“數(shù)值分析”課程改革實踐與探討

汪達(dá)成

(重慶交通大學(xué)理學(xué)院，重慶400074)

“數(shù)值分析”課程是計算數(shù)學(xué)專業(yè)方向的核心課程，是工科類碩士研究生的一門重要學(xué)位課，課程主要研究一些數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法，內(nèi)容一般包括數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近和微分方程數(shù)值解法等內(nèi)容。隨著社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和對人才培養(yǎng)知識的需求，該課程的經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容和傳統(tǒng)的教學(xué)方法已經(jīng)不能適應(yīng)各個專業(yè)的培養(yǎng)要求，教學(xué)改革迫在眉睫。

一、研究生“數(shù)值分析”課程教學(xué)中存在的問題

(一)內(nèi)容多、學(xué)時少的矛盾日益突出

“數(shù)值分析”課程的內(nèi)容比較豐富，其中數(shù)值代數(shù)包括了冪法與反冪法、線性方程組與非線性方程數(shù)值解法等內(nèi)容，數(shù)值逼近包含插值法、函數(shù)的最佳平方逼近以及數(shù)據(jù)擬合等內(nèi)容，微分方程值解法包含常微分方程值解法與偏微分方程數(shù)值解法等內(nèi)容。在學(xué)習(xí)課程之前學(xué)生必須掌握課程相關(guān)的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容，如微積分、線性代數(shù)、常微分方程和數(shù)學(xué)物理方程等。研究生階段該課程在第一年開設(shè)，有36學(xué)時，只能完整講授誤差與范數(shù)、非線性方程數(shù)值法、線性方程組數(shù)值解法、插值法、曲線擬合等內(nèi)容。我校是一所工科院校，微分方程數(shù)值解法很重要，由于大部分學(xué)生只在本科高等數(shù)學(xué)中學(xué)了很少常微分方程基本概念與解析解法，沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程。加上課程學(xué)時少，所以微分方程數(shù)值解法等內(nèi)容根本沒時間系統(tǒng)講解。

(二)實踐教學(xué)環(huán)節(jié)缺乏

“數(shù)值分析”課程的顯著特點是所有算法都可以通過計算機(jī)實現(xiàn)，即學(xué)習(xí)的所有算法最終都可以通過編程或調(diào)用數(shù)學(xué)軟件在計算機(jī)上實現(xiàn)。學(xué)生通過系統(tǒng)的理論學(xué)習(xí)、編程和上機(jī)執(zhí)行，才能真正理解和掌握算法，切實體會到它的實用性。然而，到目前為止，我校研究生“數(shù)值分析”課程沒有安排實踐環(huán)節(jié)，長期都是書本學(xué)習(xí)，放松了對學(xué)生動手能力的訓(xùn)練和培養(yǎng)。筆者和課程組感覺到由于實踐教學(xué)環(huán)節(jié)沒有跟上，學(xué)生表面上理解了教材中的數(shù)值計算方法，遇到實際問題還是不能獨立解決，更不能靈活應(yīng)用和發(fā)揮，沒有達(dá)到學(xué)以致用的目的。

(三)授課教學(xué)過于數(shù)學(xué)化

我校是交通類院校，在課程設(shè)置上對數(shù)學(xué)的要求較高。長期的教學(xué)中，任課教師為了盡量保證課程的系統(tǒng)性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和推導(dǎo)證明的準(zhǔn)確性，算法推導(dǎo)和公式證明一絲不茍，但同時出現(xiàn)的問題是課程講授過于數(shù)學(xué)化，使工科學(xué)生難以接受。例如在講授代數(shù)插值誤差分析的證明時，很巧妙地構(gòu)造函數(shù)，通過該函數(shù)零點和可微性，反復(fù)用到微積中值定理中的Rool定理，得到截斷誤差數(shù)學(xué)表達(dá)式。整個證明過程特別嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)味特濃，當(dāng)然學(xué)生學(xué)習(xí)和理解證明過程就比較困難。

(四)板書與多媒體課件關(guān)系處理不當(dāng)

“數(shù)值分析”課程教學(xué)中既有公式的推導(dǎo)，又有大量的計算過程。在黑板上進(jìn)行迭代計算無疑是紙上談兵，況且授課時間十分緊張，不可能大量板書。過分依賴多媒體課件，視覺效果固然好，信息量大，但削弱了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計算過程，使得學(xué)生只記住了某些結(jié)果，忽略了過程。為了提高該課程教學(xué)質(zhì)量，哪些章節(jié)以多媒體為主、板書為輔，哪些章節(jié)以板書為主、多媒體作輔助教學(xué)，課程組教師雖然擔(dān)任該課程多年的教學(xué)，而且進(jìn)行了教改立項研究，但至今都沒有很好地解決這個問題。

二、“數(shù)值分析”課程教學(xué)改革實踐與探討

我校有幾位教授和副教授一直擔(dān)任該課程教學(xué)，近幾年也有年輕的博士、講師加入課程組。在十幾年該課程教學(xué)實踐中，大家反復(fù)探討、研究和實踐，達(dá)成如下共識:教學(xué)內(nèi)容要具有針對性，即針對我校理工科專業(yè)的實際背景組織教學(xué)內(nèi)容;講授知識要有先進(jìn)性，能夠及時反映本課程所在領(lǐng)域的最新研究成果;教學(xué)重點應(yīng)立足應(yīng)用性，在不影響課程完整性和邏輯性的條件下，加強(qiáng)應(yīng)用方面事例和應(yīng)用性知識的內(nèi)容，以達(dá)到學(xué)以致用的目的;在教學(xué)過程中注重講課的風(fēng)趣性。

(一)根據(jù)學(xué)校專業(yè)特點，合理制定課程教學(xué)大綱

“數(shù)值分析”課時少、研究內(nèi)容多，既有理論推導(dǎo)又有算法實踐，對工科學(xué)生特別是交通類專業(yè)的研究生而言，他們的學(xué)習(xí)重點應(yīng)放在各種數(shù)值計算方法的應(yīng)用上，至于這些算法的由來可以不作為教學(xué)重點，教學(xué)內(nèi)容根據(jù)培養(yǎng)計劃所給學(xué)時和專業(yè)需要合理取舍?；诖朔N思路，通過調(diào)研，我們對課程教學(xué)大綱作了全面的調(diào)整，在教學(xué)中把概念講清楚，理論推導(dǎo)“適可而止”，通過實例強(qiáng)調(diào)這些計算方法的應(yīng)用。我們選擇講授誤差、非線性方程數(shù)值解法、線性方程組數(shù)值解法、插值法和曲線擬合，放棄了長期講授的矩陣按模最大特征值的冪法、函數(shù)最佳平方逼近、數(shù)值微分與數(shù)值積分等內(nèi)容。當(dāng)然我們希望在培養(yǎng)方案修訂時能增加課時，講授對交通類專業(yè)非常有用的微分方程數(shù)值解法等內(nèi)容。

(二)講授中注重能力培養(yǎng)

學(xué)生要學(xué)好“數(shù)值分析”關(guān)鍵在老師。教師在講授該課程時首先要介紹各類數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵和實際背景，讓學(xué)生明確該類數(shù)學(xué)問題的研究意義，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如在給土木工程類專業(yè)研究生講授非線性方程的數(shù)值解法時，應(yīng)結(jié)合橋梁設(shè)計進(jìn)行靜力分析;在講授經(jīng)典算法時要講清楚算法的由來，例如講清楚解追趕法的命名。我們在注意課程基本知識、基本理論、基本方法的同時，強(qiáng)調(diào)通過分析和建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。例如解決力學(xué)問題時通過分析和數(shù)學(xué)建模，建立有限元方程組;在講解三次樣條插值時除了證明三彎矩法，還舉一反三證明了三轉(zhuǎn)角法。對一些經(jīng)典問題采用新觀點、新方法處理，課程教學(xué)中適當(dāng)介紹當(dāng)今有關(guān)數(shù)值計算方法的最新理論及其應(yīng)用。例如在學(xué)習(xí)插值與逼近時，結(jié)合高速公路設(shè)計，將樣條插值方法和曲線擬合應(yīng)用于設(shè)計中。在授課過程中，要求學(xué)生思考所學(xué)算法在自己所學(xué)專業(yè)如何應(yīng)用。

(三)增強(qiáng)實踐環(huán)節(jié)

“數(shù)值分析”是一門實踐性和應(yīng)用性較強(qiáng)的課程，如果教師只講一些算法，不要求學(xué)生運用算法解決實際問題，學(xué)生的實踐能力就得不到提高。目前學(xué)校還沒有配置實驗課或課程設(shè)計，學(xué)生學(xué)習(xí)比較空洞，學(xué)習(xí)積極性不高。為了學(xué)以致用，我們根據(jù)專業(yè)方向把學(xué)生分組，通過布置課外作業(yè)、學(xué)生小組討論、課外上機(jī)等引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在應(yīng)用相關(guān)軟件(比如MATLAB)或編程中理解或體現(xiàn)算法的基本思想，努力激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。當(dāng)然，我們也希望在培養(yǎng)方案修訂時增加課程實踐環(huán)節(jié)，加強(qiáng)對學(xué)生動手能力的培養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)效果。

實踐證明，經(jīng)過數(shù)值分析課程教學(xué)改革的研究和實踐，課程學(xué)習(xí)效果在不斷提高，學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸構(gòu)建屬于自己的知識體系，并能運用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確、清晰地描述和分析客觀世界以及自己的思維過程，逐漸具有解決實際問題和科學(xué)創(chuàng)新的能力。由于課程改革是一個長期的、系統(tǒng)的過程，任課教師要更加努力探索，積極調(diào)動廣大學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生能力的目的。

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