數(shù)學存在的語言建構——結構主義的研究范式

郝一江

(1.華中科技大學哲學系，武漢 430074;2.中國社會科學院哲學研究所，北京 100732)

一、數(shù)學哲學的范式轉換

19世紀微積分的算術化導致集合論的建立，從而形成數(shù)學基礎三大學派:邏輯主義、形式主義與直覺主義，進而引發(fā)了更為普遍的哲學思潮。以邏輯實證主義為代表的分析哲學運動主張，邏輯是哲學的唯一合法的研究領域，形而上學問題源于語言的誤用，沒有任何意義而應當從哲學中清除出去，數(shù)學哲學成為數(shù)學語言的邏輯分析，成為關于數(shù)學語言的邏輯句法學與邏輯語義學。20世紀30年代哥德爾不完全性定理的提出，從邏輯上闡明了對于數(shù)學語言的邏輯分析無法完全封閉形成自我滿足的有限世界，數(shù)學語言除了具有邏輯的維度還有存在的維度，邏輯分析必須參照存在建構才能說明自身，否則就會陷入無窮回歸，這樣打開了結構主義根據(jù)集合論語言建構數(shù)學存在的邏輯之門。20世紀60年代奎因揭示了經(jīng)驗主義的兩個教條，重新點燃人們對于本體論的哲學興趣?？蜿U明存在就是作為約束變元的取值，提供了切入本體論問題的語言途徑，通過語言的途徑進入存在問題，結構主義完成了數(shù)學哲學的范式轉換，進而興起了不同類型的結構主義學派:集合論結構主義、范疇論結構主義、模態(tài)結構主義。三大學派通過語言的途徑把數(shù)學哲學引向意義與真理的探討，并通過語言的途徑把數(shù)學哲學引向數(shù)學對象的存在建構。

從19世紀末以來，代數(shù)、拓撲、幾何、數(shù)論、微分方程等數(shù)學分支都非常明顯地采用了結構主義的方法:常常使用公理化方法來研究對象(群、數(shù)域、空間)的結構化的總體特性以及對象間的映射與同構。作為數(shù)學哲學的結構主義在20世紀成為主導數(shù)學的研究方法，在抽象代數(shù)、拓撲、實分析和復分析中表現(xiàn)得尤為明顯。從總體上看，數(shù)學都一直若隱若現(xiàn)地顯示出結構主義的特征，現(xiàn)代數(shù)學中的結構方法激發(fā)了哲學界對結構主義的興趣［1－4］。

結構主義體現(xiàn)并且強化了數(shù)學的這種自然傾向，數(shù)學從而更關注對象之間的關系而非對象本身的性質(zhì)。高斯認為:數(shù)學是關于關系的科學，從關系中可以抽象出任何概念。彭加勒亦指出:數(shù)學家不是研究對象，而是研究對象之間的關系［5］。狄德金則認為，每個數(shù)學結構都是以集合、運算和關系的系統(tǒng)為基礎，而且同構的概念與結構的類型有關［6］。

關系與其依附的所有個體共同組成結構，這些個體可以被看成是結構的背景與載體，根據(jù)背景的不同可以區(qū)分結構主義的基本類型。數(shù)學結構主義包括以下基本類型:(1)集合論結構主義(set-theoretic structuralism)，主要利用模型論描述數(shù)學結構與數(shù)學結構之間的相互關系。(2)自我依存結構主義(sui generis structuralism)，該理論認為結構是由“位置”組成的共相，它所表示的關系由公理系統(tǒng)間接給出。(3)模態(tài)結構主義(modalstructuralism)，它利用論域的二階邏輯可能性與適當關系，通過類型公理系統(tǒng)給出所滿足的隱性定義條件［7］185。(4)范疇論結構主義 (categorical structuralism)，認為范疇論是把結構主義作為數(shù)學哲學解釋的基本框架的一個方式［8］。

二、結構主義的語言框架

為了得到清晰而精確的“結構”與“結構映射”的概念，數(shù)學或者求助于集合論，或者求助于模型論，而模型論可以看成集合論的一個分支。這樣，集合論就成為結構主義重建數(shù)學的概念框架，也就因而成為結構主義表述數(shù)學的基本語言，結構主義之間的分歧可以歸結到對于集合論的不同處理方式［7］185。集合論容許使用約束變元指稱類、集合與關系，類、集合與關系可以作為個體加以量化，這樣就產(chǎn)生了對于這些抽象實體的實在性的哲學爭論。

集合論結構主義原封不動地推廣集合論語言，認為關系(集合)可以作為個體加以量化。然而，這種量化只是某種預設的本體論，關系(集合)仍然限于作為普遍的概念，本身沒有轉化成為真實的個體。換句話說，關系(集合)只是可以擁有個體的地位，而非已經(jīng)轉化成為真實的個體。這種身份與內(nèi)容的沖突在集合論語言中貫穿始終。集合論語言的本體論是預先的假定，關系(集合)作為個體缺乏真實的基礎，如果關系(集合)只是預先假定的偶然對象，那么整個數(shù)學都會受到威脅。這種威脅集中表現(xiàn)為真類問題與“累積分層(cumulative hierarchy)”問題［7］185－186。按照集合論語言，任何關系(集合)都能作為個體加以量化處理，任何對象都能在結構中占有一個位置?？墒钦骖惒荒茏鳛檫M一步聚合的元素。為了對于真類進行量化處理必須引入超類，也就是建立在集合的分層“之上”的更加無休無止的分層的類，真超類的類似問題將會出現(xiàn)，這將導致超級超類等等，永無止境［7］186。在集合論結構主義描繪的數(shù)學圖景中，真類是必不可少的環(huán)節(jié)，沒有真類的集合論甚至不能作為真實結構的抽象模型。然而對于集合論結構主義來說，真類只是根據(jù)簡單的定義而預先假定的必然存在，這就是說存在可能被推導出來，這種做法模糊了數(shù)學本體論與神學之間的界限［7］186－187。

自我依存結構主義主張突破集合論的語言限制，任何謂詞都可以作為名詞加以對待，任何關系(集合)都可以通過空間轉化變成為獨立存在的實體。(1)這種理論首先認為自然數(shù)結構可由二階的皮亞諾—狄德金公理進行隱性定義，并可被由對象形成的這些公理的任何系統(tǒng)所例證。自然數(shù)的結構是一種柏拉圖式的抽象，一個共相、一個具體回答了“所有級數(shù)共同分有哪些東西”的模式，我們可以類似地討論實數(shù)、復數(shù)等的結構［7］188。(2)自我依存結構主義還認為，公理可以直接用于說明結構存在，這些公理是在二階語言的背景下加以表述的，而且它們大多相互關聯(lián);把一個反射模式添加到這些公理中會得到一些更大的結構［7］188。(3)自我依存結構主義同時認為，由于關系(集合)可以通過空間化成為獨立個體，因此僅僅憑借協(xié)調(diào)性公理就可以確立結構的存在。協(xié)調(diào)性公理是指，如果φ是二階語言中的一個協(xié)調(diào)的公式，那么存在一個滿足φ的結構?？臻g化使得關系本身擁有質(zhì)料成為實體，不再借助集合論語言指稱的外部個體，協(xié)調(diào)性公理從此擺脫了集合論語言的不動的背景本體論［7］189。

范疇論結構主義可以看成自我依存結構主義的具體實現(xiàn)。按照這種理論，關系(集合)通過空間化轉化成為結構，結構不是普遍的概念而是真實的對象，具有同構關系的結構通過態(tài)射聯(lián)系起來，所有這些對象以及它們之間的態(tài)射形成范疇。一個范疇本質(zhì)上是帶有箭頭的一個圖，這些箭頭是一些對象之間的態(tài)射(morphisms)［6］。關系、聯(lián)絡(connection)、性質(zhì)、運算等概念都包含在態(tài)射這一初始概念之下。因此，許多表面不同的現(xiàn)象可以用統(tǒng)一的方式來描述，并且在范疇論語言之下，這些概念可以輕易地進行相互轉換［11］。數(shù)學的主題是不變的形式，而不是由邏輯原子組成的數(shù)學對象的共相。范疇論為數(shù)學提供了一個替代集合論的自治基礎，若非如此，則S.Awodey關于“累積分層”的核心真理的公理化建議就不能得以實現(xiàn)［12］。范疇論本身能夠被公理化，結構被當作一個范疇的“對象”，結構可以通過公理處理成單體或點，對象間的態(tài)射典型地保持了所討論的數(shù)學分支的“結構性質(zhì)”特征。例如，等距保持了度量結構，同態(tài)保持了拓撲結構，微分同胚保持了微分流形結構，等等。范疇自身在一個范疇中可以處理成對象，在初始范疇的映射中使態(tài)射(函子)結構保持關系，甚至使函子的態(tài)射產(chǎn)生一個函子范疇［12］。在一個給定的結構中，數(shù)學對象與結構的指稱不能消去，因此語義實在論的范疇論解釋為數(shù)學結構主義提供了一個合理的解釋，同時避免了掉進柏拉圖主義與唯名論的泥潭［13］。范疇論揭示出了邏輯與集合論的密切聯(lián)系，為抽象集合提供了一個結構理論，容許邏輯與幾何之間出現(xiàn)令人吃驚的聯(lián)系，從而使得邏輯與數(shù)學能夠以更加統(tǒng)一的方式進行處理［14］。

模態(tài)結構主義堅持徹底的唯名主義，認為關系(集合)不能占據(jù)個體的位置，關系(集合)不能擁有個體的身份，否則就給柏拉圖主義打開了大門。模態(tài)結構主義主張使用模態(tài)邏輯的語言取代集合論語言，通過使用初始的模態(tài)算子可以消去任何數(shù)學對象，包括結構的任何指稱。對于二階邏輯可能性而言，還需要對數(shù)學結構上的任何量詞進行精心布局，并且要對二階邏輯的概括原理進行仔細限制，以避免介入可能的對象、類或者關系。僅僅以可數(shù)的無窮多個原子為基礎，并重復使用它們，可得到經(jīng)典的三階數(shù)論。如果我們假定原子的連續(xù)統(tǒng)的可能性，就可以得到完整的四階數(shù)論，從而實現(xiàn)對大量的拓撲、測度論以及其他抽象數(shù)學的結構解釋。對象是為了抽象，而不是抽象對象［7］199，模態(tài)結構主義方法可以避免對集合論中的模型的過于依賴［9］。

三、結構主義的哲學觀念

現(xiàn)在我們可以比較結構主義的這些基本類型之間的相同與不同。在研究領域與提問方式上，所有這些結構主義的研究綱領具有家族相似的特征，它們與20世紀上半世紀的數(shù)學基礎三大學派——邏輯主義、形式主義、直覺主義不同，它們關注的中心問題是數(shù)學語句的意義與真值這些邏輯問題。結構主義這些學派，無論是根據(jù)什么樣的語言表述數(shù)學重建數(shù)學，它們心目之中的核心問題是數(shù)學對象是否存在、以什么樣的方式存在，以及在何種意義上存在這些本體論問題，可以認為與數(shù)學基礎三大學派相比，它們的研究綱領發(fā)生了范式轉換，它們的研究工作從數(shù)學語言的邏輯分析轉向了數(shù)學存在的語言建構?；蛘吒鶕?jù)集合論的語言進行數(shù)學存在的建構，認為數(shù)學對象是在集合論語言的預先假定的意義上獲得存在;或者根據(jù)范疇論的語言進行數(shù)學存在的建構，范疇論的語言不但允許數(shù)學對象獲得個體的地位，而且通過關系的空間化使數(shù)學對象實際轉化成為真實的個體，進而通過態(tài)射刻畫這些個體之間的同構關系;或者根據(jù)模態(tài)邏輯的語言取消對于關系的指稱，而把存在的權利僅僅限制在外部世界的特殊事物上面，從而從語言上徹底取消數(shù)學對象存在的可能性。

結構主義在數(shù)學本體論領域耕耘勞作，無論是建構數(shù)學對象還是消除數(shù)學對象，它們面對的問題始終是數(shù)學對象的存在問題。面向存在問題是結構主義發(fā)問的自然傾向，這種自然傾向集中體現(xiàn)在形形色色的結構主義共同具有的兩個直覺觀念上。

結構主義的第一個直覺觀念的基礎原則是:數(shù)學是通過或多或少的嚴格演繹方式而得到的對于結構的可能性的探討。這就說明如果把“公理”理解成“定義條件”，從而得到結構范疇的一個證明，那么就可以獲得關于結構的有趣的結論，這體現(xiàn)了幾何、抽象代數(shù)，以及抽象空間的現(xiàn)代觀念。這點反過來也揭示出在數(shù)學基礎中二階邏輯概念的重要性，因為定義條件的一階翻譯不能表示數(shù)學的核心結構，例如自然數(shù)結構、實數(shù)、復數(shù)，以及累積集合論分層的初始部分［9］。

結構主義的第二個直覺觀念的基礎原則可以追溯到德國數(shù)學家狄德金，這一原則引起了哲學家與邏輯學家的廣泛關注。這個原則就是:在數(shù)學的相關領域中，重要的不是特殊對象，而是某種“結構”的性質(zhì)與關系，個體數(shù)學對象的同一性依賴于這種結構關系，亦即依賴于結構中的“相對位置”。在一定條件下，通過特殊的構造或者定義(例如通過收斂有理序列)可以恢復這種結構，通過關注一個特殊的構造，可以對于單個詞項(例如序列)進行公設，當我們恢復這種結構之后，我們僅僅可以把這種公設看作是對一個實數(shù)的公設。從狄德金以來，人們已經(jīng)清楚地發(fā)現(xiàn)這樣的一個事實:數(shù)學結構是由對象以及對象間的映射形成的系統(tǒng)決定的，而不是由孤立看待的數(shù)學對象的任何具體特征決定，現(xiàn)代數(shù)學的結構方法很大程度上是由對于映射(系統(tǒng))的日益關注體現(xiàn)出來的，數(shù)學對象是由它們的“容許變換”決定［14］。

結構主義的不同學派之所以根據(jù)不同的語言重建數(shù)學，是因為它們對于數(shù)學對象的存在性具有不同的理解。語言的不同背后就是哲學概念的根本分歧，可以說選擇不同的語言其實就是再現(xiàn)了柏拉圖主義與唯名主義的古老爭論。結構主義的核心思想認為，數(shù)學是研究結構以及結構之間的同構關系的演繹科學，因此數(shù)學對象只不過是“結構中的位置”，數(shù)學理論的目的是把這種對象描述到同構中去。在哲學概念層面，對結構主義的解釋主要有兩種:一種是遵循柏拉圖主義的先物(ante rem)結構主義，另一種則是更多地與唯名論相吻合的在物(in re)結構主義。先物結構主義認為，數(shù)學對象就是結構中的位置，數(shù)學對象的指稱要求結構本身“獨立存在于能夠例證它們的任何系統(tǒng)”［15］。在物結構主義認為:可通過把關于數(shù)學對象的命題作為關于特定類型結構的普遍命題，從而消去數(shù)學對象與結構的指稱［12］。

先物結構主義者認為結構在我們研究中是以合法對象的身份存在的，一個給定的結構獨立于能夠例證它的任何系統(tǒng)。例如，在一個結構中，數(shù)字是指稱真實對象的真實的單稱詞項，這些對象就是位置。在物結構主義者認為算術命題不能簡單看作是關于對象的特殊聚合的命題，算術命題是對某種類型的所有系統(tǒng)的概括。因此，在物結構主義反對把這種數(shù)學對象或結構當作真正的對象［10］。

集合論結構主義與自我依存結構主義的對比，實際上是在柏拉圖主義的本體論與模態(tài)語言的唯名主義之間進行權衡。模態(tài)結構主義認為，集合論結構主義、自我依存結構主義與范疇論結構主義是在無模態(tài)的語言中設計的，它們會陷入諸多矛盾中，比如，集合、范疇和論域被看作是現(xiàn)實部分，因而導致了關于它們的特征的永久爭論。模態(tài)結構主義避免了這種抽象，至少在它的初始階段是這樣(比如，在重構集合論之前對數(shù)系統(tǒng)的處理就可以避免這種抽象)，并提出了模態(tài)唯名論的框架可以表示大量的普通數(shù)學。為此，模態(tài)結構主義需要建立適中的模態(tài)存在公設，對不少數(shù)學而言，僅僅可數(shù)多個原子需要進行公設，對更多的數(shù)學，包括許多拓撲結構與流形，不可數(shù)多個原子需要公設，不過這種需要不能夠超過唯名論的范圍［9］。

集合論結構主義和自我依存結構主義的對比，以及集合論結構主義與模態(tài)結構主義的對比關系到把大量的數(shù)學結構整合到各自的框架中，而這些框架僅僅依賴于現(xiàn)實的豐富性。對于模態(tài)結構主義，我們可以發(fā)展一種集合論或者范疇論的模態(tài)結構解釋方案，然后相應地轉換成簡單的模型論框架或者范疇論框架進行相應處理。同時，我們可以為這種結構尋找一種直接的理論解釋，從而避免集合論支持的范圍太寬泛。從本體論的觀點看，這種理論解釋將面臨描述不同類型結構的相互關系的挑戰(zhàn)，其中一些關系可由模型論框架與范疇論框架進行處理。如果這種直接的理論解釋獲得成功，那么結構主義將能夠獨立于集合論而存在［9］。

四、結構主義的發(fā)展趨勢

隨著存在論題回歸人們的視野，結構主義的種種實踐逐漸成為數(shù)學哲學的成長源泉。這并不是說意義與真理問題完全淡出人們的視野，實際上，結構主義對于數(shù)學存在的語言建構正是建立在基礎研究三大學派的基礎之上的，邏輯主義、形式主義、直覺主義為結構主義提供了建構數(shù)學對象的語言框架，這種框架特別體現(xiàn)在集合論結構主義與模態(tài)結構主義的工作之中，它們的工作保障了結構主義的本體論建構與數(shù)學基礎的邏輯研究之間的密切聯(lián)系，成為溝通邏輯學與本體論兩大研究領域的必要環(huán)節(jié)。在這個背景下，范疇論結構主義工作的原創(chuàng)性與前瞻性就凸現(xiàn)了出來，范疇論徹底突破了邏輯語言的束縛，創(chuàng)造了全新的本體論語言，從而使得存在建構能夠像邏輯建構那樣成為嚴格的科學，并且通過集合論與邏輯語言保持密切聯(lián)系，這樣就使得古代樸素的本體論研究提升到語言建構的全新境界。一方面為語言注入了存在的內(nèi)涵，另一方面把存在提升到語言的境界?？梢灶A見，范疇論結構主義會成為結構主義的主要發(fā)展方向，它的一舉一動將會影響到其他學派的具體工作。它一方面落實了柏拉圖主義關于概念可以成為個體的信念，另一方面深入到現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的最新前沿，讓柏拉圖主義的信念充滿浩瀚深邃的數(shù)學海洋。

C.McLarty認為，范疇論本身是一個可以適用于多種結構的普遍理論，每一個具體的范疇基礎都提供了各種相當強的存在公理，當我們談論“集合公理”的時候都或多或少地是指，這些公理是針對某個潛在的基礎理論而言的［13］。S.Awodey認為，把集合論轉換成拓撲斯理論的目的是，說明像拓撲斯這樣的范疇可以處理大量的能夠在集合論中處理的數(shù)學，這種轉換不是說明拓撲斯理論是一個新的普遍的“基礎系統(tǒng)”，只不過是想用拓撲斯理論來代替集合論而已［11］。范疇論結構主義可以通過下面的方式來描述:在內(nèi)容上強調(diào)形式，在構造上強調(diào)描述，在演繹基礎上強調(diào)對假設的約定，在具有這些性質(zhì)的對象的成分上強調(diào)對本質(zhì)的特征化。也就是說，這些基本觀點是建立在特殊的基礎系統(tǒng)之內(nèi)的，并建構在具體的數(shù)學對象的觀念之上，其具體的方式如下:(1)存在足夠多的對象來表示日常數(shù)學中的數(shù)、空間、群、流形，等等;(2)存在足夠多的定律、規(guī)則與公理，保證關于這些數(shù)學對象的所有普通推理與論證，至少存在某些能夠處理系統(tǒng)本身特征的明顯的命題［11］。

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