用蒙特卡羅法求解貝特朗奇論

段欞宴，王凡彬，2*，楊 進(jìn)，王鵬程，劉緒濤

（1．內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641100；2．四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川內(nèi)江 641100）

用蒙特卡羅法求解貝特朗奇論

段欞宴1，王凡彬1，2*，楊 進(jìn)1，王鵬程1，劉緒濤1

（1．內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川內(nèi)江 641100；2．四川省高等學(xué)校數(shù)值仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川內(nèi)江 641100）

針對(duì)貝特朗奇論所涉及的一個(gè)幾何概率問題，由于3種不同樣本空間的確定導(dǎo)致其結(jié)果的差異，利用蒙特卡羅法隨機(jī)模擬抽樣來(lái)驗(yàn)證了解法3的合理性，借助計(jì)算機(jī)用Matlab軟件編程以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)等方法解決了該問題。不僅合理運(yùn)用了蒙特卡羅法原理，而且對(duì)理解以及進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何概率問題中的隨機(jī)性具有重要意義。

貝特朗奇論；蒙特卡羅法；概率；統(tǒng)計(jì)

蒙特卡羅方法又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)〔1-4〕，是一種隨機(jī)模擬方法，是以概率和統(tǒng)計(jì)理論方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法，是使用隨機(jī)數(shù)（或更常見的偽隨機(jī)數(shù)）來(lái)解決很多計(jì)算問題的方法。它將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。為象征性地表明這一方法的概率統(tǒng)計(jì)特征，故借用賭城蒙特卡羅命名蒙特卡羅方法。它的解題過(guò)程可以歸結(jié)為3個(gè)主要步驟：構(gòu)造或描述概率過(guò)程；實(shí)現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計(jì)量。

蒙特卡羅法即是隨機(jī)模擬法，運(yùn)用于解決大量重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)的問題，蒲豐投針問題就是該方法的典型運(yùn)用，求出了的近似值〔3〕，即是試驗(yàn)中所獲得的頻率。在貝特朗奇論〔1〕中，3種情況下所求出的概率不同，具體求法過(guò)程參見文獻(xiàn)〔1〕，本文用蒙特卡羅法進(jìn)行隨機(jī)模擬，通過(guò)計(jì)算機(jī)Matlab編程進(jìn)行了該試驗(yàn)，得到的相應(yīng)頻率與文獻(xiàn)〔1〕第三種解法相一致，從而肯定了第三種解法，更加贊同第三種解法。

1 貝特朗奇論

貝特朗奇論：在一圓內(nèi)任取一條弦，問其長(zhǎng)度超過(guò)該圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？

解法1 如圖1由于對(duì)稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直于此方向的直徑，只有交直徑于點(diǎn)與點(diǎn)間的弦，其長(zhǎng)才大于內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)。所有交點(diǎn)是等可能的，則所求概率為。此時(shí)假定弦的中心在直徑上均勻分布。

圖1 解法1示意圖

解法2 如圖2由于對(duì)稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過(guò)此端點(diǎn)的切線的交角在60°～120°之間，其長(zhǎng)才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為。此時(shí)假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布。

圖2 解法2示意圖

解法3 如圖3弦被其中點(diǎn)位置唯一確定。只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長(zhǎng)才合乎要求。中點(diǎn)位置都是等可能的，則所求概率為。

圖3 解法3示意圖

針對(duì)這3種解法，我們認(rèn)為：由于樣本空間選取的不同，解法1、解法2、解法3的結(jié)果出現(xiàn)了差異。解法3對(duì)樣本空間的選取比較自然，符合人們的認(rèn)知規(guī)律，下面我們用蒙特卡羅法來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。

2 用蒙特卡羅法求解貝特朗奇論

為方便起見，我們?cè)趩挝粓A內(nèi)接等邊三角形上進(jìn)行討論。根據(jù)問題引入，可先設(shè)圓為單位圓，再作其內(nèi)接等邊三角形，可求得等邊三角形的邊長(zhǎng)為，如下圖4。

圖4 蒙特卡羅法求解示意圖

在圓O中，過(guò)圓心O作弦BC的垂線于E，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，圓心O為三角形的重心，所以O(shè)B平分∠ABC，∠OBC=30°，而半徑OB=1，所以O(shè)E=（在Rt△OBE中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半），所以BE=，BC=，所以等邊三角形邊長(zhǎng)為（垂弦定理）。

貝特朗奇論中由于3個(gè)樣本空間的取值不同，導(dǎo)致3種情況下的結(jié)果不同，解法1是直徑上的點(diǎn)組成的樣本空間Ω1；解法2是圓周上的點(diǎn)組成的樣本空間Ω2；解法3是大圓內(nèi)的點(diǎn)組成的樣本空間Ω3，其值更滿足概率的隨機(jī)性，下面應(yīng)用蒙特卡羅法通過(guò)一系列的編程，運(yùn)算并證實(shí)解法3的合理性。

根據(jù)上一節(jié)的解答過(guò)程得：可在坐標(biāo)中取以（0，0）為圓心，半徑為1的圓，在圓上任取點(diǎn)（xi，yi），i=1，2，3，4，…，n，任意兩點(diǎn)之間的距離即為弦長(zhǎng)，要使得弦長(zhǎng)超過(guò)內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)即超過(guò)。

取任意兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），連接兩點(diǎn)成弦，其中點(diǎn)為要使得弦長(zhǎng)超過(guò)，即圓心（0，0）到中點(diǎn)的距離d≤。根據(jù)此思路運(yùn)用相關(guān)文獻(xiàn)〔5-10〕中的知識(shí)進(jìn)行下面的編程。程序如下。程序編寫的流程圖如圖5。

圖5 程序編寫流程圖

表1 程序運(yùn)行結(jié)果

3 結(jié)論

本文運(yùn)用蒙特卡羅法研究了貝特朗奇論，保證了畫弦的隨機(jī)性，通過(guò)計(jì)算機(jī)Matlab編程實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)投點(diǎn)，取點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果是真實(shí)的，有效的。在貝特朗奇論中解法3的弦的選取具有真正意義上的隨機(jī)性，其答案是合理的，正確的。本文第二節(jié)實(shí)際通過(guò)概率的頻率定義來(lái)驗(yàn)證了貝特朗奇論中解法3的合理性和正確性，在概率研究和計(jì)算機(jī)運(yùn)用方面有一定的見解，對(duì)其他概率問題研究有一定的借鑒意義。

〔1〕峁詩(shī)松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程〔M〕．2版.北京：高等教育出版社，2011．

〔2〕羅伯特．蒙特卡洛統(tǒng)計(jì)方法〔M〕．北京：世界圖書出版公司，2009．

〔3〕何光．用蒙特卡羅方法計(jì)算圓周率的近似值〔J〕．內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23（4）：2-3．

〔4〕陳作清．關(guān)于貝特朗奇論的新見解〔J〕．西北民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1998，20（1）：4-6．

〔5〕王欣．MATLAB在圖像處理中的應(yīng)用〔J〕．內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，22（2）：3-5．

〔6〕薛山．MATLAB基礎(chǔ)教程〔M〕．北京：清華大學(xué)出版社，2011．

〔7〕于麗妮．基于matlab的蒙特卡羅定積分的實(shí)現(xiàn)〔J〕．遼寧大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，39（2）：1-3．

〔8〕王丙參，魏艷華，張?jiān)疲商乜_方法與積分的計(jì)算〔J〕．寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，33（3）：4-5．

〔9〕楊建．蒙特卡羅法評(píng)定測(cè)量不確定度中相關(guān)隨機(jī)變量的MATLAB實(shí)現(xiàn)〔J〕．計(jì)測(cè)技術(shù)，2012，32（4）：3-4．

〔10〕董世君，薛瑋，董愛芹等．Matlab與Excel接口技術(shù)在電力系統(tǒng)數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用〔J〕．微型機(jī)與應(yīng)用，2012，31（18）：2-3．

Using the Monte Carlo Method to Solve the Bertrand Odd

DUAN Lingyan1，WANG Fanbin1，2*，YANG Jin1，WANG Pengcheng1，LIU Xutao1
（1.College of Mathematics and Information Science，Neijiang Normal University，Neijiang,Sichuan 641100，China；2.Key Laboratory of Numerical Simulation in the Sichuan Province College，Neijiang,Sichuan 641100，China）

This paper is designed to solve the geometric probability problem of Bertrand paradox by using Monte Carlo method.Owing to the result differences which are caused by three different samples space,Monte Carlo method is used to simulate random sampling to verify the rationality of third method.And with the help of the computer,Matlab software programming and mathematical statistics in the statistical counting method are used to solve this problem.This solution is not only using the Monte Carlo law principle reasonably,but also important to understand and know more of the randomness of the geometric probability problem.

Bertrand odd theory；Monte Carlo method；probability；statistics

O211.9

A

1672-2345（2013）04-0009-03

內(nèi)江師范學(xué)院2012年大學(xué)生科研基金資助項(xiàng)目（12NSD-40）

2012-12-25

2013-01-08

段欞宴，內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院本科生.

（責(zé)任編輯 袁 霞）

10.3969/j.issn.1672-2345.2013.04.004

*通信作者：王凡彬，教授.