密排圓形胞元蜂窩面內(nèi)等效彈性參數(shù)的模擬仿真

梁 森，雒 磊

(青島理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 青島 266033)

蜂窩夾芯復(fù)合材料結(jié)構(gòu)是由兩塊高強(qiáng)度的上下蒙皮和填充其中的軟而輕的夾芯所組成。常見蜂窩夾芯胞元形式有正六邊形、正方形、圓形等，圓形又分為疏排圓形和密排圓形，材質(zhì)可以是鋁合金、芳綸紙(Nomex紙)、玻璃布等;蒙皮可采用纖維板、鋁合金板等。蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)由于具有較高的比強(qiáng)度和較好的隔熱、耐沖擊等優(yōu)點(diǎn)，因而在航空、航天等高科技領(lǐng)域有極廣泛的應(yīng)用。目前，對(duì)蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)的研究方法一般分為理論近似法、實(shí)驗(yàn)法和數(shù)值模擬法。其中理論近似法是先對(duì)實(shí)際力學(xué)模型進(jìn)行一定簡(jiǎn)化假設(shè)，在理論上找出蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)模型，分析時(shí)用等效力學(xué)模型代替原來(lái)的實(shí)際結(jié)構(gòu)，近似地求出原來(lái)結(jié)構(gòu)固有的某些力學(xué)性能參數(shù)［1-4］，該法往往能得出理論計(jì)算公式，但是模型的簡(jiǎn)化假設(shè)和等效使理論分析與實(shí)際結(jié)果有一定差距。實(shí)驗(yàn)法是研究蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的一種有效的方法，該法要對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)試件加一定的載荷，使其產(chǎn)生一定變形，經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)力和應(yīng)變計(jì)算得到面內(nèi)等效彈性參數(shù)分析結(jié)果［5-11］，實(shí)驗(yàn)法應(yīng)用廣泛且結(jié)果直觀、可靠，但這種方法比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且要想總結(jié)出某種蜂窩結(jié)構(gòu)的規(guī)律，就要花費(fèi)大量的實(shí)驗(yàn)試件。對(duì)蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)分析的第3種方法就是數(shù)值模擬的方法，這種方法就是利用大型有限元軟件或自編的有限元程序來(lái)對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行模擬分析，該法雖然計(jì)算量大但它可以剔除理論近似中的簡(jiǎn)化假設(shè)和實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)誤差。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的學(xué)者使用數(shù)值模擬法研究蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)，由于密排圓形胞元蜂窩夾芯幾何結(jié)構(gòu)中存在著無(wú)理數(shù)建模的問(wèn)題，所以目前的研究多集中在正六邊形、正方形、疏排圓形胞元蜂窩結(jié)構(gòu)的面內(nèi)等效彈性參數(shù)的數(shù)值模擬方面［12-17］。為此本文提出了一種新的建模方法，在前人研究的基礎(chǔ)上，得出密排圓形胞元蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)隨胞壁厚度t、胞壁半徑r和胞元高度h的變化曲線，獲得了密排圓形胞元蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)的變化規(guī)律，并給出了該結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)的計(jì)算公式及其應(yīng)用范圍，研究結(jié)果對(duì)于圓形胞元蜂窩夾層結(jié)構(gòu)理論研究具有一定的指導(dǎo)意義。

1 密排圓形胞元蜂窩結(jié)構(gòu)

密排圓形胞元蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)如圖1所示，它是由一個(gè)個(gè)小圓柱殼體通過(guò)膠接加工而成，對(duì)于疏排圓形蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)一個(gè)胞元只和4個(gè)相鄰胞壁膠接，文獻(xiàn)［17］中已對(duì)其進(jìn)行了分析研究，而密排圓形蜂窩夾芯在膠接過(guò)程中要與6個(gè)相鄰胞元膠接。這就決定了這2種蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)在面內(nèi)力學(xué)性能方面有較大差別，這里要對(duì)它進(jìn)行深入研究。

圖1 密排圓形蜂窩胞元結(jié)構(gòu)

2 圓形胞元蜂窩有限元模型建立

蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)是分析夾層板的基礎(chǔ)，學(xué)者們?cè)趯?duì)蜂窩夾芯層合板進(jìn)行理論分析時(shí)往往將夾芯視為均質(zhì)二維正交各向異性的板來(lái)進(jìn)行計(jì)算［1-4，17］，其本構(gòu)關(guān)系為

式(1)中:T為矩陣轉(zhuǎn)置;D可寫成

對(duì)于均勻變形體，其應(yīng)變列向量為

彈性矩陣D是蜂窩夾芯板結(jié)構(gòu)分析設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。式(1)～ 式(3)中:σx、εx、Ex、vx和 Δu 分別為等效的正交各向異性層合板在x方向應(yīng)力、應(yīng)變、楊氏模量、Poisson比和Δx的變形量;σxy、ε'xy和Gxy分別為密排圓形胞元蜂窩夾芯面內(nèi)剪應(yīng)力、剪應(yīng)變和剪切模量;σy、εy、Ey、vy和 Δv分別為等效的正交各向異性層合板在y方向應(yīng)力、應(yīng)變、楊氏模量、Poisson比和Δy上的變形量。

在實(shí)際的蜂窩夾芯復(fù)合板中，夾芯層的蜂窩胞元個(gè)數(shù)是很多的，在利用三維有限元數(shù)值模擬技術(shù)分析密排圓形胞元蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)時(shí)，一方面沒(méi)有必要直接把實(shí)際的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)完全照搬過(guò)來(lái)建立有限元模型，如果這樣就只能增加計(jì)算時(shí)間;另一方面也不是胞元個(gè)數(shù)越少越好，這樣會(huì)使加載后應(yīng)力集中現(xiàn)象無(wú)法消除，影響計(jì)算精度。綜合考慮上述因素，并根據(jù)Saint Venant原理以及多次模擬分析結(jié)果和前人實(shí)驗(yàn)所用試件大小，選擇合理胞元?dú)さ臄?shù)量。為了求得密排圓形胞元蜂窩的面內(nèi)等效彈性參數(shù)，本文應(yīng)用鋁材板殼單元，建立了11×12個(gè)3D有限元胞元模型，具體如圖2所示。

圖2 三維有限元模型

建模時(shí)，首先采用Bycent＆Radius方法建立一個(gè)圓形的基本單元，然后復(fù)制出相鄰的圓形單元，兩圓的位置關(guān)系如圖3所示。因?yàn)閳A2的圓心位置相對(duì)于圓1的圓心位置在y方向距離dy為無(wú)理數(shù)，因此需取近似值，取近似值時(shí)，要保證近似值在滿足精度情況下，最后一位有效數(shù)字后面的數(shù)值采用只舍不入的辦法建立所有11×12個(gè)胞元的幾何模型，拉伸后得到圖2所示的密排圓形胞元蜂窩結(jié)構(gòu)。

圖3 兩行胞元之間的相對(duì)位置

這樣的夾芯幾何結(jié)構(gòu)，還要通過(guò)Glue命令將各胞圓連接在一起，并且能確保各相鄰胞圓之間在結(jié)合處是相切的。從而完成了密排圓形胞元蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)幾何模型的建立，解決了胞元之間相互交織在一起而無(wú)法對(duì)面內(nèi)等效彈性參數(shù)進(jìn)行分析的難題。

分別給蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)加上單向應(yīng)力(σx，0，0)T、(0，σx，0)T和(0，0，σxy)T及相應(yīng)的約束，通過(guò)有限元數(shù)值模擬可得出其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變(εxx，εyx，0)T、(εxy，εyy，0)T和(0，0，ε'xy)T，圖4為變形云圖。將分析出的應(yīng)變代入式(1)解線性方程組，就可得到密排圓形胞元蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)的表達(dá)式:

式(4)中:εxx和εyx表示在x方向加載時(shí)產(chǎn)生的x方向和y方向面內(nèi)應(yīng)變;εxy和εyy表示在y方向加載時(shí)產(chǎn)生的x方向和y方向面內(nèi)應(yīng)變。由式(4)只要知道了應(yīng)力和應(yīng)變就可得到等效彈性參數(shù)。

圖4 位移變形云圖(11×12個(gè)胞元)

3 等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的分析

密排圓形胞元蜂窩結(jié)構(gòu)的等效正應(yīng)力和剪切應(yīng)力分別為:

∑F與∑Q分別是施加在有限元模型上所有拉力之和與剪力之和;Sa、Sb為與加載力方向垂直的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的等效截面積;Sc指與加載力方向平行的蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的等效橫截面積;R是胞元半徑;h指胞元的高度。

等效應(yīng)變求解方法可參照?qǐng)D5、圖6和圖7，求解中由于計(jì)算點(diǎn)取在模型中心，可以認(rèn)為它的變形是均勻的。夾芯結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)變?yōu)?

圖5 計(jì)算點(diǎn)在模型中位置

圖6 計(jì)算點(diǎn)所在對(duì)稱面

圖7 對(duì)稱面上計(jì)算點(diǎn)的分布

式(8)～式(13)中:變量U里的下標(biāo)字母表示位移方向，變量U里的下標(biāo)數(shù)字指的是圖7中計(jì)算點(diǎn)代號(hào)。同理，也可推出Ey和νy的計(jì)算公式?？梢姡灰糜邢拊獢?shù)值模擬技術(shù)求出計(jì)算點(diǎn)的位移UX和UY，就可以利用上試計(jì)算出密排圓形胞元蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效參數(shù)Ex、Gxy以及Possion比。這樣就達(dá)到了用有限元數(shù)值模擬技術(shù)求解蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)的目的。

4 模擬結(jié)果的有效性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文中建模和分析方法的有效性，將文中模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［6］中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，文獻(xiàn)［6］中試件材料為聚碳酸酯，其 E=2.41 ×109Pa，ν=0.3，試件壁厚 t=0.144 mm，蜂窩直徑為D=6.96 mm，通過(guò)壓縮實(shí)驗(yàn)測(cè)出蜂窩結(jié)構(gòu)在x方向和y方向的彈性模量見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)與模擬數(shù)據(jù)比較

通過(guò)比較可以看到，本文的建模分析方法與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差較小，驗(yàn)證了該數(shù)值模擬方法和所建模型的有效性，其誤差原因是實(shí)驗(yàn)中存在摩擦力而模擬中不存在。

5 幾何尺寸與面內(nèi)等效彈性參數(shù)

密排圓形胞元蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)是由其本身固有的特性決定的，它除了與構(gòu)成蜂窩胞元的材料常數(shù)有關(guān)外，還與胞元的幾何形狀及尺寸有關(guān)。為了減少實(shí)驗(yàn)的試驗(yàn)次數(shù)，這里用驗(yàn)證的數(shù)值模擬模型和方法對(duì)不同幾何參數(shù)和材質(zhì)的圓柱密排蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的面內(nèi)等效彈性參數(shù)進(jìn)行分析模擬，找出它們的變化的規(guī)律。在此先研究同一材質(zhì)不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)(t，r和h)對(duì)蜂窩夾芯面內(nèi)等效參數(shù)的影響。為了研究不同材質(zhì)對(duì)蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)影響，這里先以鋁制材料為研究對(duì)象進(jìn)行分析，其ν=0.3，E=6.897×1010Pa，圖8～圖12是相應(yīng)的模擬結(jié)果。

圖8 等效剛度與h的變化曲線

圖8是面內(nèi)等效剛度與h的變化曲線。從圖8可看出:當(dāng) t=0.1 mm，r=1 mm，面內(nèi)剛度 Ey、Ex、Gxy隨 h 的增大幾乎沒(méi)有變化，這說(shuō)明蜂窩的厚度h對(duì)蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的面內(nèi)剛度幾乎沒(méi)有影響。

圖9是面內(nèi)等效剛度的對(duì)數(shù)與ln(t/r)的變化曲線。從圖9可看出:當(dāng)h=10 mm時(shí)蜂窩夾芯的面內(nèi)等效剛度對(duì)數(shù)lnEx、lnEy、lnGxy與ln(t/r)成線性變化，這說(shuō)明面內(nèi)剛度與(t/r)之間是冪函數(shù)關(guān)系，而且各直線的斜率相同，即指數(shù)相同，差別在于每條直線與面內(nèi)剛度軸的截距不同而已，而且Ex＞Ey＞Gx。

圖9 面內(nèi)等效剛度的對(duì)數(shù)與ln(t/r)的變化曲線

圖10為面內(nèi)等效poission比與h的變化曲線。從圖10可看出 t=0.1 mm，r=1 mm，Poisson比 Vx、Vy會(huì)隨 h 的增大幾乎沒(méi)有變化，這說(shuō)明蜂窩的厚度 h對(duì)蜂窩 x、y方向的Poisson比幾乎沒(méi)有影響。

圖10 面內(nèi)等效poission比與h的變化曲線

圖11是x方向等效poission比對(duì)數(shù)與t/r的變化曲線。從圖11可看出:當(dāng)h=10 mm，x方向Poisson比對(duì)數(shù)與(t/r)的關(guān)系變化，隨(t/r)的增加Poisson的對(duì)數(shù)值減小，且(t/r)越大Poisson減小的越快。通過(guò)曲線擬合可得其關(guān)系符合三次函數(shù)變化。

圖12為y方向等效poission比的對(duì)數(shù)與t/r的變化曲線。從圖12可看出:當(dāng) h=10 m，y方向 Poisson比對(duì)數(shù)與(t/r)的關(guān)系變化，隨(t/r)的增加Poisson的對(duì)數(shù)值減小，且(t/r)越大Poisson減小的越快。同樣可通過(guò)曲線擬合可得其關(guān)系符合三次函數(shù)變化。

圖11 x方向等效poission比對(duì)數(shù)與t/r的變化曲線

圖12 y方向等效poission比的對(duì)數(shù)與t/r的變化曲線

6 材質(zhì)與面內(nèi)等效彈性參數(shù)

下面利用上述建模方法研究不同材質(zhì)對(duì)蜂窩結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)的影響。這里將鋁材換成對(duì)比材料Nomex紙，其E=5.98×1010Pa、ν=0.28。圖 13 ～15 是其對(duì)比模擬結(jié)果。

圖13為不同材質(zhì)面內(nèi)等效剛度模擬結(jié)果。由圖13可知:2種材料面內(nèi)剛度都與log(t/r)呈正比，并且2條曲線斜率相同，只是截距不同而已。鋁制蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)的面內(nèi)剛度大于相同幾何參數(shù)Nomex紙的面內(nèi)剛度，這主要是因?yàn)殇X的彈性模量大于Nomex的彈性模量的緣故。圖14和圖15分別為不同材質(zhì)的x向Poisson比和y向Poisson比的模擬結(jié)果。由圖14和圖15可知:Possion比與材質(zhì)變化無(wú)關(guān)。

圖13 不同材質(zhì)等效剛度模擬結(jié)果

圖14 不同材質(zhì)的x向Poisson比模擬結(jié)果

圖15 不同材質(zhì)的y向Poisson比模擬結(jié)果

7 面內(nèi)等效彈性參數(shù)公式

由上面的分析可知，密排圓形胞元蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)會(huì)隨結(jié)構(gòu)尺寸和夾芯材質(zhì)的變化而變化，并且其變化都遵循一定的規(guī)律，對(duì)以上數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合可得到:

其中:Es是夾芯材料的彈性模量;t和r的單位都是mm。這些公式適用于t相對(duì)較小，t＜r、t＜h的情況。

8 結(jié)論

本文建立了密排圓形胞元蜂窩夾芯結(jié)構(gòu)面內(nèi)等效彈性參數(shù)的分析模型，提出了一種求解該結(jié)構(gòu)面內(nèi)力學(xué)參數(shù)的分析方法，得出圓形胞元蜂窩夾芯面內(nèi)等效彈性參數(shù)隨胞壁厚度t、胞壁半徑r和胞壁高度h的變化曲線，找到了胞壁厚度t，胞壁半徑 r和胞壁高度 h 對(duì) Ex、Ey、Gxy、vx、vy的變化規(guī)律。主要結(jié)論:Ex、Ey、Gxy都與t/r滿足冪函數(shù)關(guān)系，與夾芯材料的彈性模量成正比關(guān)系;vx、vy與t/r的三次多項(xiàng)式滿足底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù);密排圓形胞元蜂窩夾芯滿足Ex＞Ey，vx＞vy;面內(nèi)等效剛度與材料的彈性模量成正比，Poisson與材質(zhì)無(wú)關(guān)。

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