高階非線性薛定諤方程的離散梯度法

駱思宇，蔣朝龍，孫建強

(海南大學 信息科學技術學院，海南 海口 570228)

光孤子的概念最早由HASEGAWA 于1973 年提出［1］.HASEGAWA 與TAPPERT［2］合作從理論上證明了任何無損光纖中的光脈沖在傳輸過程中能形變?yōu)楣伦雍蠓€(wěn)定傳輸.1980 年MOLLEAUER［3］等人提出將光纖中的孤子用做傳輸信息的載體，構建一種新的光纖通信方案，稱為光孤子通信.岳進，方云團等人分別研究了五階飽和非線性效應下皮秒孤子間相互作用的情況和飽和非線性效應對皮秒孤子傳輸特性的影響［4-5］.

近年來保結構算法在數(shù)值模擬光孤子的傳輸特性方面具有獨特的優(yōu)勢.保結構中辛和多辛算法具有長時間的精確計算能力并能近似地保持系統(tǒng)的能量守恒特性，已廣泛應用于KdV 方程、非線性薛定諤方程和Maxwell 方程的計算［6-7］.最近QUISPEL 和MCLACHLAN 等人提出了精確地保持系統(tǒng)守恒特性的離散梯度法，其中包括保Hamilton 系統(tǒng)能量守恒的平均離散梯方法.平均離散梯度方法能精確地保持Hamilton 系統(tǒng)的能量守恒，并且具有很好的精度［8-11］.本文將利用平均離散梯度方法求解高階非線性薛定諤方程并分析飽和非線性效應和相位對皮秒孤子傳輸?shù)挠绊?，并與辛算法進行比較分析平均離散梯度法保系統(tǒng)能量守恒的特性.飛秒量級光脈沖的傳輸特性一直是備受關注的一個領域，光孤子相互作用是其研究的重要內容.

在皮秒光脈沖中，光孤子的傳輸特性可以由非線性薛定諤方程描述

其中，A 是電場的復振輻包絡，x 是脈沖在光纖中傳輸?shù)木嚯x，τ 為時間坐標，α 是損耗系數(shù)，1/β1是群速度，β2對應于二階色散，γ 是非線性克爾系數(shù).包含五階飽和非線性效應在內的非線性薛定諤方程為

方程(3)具有如下守恒特性

1 離散梯度法

對于給定的Hamilton 系統(tǒng)

可知Hamilton 系統(tǒng)具有能量守恒特性.

為了讓系統(tǒng)在離散后依然保持能量守恒特性，筆者給出二階精確保Hamilton 系統(tǒng)能量守恒的平均離散梯度法［8］

即

由微積分基本定理，可以得到

方程(11)表明，當式(8)應用于Hamilton 系統(tǒng)(6)時，能精確地保持Hamilton 系統(tǒng)的能量.

2 高階非線性薛定諤方程的離散梯度格式

令u(s，t)=p(s，t)+q(s，t)i，高階非線性薛定諤方程(3)等價于

高階非線性薛定諤方程組(12)和(13)可以寫成無限維Hamilton 系統(tǒng)形式

其中，z=(p，q)，Hamilton 函數(shù)為

方程(15)的平均離散梯度格式為

將式(17)和(18)化簡后，就可以得到高階非線性薛定諤方程(3)的平均離散梯度格式

為了便于比較，給出非線性薛定諤方程(3)相應的離散辛格式為

3 數(shù)值模擬

其中，s=jh，Error(s)為s=jh 時的能量相對誤差.

首先研究輸入皮秒初始脈沖為u(0，t)=r1sech(t-t0/2)+r2sech(t+t0/2)exp(iφ)時［2-4］，不同非線性飽和效應對皮秒孤子演化特性的影響.取h=0.1，τ=0.1.圖1 表示相鄰等振幅皮秒孤子在間距t0=7，φ=0 時的演化行為，圖1(a)是在非線性飽和效應α0=0 時孤子演化行為，圖1(b)是在非線性飽和效應α0=0.048 時孤子演化行為.數(shù)值結果表明隨著非線性飽和效應的增加，非線性飽和效應表現(xiàn)得越明顯，孤子碰撞的頻率越嚴重，越不利于孤子脈沖的傳輸.圖2 表示平均離散梯度格式的能量相對誤差圖，能量相對誤差可以到達10-12，能很好地保持方程能量.圖3 表示辛格式的能量相對誤差圖，能量相對誤差達到了10-3，只能近似地保持系統(tǒng)的能量.可知非線性飽和效應對孤子有顯著的影響，平均梯度法能很好地保持方程的能量，能更加真實地反映皮秒孤子的運動.

圖1 離散梯度格式模擬皮秒孤子演化圖

圖2 離散梯度格式模擬皮秒孤子的能量誤差圖

圖3 辛格式模擬皮秒孤子的能量誤差圖

圖4 離散梯度格式模擬皮秒孤子演化圖

圖5 離散梯度格式模擬皮秒孤子的能量誤差圖

圖6 辛格式模擬皮秒孤子的能量誤差圖

4 小 結

本文構造了高階非線性薛定諤方程的離散梯度格式，利用高階非線性薛定諤方程的離散梯度格式，研究了單個和多個光孤子在不同的非線性飽和效應和不同振輻時皮秒光孤子的傳輸行為，并與高階非線性薛定諤方程的辛格式進行了比較.數(shù)值結果表明，高階非線性薛定諤方程的離散梯度格式能很好地模擬皮秒光孤子的傳輸行為，離散梯度法比經(jīng)典的辛格式能更好地保持系統(tǒng)的能量守恒特性.離散梯度格式在數(shù)值模擬具有能量守恒的微分方程中具有獨特的優(yōu)勢，能更加真實地反映皮秒孤子運動的客觀規(guī)律，同樣可應用于其他能量守恒的偏微分方程.

［1］HASEGAWA A.Optical Solution in Fiber［M］.Berlin:Spring-Verlag，1989.

［2］HASEGAWA A，TAPPERT F.Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers.Ⅰ.Anomalous dispersion［J］.Appl.Phys.Lett.，1973，23(4):142-144.

［3］MOLLENAUER L F，STOLEN R H，GORDON J P.Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers［J］.Phys.Rev.Lett.，1980，45(13):1095-1098.

［4］岳進.飽和非線性光纖中孤子傳輸特性的數(shù)值研究［J］.太原師范大學學報:自然科學版，2008，7(1):103-107.

［5］方云團，王永順，沈廷根，等.孤子對在飽和介質中的傳輸［J］.量子電子學報，2003，20(6):738-740.

［6］FENG K，QIN M Z.Symplectic Geometric Algorithms for Hamiltonian Systems［M］.Zhejiang:Zhejiang Publishing United Group Zhejiang Science and Technology Publishing House，Heidelberg:Spring-Verlag，2010.

［7］秦孟兆，王雨順.偏微分方程中的保結構算法［M］.浙江:浙江科學技術出版社，2011.

［8］QUISPEL G R W，MCLAREN D I.A new class of energy-preserving numerical integration methods［J］.Phys.A:Math.Theor，2008，41(4):1-7.

［9］MCLAREN R I，QUISPEL G R W，ROBIDOUX N.Geometric integration using discrete gradients［J］.Phil.Trans.R.Soc.Lond.A，1999，357(1754):1021-1045.

［10］CELLEDONI E，MCLACHLAN R I，OWREN B，et al.On conjugate B-series and their geometric structure［J］.Journal of Numerical Analysis，Industrial and Applied Mathematics，2010，5(1/2):85-94.

［11］CHARTIER P，F(xiàn)AOU E，MURUA A.An algebraic approach to invariant preserving integators:the case of quadratic and Hamiltonian invariants［J］.Numerische Mathematik，2006，103(4):575-590.