無壓流圓形斷面收縮水深的簡(jiǎn)易算法

滕凱

（齊齊哈爾市水務(wù)局，齊齊哈爾 1610060）

圓形斷面具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、施工方便、水力學(xué)及力學(xué)條件好等優(yōu)點(diǎn)，是城市供排水及水利水電工程中較常采用的斷面形式之一。由于其水力計(jì)算涉及超越方程求解，無法通過解析法直接獲解，而傳統(tǒng)的計(jì)算方法[1-3]（圖解法、試算法）不但過程繁復(fù)、依賴圖表且精度較差，因此有關(guān)圓形斷面正常水深及臨界水深計(jì)算方法的研究已得到較多學(xué)者的關(guān)注，并獲得較好成果[4-18]，無論公式的表達(dá)形式，還是計(jì)算精度都取得了令人滿意的結(jié)果。

由于在閘后連接的圓形斷面時(shí)常產(chǎn)生收縮水深，而截至目前，在圓形斷面收縮水深計(jì)算方法的研究上，還沒有一套人們較為認(rèn)可的計(jì)算公式。文獻(xiàn)[19] 通過對(duì)圓形斷面收縮水深基本方程進(jìn)行恒等變形，獲得了計(jì)算收縮水深所對(duì)圓心角θ 的迭代式，并采用優(yōu)化計(jì)算法給出了迭代初值計(jì)算式，進(jìn)而求得收縮水深。但由于該方法的迭代初值及迭代公式表達(dá)形式比較復(fù)雜，計(jì)算過程相對(duì)繁瑣，不便實(shí)際工程應(yīng)用。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化圓形斷面收縮水深的計(jì)算過程，提高求解成果精度，采用優(yōu)化擬合的方法，將方程中的超越函數(shù)進(jìn)行擬合替代，并以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，獲得了一種表達(dá)式簡(jiǎn)捷、計(jì)算精度高的簡(jiǎn)化計(jì)算公式，具有實(shí)際應(yīng)用推廣價(jià)值。

1 圓形斷面收縮水深基本方程

依據(jù)水力學(xué)理論，收縮水深的基本方程為[20]：

2 圓形斷面收縮水深簡(jiǎn)化公式及精度分析

式中：E0為以收縮斷面底部為基準(zhǔn)面的過水建筑物上游總水頭，m；hc為收縮斷面處的水深，m；Q 為過水流量，m3·s-1；g 為重力加速度，通常取9.81 m·s-2；φ 為流速系數(shù)；Ac為與收縮水深hc相對(duì)應(yīng)的拋物線形斷面面積，m2。

對(duì)于圓形過水?dāng)嗝妫ㄒ妶D1），其水力要素為：

式中：θ 為與收縮水深hc相對(duì)應(yīng)的圓心角，rad。

圖1 無壓流圓形斷面Fig.1 Free flow in circular section

由式（3）經(jīng)整理可得圓心角為：

將式（2）、（4）代入式（1），并設(shè)

式中：k 為無量綱已知綜合參數(shù)；x 為無量綱水深；β為已知中間參數(shù)。

經(jīng)進(jìn)一步整理即可獲得求解無量綱水深x 的公式為：

在式（6）中，理論上x 的值域范圍為[0，1]，而在實(shí)際工程中[19]，x＜0.05 情況無實(shí)際意義；另一方面，由于受凈空高度限制，相應(yīng)的x＜0.8；即工程的適用范圍為0.05＜x＜0.8，且有0.01≤hc/E0=β·x≤0.5。

2.1 簡(jiǎn)化公式的建立

式（6）為含有開平方及反三角函數(shù)的超越方程，無法由解析法直接獲解。為避免利用式（6）求解超越方程問題，現(xiàn)設(shè)：

同時(shí)假定y1′=f（x）和y2′=f（x，β）函數(shù)在工程實(shí)用范圍內(nèi)可以分別替代式（7）中的y1和y2，并根據(jù)式（7）展繪y1～x 及y2～（β·x）關(guān)系曲線，經(jīng)對(duì)曲線形式分析及數(shù)值相關(guān)回歸，并以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[21]，即為：

經(jīng)逐次逼近擬合[22]即可獲得如下替代函數(shù)，即

將式（8）代入式（6）經(jīng)進(jìn)一步整理即可求得收縮水深hc為：

其中：

式中：A 為中間變量。

2.2 擬合公式的精度分析

為比較式（9）與式（6）的擬合替代精度，考慮在工程實(shí)用范圍內(nèi)（即0.05＜x＜0.8，0.01≤β·x≤0.5），取不同的xi及βi值即可由式（6）計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki，再將ki及βi分別代入式（9）及式（10）求得xi′，進(jìn)而由下式完成式（9）替代式（6）的擬合相對(duì)誤差計(jì)算，并完成擬合誤差包絡(luò)圖繪制，見圖2 所示。

式中：zi為擬合相對(duì)誤差，%。

圖2 擬合誤差包絡(luò)線Fig.2 Fitting error envelope

由圖2 可見，式（10）的最大擬合相對(duì)正、負(fù)誤差zi分別為0.76%和-0.78%，當(dāng)0.1≤x≤0.7 時(shí)，正、負(fù)相對(duì)誤差的包絡(luò)線基本平行于x 軸，且負(fù)誤差的絕對(duì)值小于正誤差，而當(dāng)x≤0.1 和x≥0.7 時(shí)，正誤差隨著x 的減?。▁≤0.1 時(shí)）和增大（x≥0.7 時(shí)）而減小，而負(fù)誤差則相對(duì)增大，并分別增大至x=0.05 時(shí)的-0.76%和x=0.8 時(shí)的-0.78%。由包絡(luò)線對(duì)稱性可見，橫軸以上正誤差包絡(luò)線所圍面積與橫軸以下負(fù)誤差包絡(luò)線所圍面積基本相等，說明式（10）的平均誤差較小，具有較好的擬合替代精度。

通過對(duì)公式表達(dá)形式比較可見，式（10）較文獻(xiàn)[19]公式的表達(dá)形式更加簡(jiǎn)單直接，從計(jì)算過程比較可見，式（10）僅需完成1 個(gè)間接參數(shù)計(jì)算即可直接獲解，計(jì)算不易出錯(cuò)，而文獻(xiàn)[19]公式則需完成5 個(gè)間接參數(shù)計(jì)算才能獲解，容易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤，比較而言，文中公式實(shí)際應(yīng)用更加簡(jiǎn)便快捷。具體比較見表1 所示。

表1 圓形斷面收縮水深公式形式比較Table 1 Comparison of circular cross-section form of contracted depth formula

3 應(yīng)用舉例

選文獻(xiàn)[19]算例：已知某引水隧洞閘前斷面總水頭E0=12 m，隧洞圓形斷面設(shè)計(jì)直徑為d=15 m ，設(shè)計(jì)過水流量為200 m3·s-1，流速系數(shù)φ=0.95，試計(jì)算閘后洞內(nèi)的收縮水深hc值。

解：根據(jù)算例中已知參數(shù)，由式（5）可求得：

將β=1.25、k=0.487 84 分別代入式（11）求得A值為：

A=1.450 4-0.160 7 kβ1.48=1.341 33

進(jìn)而由式（10）即可求得收縮水深hc為：

該例收縮水深的精確解為hc=2.107 m，公式（10）求解成果的相對(duì)誤差為-0.19%。

4 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)目前圓形斷面收縮水深計(jì)算方法存在的問題，經(jīng)對(duì)求解計(jì)算公式等式兩邊超越方程的優(yōu)化擬合替代，獲得了表達(dá)形式簡(jiǎn)單且具有較高擬合精度的替代函數(shù)，具有以下主要優(yōu)點(diǎn)：

（1）借助經(jīng)驗(yàn)擬合曲線，較好地解決了常規(guī)計(jì)算方法所存在的問題，有效提高了該種斷面水力計(jì)算的工作效率。

（2）公式的中間變量參數(shù)少，表達(dá)形式更加簡(jiǎn)單直觀，實(shí)際工作僅借助計(jì)算器即可方便快捷地完成解算，適于廣大基層工程技術(shù)人員實(shí)際推廣應(yīng)用?？蔀檩^復(fù)雜斷面（如馬蹄形及蛋形過水?dāng)嗝妫┦湛s水深近似計(jì)算公式的建立提供有益的參考。

（3）通過精度比較及算例計(jì)算分析表明，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，文中公式具有較好的計(jì)算精度，最大擬合相對(duì)誤差僅為0.78%，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

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