基于狀態(tài)空間的Buck型變換器數(shù)字電壓控制

李 峰

（中國電子科技集團公司20所，西安710068）

0 引 言

利用經(jīng)典控制理論進行Buck型變換器的數(shù)字控制器設(shè)計時，需要先完成控制器的連續(xù)域（s域）設(shè)計，然后再將其轉(zhuǎn)換成離散域（z域）的差分方程以實施數(shù)字控制［1］，這導(dǎo)致數(shù)字控制系數(shù)與系統(tǒng)設(shè)計指標之間不存在直接的對應(yīng)關(guān)系［2］。當數(shù)字反饋控制不能滿足系統(tǒng)設(shè)計要求時，無法判斷哪個控制系數(shù)需要調(diào)節(jié)以及如何調(diào)節(jié)，只能返回連續(xù)域（s域）階段重新設(shè)計，甚至需要反復(fù)試探多次才能達到設(shè)計要求。

針對上述問題，基于狀態(tài)空間理論和離散等效技術(shù)［3］，本文提出了Buck型變換器的數(shù)字電壓控制及其設(shè)計流程，可一次性完成數(shù)字控制器的設(shè)計工作，避免了經(jīng)典控制理論固有的反復(fù)試探性。

1 被控對象的跟蹤控制模型

Buck型變換器的控制環(huán)路中，由功率級電路、數(shù)字脈沖寬度調(diào)制器（DPWM）和模／數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）構(gòu)成了被控對象，如圖1所示［4］。其中vG、vO、vref、iL、uU、eE和dD分別是Buck型變換器的輸入電壓、輸出電壓、參考電壓、功率級電感電流、數(shù)字占空比、數(shù)字誤差電壓和模擬占空比。

圖1 Buck型變換器的被控對象結(jié)構(gòu)

選擇電感電流和輸出電壓作為狀態(tài)變量，得到功率級電路、DPWM和ADC的交流量狀態(tài)方程分別為［5－6］：

式中：L、C和R分別為功率級的濾波電感、濾波電容和負載電阻；VG和D分別為輸入電壓和模擬占空比的穩(wěn)態(tài)直流量；il（t）、vo（t）、vg（t）和d（t）為對應(yīng)的交流量；KDPWM和KADC分別為DPWM和ADC的傳遞函數(shù)；u（t）、e（t）和vref（t）分別為數(shù)字占空比、數(shù)字誤差電壓和參考電壓的交流量。

式（1）和式（2）說明Buck型功率級電路的核心是LC濾波電路，式（3）和式（4）說明DPWM 和ADC可等效成常數(shù)傳遞函數(shù)的比例環(huán)節(jié)，所以圖1所示的被控對象屬于二階諧振系統(tǒng)。為實現(xiàn)Buck型變換器的跟蹤控制，需要在模／數(shù)轉(zhuǎn)換器后面串行加入一個積分環(huán)節(jié)（復(fù)頻域模型1／s），使得原被控對象由二階系統(tǒng)升至三階系統(tǒng)。設(shè)q是積分輸出交流量，則存在下面關(guān)系式：

選擇積分輸出交流量作為第3個狀態(tài)變量，合并式（1）、式（2）、式（3）和式（5），得狀態(tài)方程模型：

式中：A為狀態(tài)矩陣；B為輸入矩陣。

輸出方程為：

式中：C為輸出矩陣；D為直接轉(zhuǎn)移矩陣。

模型式（9）中包含了積分環(huán)節(jié)，便于實現(xiàn)Buck型變換器的跟蹤控制，所以稱該模型為被控對象的跟蹤控制模型。

2 跟蹤控制模型的可控性和可觀性

系統(tǒng)可控矩陣是行滿秩矩陣，則系統(tǒng)完全可控；系統(tǒng)可觀矩陣是列滿秩矩陣，則系統(tǒng)完全可觀［1］，針對上述跟蹤控制模型，分別得出對應(yīng)的可控矩陣和可觀矩陣為：

可控矩陣MC和可觀矩陣MO的秩均等于3，分別是行滿秩矩陣和列滿秩矩陣，說明Buck型變換器的被控對象完全可控且完全可觀，利用輸入信號控制被控對象有意義，利用輸出信號進行反饋控制可行。

3 數(shù)字電壓控制

3.1 數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)

以跟蹤控制模型的輸出電壓vO和積分輸出量qQ作為反饋源，由比例環(huán)節(jié)F1和積分環(huán)節(jié)構(gòu)成積分反饋支路，由F2構(gòu)成電壓反饋支路，形成Buck型變換器的電壓反饋控制，如圖2（a）所示。用Ts表示Buck型變換器的開關(guān)周期，采用數(shù)字濾波技術(shù)將積分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換成差分形式并作如下定義［3］：

得到如圖2（b）中虛框所示的數(shù)字控制電路，它由2個乘法器和3個兩輸入加法器構(gòu)成。

圖2 電壓反饋控制的Buck型變換器

3.2 控制系數(shù)計算公式

根據(jù)圖2（a），Buck型變換器在數(shù)字電壓控制下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和特征方程分別為：

式中：Asys為狀態(tài)矩陣；Bsys為輸入矩陣。

控制理論對一階系統(tǒng)和二階欠阻尼系統(tǒng)進行了深入研究，并根據(jù)極點之間的相對位置，將三階系統(tǒng)近似等效成二階欠阻尼系統(tǒng)或一階系統(tǒng)進行分析。不妨給出便于系統(tǒng)設(shè)計的三階特征方程：

式中：ζ、ωn和ζωn分別為阻尼系數(shù)、無阻尼振蕩頻率和衰減系數(shù)；p為復(fù)平面中的實極點距原點的距離。

當Buck型變換器被設(shè)計成近似二階欠阻尼系統(tǒng)時，根據(jù)式（18）和式（19），得出控制系數(shù)計算公式為：

當Buck型變換器被設(shè)計成近似一階系統(tǒng)時，控制系數(shù)計算公式為：

3.3 瞬態(tài)性能分析

控制系數(shù)F1對Buck型變換器瞬態(tài)性能的影響在參考文獻［7］中進行了系統(tǒng)論述，本文僅對控制系數(shù)F2進行分析。根據(jù)圖2（a），當F2＜0時（b＞0），電壓反饋支路形成正反饋，導(dǎo)致Buck型變換器振蕩；當F2＝0時（b＝0），電壓反饋支路的作用消失，系統(tǒng)僅由積分反饋支路控制；當F2＞0時（b＜0），電壓反饋支路屬于負反饋，削弱了積分反饋支路對系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響，F(xiàn)2越大（｜b｜越大），削弱作用越強。因此，控制系數(shù)F2對瞬態(tài)性能的影響與控制系數(shù)F1的作用相反，如表1所示（F1＞0，F(xiàn)2＞0；↗：增大，↘：減?。?。

表1 控制系數(shù)的影響

4 數(shù)字電壓控制設(shè)計流程

基于上述分析，得到Buck型變換器數(shù)字電壓控制的設(shè)計流程如下：

（1）確定Buck型變換器的系統(tǒng)階數(shù)。根據(jù)應(yīng)用環(huán)境及瞬態(tài)響應(yīng)的要求，確定Buck型變換器為近似二階欠阻尼系統(tǒng)或近似一階系統(tǒng)。

（2）計算控制系數(shù)F1和F2。根據(jù)選定的系統(tǒng)階數(shù)，利用式（20）或式（21）計算控制系數(shù)。

（3）設(shè)計驗證。利用仿真或測試等方法驗證由F1和F2所確定的數(shù)字控制器是否滿足Buck型變換器的設(shè)計指標。若滿足，設(shè)計結(jié)束；若不滿足，繼續(xù)（4）。

（4）微調(diào)控制系數(shù)F1和F2。判斷當前Buck型變換器的瞬態(tài)性能與設(shè)計指標的差距，并根據(jù)表1總結(jié)的規(guī)律，對控制系數(shù)進行微調(diào)，微調(diào)后返回（3）。

上述流程如圖3所示。

5 仿真與測試

控制系數(shù)F1的驗證見參考文獻［7］，本文只驗證控制系數(shù)F2對Buck型變換器瞬態(tài)性能的影響。利用Matlab／Simulink建立Buck型變換器模型，其系統(tǒng)參數(shù)為：fs＝200kHz，Ts＝5μs，L＝22.0μH，C＝22.0μF，R＝1.8Ω，VG＝5.0V，VO＝1.8V，KDPWM＝1／211，KADC＝210／5。

圖3 數(shù)字電壓控制的設(shè)計流程

針對負載電流發(fā)生0.2A的上跳變，固定a（F1·Ts）＝0.225，從0～2.7之間等步長地變化｜b｜（F2／KADC），并分別進行瞬態(tài)仿真，其結(jié)果統(tǒng)計在圖4中。當｜b｜＝0時，電壓反饋支路無效，積分反饋支路配置變換器為近似二階欠阻尼系統(tǒng)；隨著｜b｜增大（F2增大），電壓反饋支路對積分反饋支路的削弱作用開始增強，促使變換器由近似二階欠阻尼系統(tǒng)向近似一階系統(tǒng)轉(zhuǎn)換，過渡時間和超調(diào)量均逐漸減??；當｜b｜增大至2.1時，超調(diào)量減小至零，標志著Buck型變換器過渡至近似一階系統(tǒng)；之后，過渡時間又隨著｜b｜的增大而增加。在當前仿真環(huán)境下，過渡時間的最小值為130μs。上述仿真結(jié)果與表1所示的理論分析結(jié)果一致。

圖4 控制系數(shù)F2對超調(diào)量和過渡時間的影響

為了進一步驗證本文結(jié)論，保證系統(tǒng)參數(shù)與仿真模型一致的前提下，設(shè)計了基于FPGA的數(shù)字Buck型變換器，并在其上實施所提的數(shù)字電壓控制，測試曲線如圖5所示。測試結(jié)果表明：數(shù)字電壓控制實現(xiàn)了Buck型變換器的穩(wěn)態(tài)跟蹤控制；隨著控制系數(shù)｜b｜的增大，變換器由近似二階系統(tǒng)向近似一階系統(tǒng)過渡，驗證了數(shù)字電壓控制的理論分析和仿真結(jié)果的正確性。

圖5 電壓反饋控制的輸出電壓測試曲線

6 結(jié)束語

基于狀態(tài)空間理論，提出了Buck型變換器的數(shù)字電壓控制，針對系統(tǒng)超調(diào)量和過渡時間2個指標，分析了控制參數(shù)對變換器瞬態(tài)性能的影響，給出了數(shù)字電壓控制的設(shè)計流程，用以指導(dǎo)數(shù)字控制器的一次性設(shè)計工作，有效地避免了經(jīng)典控制理論固有的反復(fù)試探性。仿真與測試結(jié)果驗證了所提數(shù)字電壓控制的有效性及理論分析的正確性。

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