離散數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)

王新春，肖繼先，米翠蘭

(河北聯(lián)合大學(xué)理學(xué)院，河北唐山063009)

當(dāng)前我國獨(dú)特的應(yīng)試教育體制，極大地束縛了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的獨(dú)特性。針對當(dāng)今社會和科技發(fā)展的需求，有目的地培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的人才是我國數(shù)學(xué)教育的發(fā)展重點(diǎn)。培養(yǎng)創(chuàng)新型人才首要的任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，而良好的數(shù)學(xué)思維是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要手段。大力培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維，對開拓學(xué)生思維中的創(chuàng)造性具有深遠(yuǎn)的影響和現(xiàn)實(shí)意義。

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系。其課程目標(biāo)主要是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)格的邏輯推理能力，數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用普遍存在于離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中。

一、數(shù)學(xué)思維的內(nèi)涵與特征

數(shù)學(xué)思維是以數(shù)學(xué)問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式和過程，達(dá)到對現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的認(rèn)識的思維過程［1］。數(shù)學(xué)思維方法可通過思維訓(xùn)練而逐步形成。數(shù)學(xué)思維的目的在于提高學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、運(yùn)用數(shù)學(xué)思維策略和方法來分析和研究各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

二、離散數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思維形式及其培養(yǎng)策略

人的主體思維活動分為邏輯思維、形象思維和靈感思維三種。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣要用到這三種思維。科學(xué)研究表明，人類先有形象思維，而后經(jīng)過長期的實(shí)踐訓(xùn)練才逐步形成邏輯思維［2］。而靈感思維常常在特定的環(huán)境下突然產(chǎn)生，它以主體的直覺為媒介來獲得新知識。邏輯思維有多種形式，包括歸納思維、類比思維、逆向思維、分析思維、抽象思維等，下面介紹常見的數(shù)學(xué)思維形式。

(一)歸納思維

歸納是從觀察一類事物中的一部分具有某種屬性，經(jīng)分析判斷得出該類事物都具有這種屬性的思維方法。它是一種從特殊到一般的抽象化過程［3］。在離散數(shù)學(xué)的數(shù)理邏輯中，會介紹命題公式的定義，我們可以先舉出一些常見的簡單的命題公式的樣例，給學(xué)生一個(gè)初始的印象，然后再給出命題公式的遞歸定義。而得出命題公式的遞歸定義就是利用的歸納思維。這樣學(xué)生很容易就掌握了命題公式的概念。在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們可有意識地強(qiáng)調(diào)這種歸納思維的應(yīng)用。

(二)類比思維

類比是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間的相似性，通過比較來把一種熟知的對象的知識平移到另一種不熟知的對象上去的推理方法。類比是人們常用的一種掌握知識的手段，能否廣泛而又恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比，是衡量一個(gè)人創(chuàng)造性思維能力的標(biāo)志之一。善于利用類比思維有助于舉一反三，觸類旁通。常用類比思維是鍛煉獨(dú)立分析和解決問題能力的有效方式之一。

在離散數(shù)學(xué)的代數(shù)結(jié)構(gòu)這部分知識里，會介紹到半群、含幺半群、群、環(huán)和域的概念。前一個(gè)概念總是后一個(gè)概念的基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)中我們只要注意到每個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系就可對學(xué)習(xí)產(chǎn)生事半功倍的效果。

(三)逆向思維

由此及彼和由彼及此是思維的兩個(gè)相反方向。它的特點(diǎn)是從思維定勢的反方

向去思考問題。當(dāng)順向解決問題時(shí)遇到瓶頸時(shí)，就可考慮使用逆向思維。逆向思維常常能夠突破思維定勢，具有一定的創(chuàng)造性。逆向思維對解放思想、開闊思路、解決某些難題往往能起到積極作用。

離散數(shù)學(xué)會介紹推理方法。推理有直接推理和間接推理，間接推理中的反正法就是一種典型的逆向思維方法。當(dāng)直接證明遇到瓶頸時(shí)，常常換一種思維方式，即采用逆向思維，利即用反證法來進(jìn)行推理或得出問題的結(jié)論。

(四)發(fā)散思維

發(fā)散思維是一種從不同角度、不同方向和不同途徑來考慮問題的展開型思維方式。它能夠從已有信息出發(fā)，在創(chuàng)造和解決問題的思維過程中，得到各種新型的、變異的問題的各種解決方法。發(fā)散思維一般不是在定好的軌道中產(chǎn)生［4］，而是依據(jù)所獲得的最低限度的信息而產(chǎn)生，它是具有創(chuàng)造性的思維方式。

離散數(shù)學(xué)中有邏輯推理，推理一般是從若干個(gè)已知條件出發(fā)，得到某個(gè)有效的結(jié)論。我們在引用前提條件的時(shí)候，按照構(gòu)造性推理方法，在推理的任何過程中都可以引入前提，那些前提條件被引入的時(shí)候與次序無關(guān)。按照任何一種引入前提的次序來進(jìn)行推理均可得到相同的有效結(jié)論，這其中體現(xiàn)的就是一種發(fā)散思維的應(yīng)用。

(五)抽象思維

抽象思維是思維的高級形式，思維的基本對象是概念，利用概念、判斷和推理的形式，借助語言符號來進(jìn)行思維的方法。在數(shù)理邏輯中，我們要對已知的命題進(jìn)行推理，第一步就是要把已知命題用符號表示，即符號化的過程。這個(gè)過程是把具體的問題或事實(shí)轉(zhuǎn)化為抽象的關(guān)系，然后透過符號之間的關(guān)系借助一定的推理規(guī)則來得到問題的結(jié)論。通過這種抽象思維方式，能夠簡化復(fù)雜的問題，從而迅速掌握事情的本質(zhì)。

(六)形象思維

形象思維是以具體的圖形或圖像為思維內(nèi)容的思維形式，基本對象是表象，它借組表象來進(jìn)行分析、綜合、抽象和概括的過程。一項(xiàng)對中美學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的差異性的比較中顯示，中國學(xué)生偏向于使用抽象的策略和符號表征，而美國學(xué)生則偏向于使用視覺的策略和表征［5］。這里，視覺的思維策略和表征就是一種形象思維的體現(xiàn)。在離散數(shù)學(xué)中，我們要表示偏序的二元關(guān)系，如果用集合或關(guān)系矩陣來表示，當(dāng)關(guān)系復(fù)雜時(shí)，我們很難迅速分辨出元素之間的關(guān)系，但如果引入偏序關(guān)系的關(guān)系圖即哈斯圖，那么元素之間的關(guān)系將一目了然，而且很容易在我們的腦海里留下深刻的印記，有益于加強(qiáng)知識的理解和記憶。

(七)直覺思維與靈感思維

直覺思維是指不受固定的邏輯規(guī)則的約束，通過人腦調(diào)動一切已有的知識經(jīng)驗(yàn)，對客觀事物的本質(zhì)作出的一種迅速的識別、敏銳而深入的洞察、直接的本質(zhì)理解和綜合的整體判斷，它是一種直接領(lǐng)悟的思維［4］。靈感思維是指憑借直覺而進(jìn)行的快速、頓悟性的思維。它不是一種簡單邏輯或非邏輯的單向思維運(yùn)動，而是邏輯性與非邏輯性相統(tǒng)一的理性思維整體過程。在離散數(shù)學(xué)里研究地圖的著色問題時(shí)，我們要首先通過直覺來判斷至少需要幾種顏色才能將不同的區(qū)域區(qū)分開來，使得相鄰國家為不同顏色。最初有學(xué)者判斷是五色，然后以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明的形式證明五種顏色是可以做到的，即得到五色定理。后來有學(xué)者質(zhì)疑，目前得到四色定理?？梢?，直覺思維為最初的創(chuàng)造性結(jié)論起到了非常重要的作用。

三、結(jié)束語

離散數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思維體現(xiàn)在離散數(shù)學(xué)知識的方方面面，所以我們要把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透到每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)［6］。在《離散數(shù)學(xué)》的教學(xué)中，既要講授離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身的規(guī)律，還要以整體觀念為指導(dǎo)，不斷地挖掘培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的素材，尋找培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的動力，探索培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的方法［7］，最后對學(xué)生進(jìn)行潛移默化的訓(xùn)練，才能使學(xué)生能夠科學(xué)合理的考慮問題。在未來的數(shù)學(xué)教育教學(xué)過程中，教育工作者不該滿足于學(xué)生學(xué)到了多少知識，而更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維能力是否得到了鍛煉和提高［8］。著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，必將有利于我國創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，從而對我國國民素質(zhì)的整體提高產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。

［1］ 曾憲根，王敏．簡論培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力［J］．中國成人教育，2007，(10):174-175．

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［4］ 湯紅娟，論數(shù)學(xué)思維及思想方法在英語句型教學(xué)中的辯證作用［J］．外國語文，2010，26(2):122-126．

［5］ 夏小剛，呂傳漢．跨文化視野下中美學(xué)生數(shù)學(xué)思維差異的比較［J］．比較教育研究，2006，(8):63-67．

［6］ 韓志剛．簡論重視數(shù)學(xué)思維過程教學(xué)［J］．中國成人教育，2007，(8):30．．

［7］ 廖家奇．?dāng)?shù)學(xué)思維訓(xùn)練的特點(diǎn)及應(yīng)用［J］．教學(xué)與管理，2006，(10):85-86．

［8］ 尚玉偉，李公立．應(yīng)試教育對學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的約束及其突破［J］．教學(xué)管理，2010，(8):118-119．