(yù)測與實(shí)測結(jié)果比較

理論計(jì)算和實(shí)測的距下行線路軌道中心線14，24，34和44m四個(gè)測點(diǎn)處振動(dòng)加速度時(shí)程曲線見圖3。

圖2 距下行線路軌道中心線不同距離測點(diǎn)垂向振動(dòng)加速度級(jí)Fig．2 Vertical acceleration level at different distance test points from the track centre－line of the down line

圖3 距下行線軌道中心線不同距離測點(diǎn)垂向振動(dòng)加速度時(shí)程曲線（左、右圖分別為實(shí)測與理論計(jì)算結(jié)果）Fig．3 Vertical acceleration time history at different distance test points from the track centre－line of the down line（the left and right figure are the measured and theoretical calculation results respectively）

由圖3可看出：除24m測點(diǎn)處理論預(yù)測的最大垂向振動(dòng)加速度比實(shí)測結(jié)果偏大外，其他測點(diǎn)處理論預(yù)測的最大垂向振動(dòng)加速度時(shí)程與實(shí)測結(jié)果吻合較好。這進(jìn)一步證明了利用本文模型預(yù)測地基振動(dòng)的合理性。從實(shí)測和理論計(jì)算結(jié)果可清晰地看出地基表面垂向振動(dòng)加速度隨距軌道中心線距離的增加而不斷衰減。

4 結(jié) 論

本文建立了考慮軌道隨機(jī)不平順的車輛－有砟軌道－路基－層狀地基垂向耦合振動(dòng)解析模型。模型中，將虛擬激勵(lì)法和解析的波數(shù)－頻率域法有效結(jié)合起來，由軌道不平順的功率譜密度，直接得到準(zhǔn)確的動(dòng)態(tài)輪軌力功率譜。利用諧波疊加原理，將移動(dòng)列車軸荷載和軌道隨機(jī)不平順引起的動(dòng)態(tài)輪軌力考慮為諧波疊加形式，根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理，求得地基動(dòng)力響應(yīng)的振動(dòng)加速度功率譜密度估計(jì)值和時(shí)程。與既有模型相比，本文模型思路清晰易懂、程序編制相對(duì)簡單，計(jì)算效率高，適用于對(duì)軌道隨機(jī)不平順影響下高速鐵路地基振動(dòng)進(jìn)行時(shí)域及頻譜分析。通過與現(xiàn)場試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析，證明了本文所提解析模型的合理性。

［1］ 謝偉平，胡建武，徐勁．高速移動(dòng)荷載作用下的軌道－地基系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)［J］．巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2002，21（7）：1 075—1 078．

Xie Wei－ping，Hu Jian－wu，Xu Jin．Dynamic response of track－ground systems under high speed moving load［J］．Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2002，21（7）：1 075—1 078．

［2］ 邊學(xué)成，陳云敏．列車荷載作用下軌道和地基的動(dòng)響應(yīng)分析［J］．力學(xué)學(xué)報(bào)，2005，37（4）：477—484．

Bian Xue－cheng，Chen Yun－min．Dynamic analysis of track and ground coupled system with high－speed train loads［J］．Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2005，37（4）：477—484．

［3］ 聶志紅，劉寶深，李亮，等．移動(dòng)荷載作用下軌道路基動(dòng)力響應(yīng)分析［J］．中國鐵道科學(xué)，2006，27（2）：15—19．

Nie Zhi－h(huán)ong，Liu Bao－chen，Li Liang，et al．Study on the dynamic response of the track／subgrade under moving load［J］．China Railway Science，2006，27（2）：15—19．

［4］ 李志毅，高廣運(yùn)，馮世進(jìn)，等．高速列車運(yùn)行引起的地表振動(dòng)分析［J］．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，35（7）：909—914．

Li Zhi－yi，Gao Guang－yun，F(xiàn)eng Shi－jin，et al．Analysis of ground vibration induced by high－speed train［J］．Journal of Tongji University（Natural Science），2007，35（7）：909—914．

［5］ 和振興，翟婉明．高速列車作用下板式軌道引起的地面振動(dòng)［J］．中國鐵道科學(xué)，2007，28（2）：7—11．

He Zhen－xing，Zhai Wan－ming．Ground vibration generated by high－speed trains along slab tracks［J］．China Railway Science，2007，28（2）：7—11．

［6］ Xia H，Cao Y M，Roeck G De．Theoretical modeling and characteristic analysis of moving－train induced ground vibrations［J］．Journal of Sound and Vibration，2010，329：819—832．

［7］ 馮青松，雷曉燕，練松良．高速鐵路路基－地基系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)分析［J］．鐵道科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2010，7（1）：1—6．

Feng Qing－song，Lei Xiao－yan，Lian Song－liang．Vibration analysis of high－speed railway subgrade－ground system ［J］．Journal of Railway Science and Engineering，2010，7（1）：1—6．

［8］ 蔡袁強(qiáng)，王 玉，曹志剛，等．列車運(yùn)行時(shí)由軌道不平順引起的地基振動(dòng)研究［J］．巖土力學(xué)，2012，33（2）：327—335．

Cai Yuan－qiang，Wang Yu，Cao Zhi－gang，et al．Study of ground vibration from trains caused by track irregularities［J］．Rock and Soil Mechanics，2012，33（2）：327—335．

［9］ Sheng X，Jones C J C，Thompson D J．A theoretical model for ground vibration from trains generated by vertical track irregularities［J］．Journal of Sound and Vibration，2004，272：937—965．

［10］Lombaert G ，Degrande G ．Ground－borne vibration due to static and dynamic axle loads of InterCity and high－speed trains［J］．Journal of Sound and Vibration，2009，319：1 036—1 066．

［11］Ju S H，Liao J R，Ye Y L．Behavior of ground vibrations induced by trains moving on embankments with rail roughness［J］．Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2010，30：1 237—1 249．

［12］Galvín P，Romero A，Domínguez J．Fully three－dimensional analysis of high－speed train－track－soil－structure dynamic interaction［J］．Journal of Sound and Vibration，2010，329：5 147—5 163．

［13］和振興，翟婉明，楊吉忠，等．鐵路交通地面振動(dòng)的列車－軌道－地基耦合數(shù)值方法研究［J］．振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21（5）：488—492．

He Zhen－xing，Zhai Wan－ming，Yang Ji－zhong，et al．Train－track－ground coupling numerical method for railway traffic induced ground vibration［J］．Journal of Vibration Engineering，2008，21（5）：488—492．

［14］高廣運(yùn)，何俊鋒，楊成斌，等．2．5維有限元分析飽和地基列車運(yùn)行引起的地面振動(dòng)［J］．巖土工程學(xué)報(bào)，2011，33（2）：234—241．

Gao Guang－yun，He Jun－feng，Yang Cheng－bin，et al．Ground vibration induced by trains moving on saturated ground using 2．5DFEM［J］．Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2011，33（2）：234—241．

［15］Auersch L．The excitation of ground vibration by rail traffic：theory of vehicle－track－soil interaction and measurements on high－speed lines［J］．Journal of Sound and Vibration，2005，284：103—132．

［16］Sheng X，Jones C J C，Thompson D J．Prediction of ground vibration from trains using the wavenumber finite and boundary element methods［J］．Journal of Sound and Vibration，2006，293：575—586．

［17］Costa P Alves，Calcada R，Cardoso A Silva．Trackground vibrations induced by railway traffic：In－situ measurements and validation of a 2．5DFEM－BEM model［J］．Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2012，32：111—128．

［18］林家浩，張亞輝．隨機(jī)振動(dòng)的虛擬激勵(lì)法［M］．北京：科學(xué)出版社，2004．