關(guān)于圓錐曲線中兩垂直切線交點(diǎn)的軌跡

李智勇，何濤瀾

摘 要：在教學(xué)圓錐曲線過(guò)程中，有一些非常有價(jià)值的結(jié)論，對(duì)處理問(wèn)題有事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；互相垂直切線；交點(diǎn)；結(jié)論

筆者通過(guò)對(duì)圓錐曲線的兩條垂直切線交點(diǎn)軌跡問(wèn)題的研究發(fā)現(xiàn)了下面幾個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1：橢圓+=1兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是

x2+y2=a2+b2.

證明：設(shè)M（x0，y0）為橢圓+=1①兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，k為過(guò)M點(diǎn)所作這橢圓的切線的斜率，則這條切線的方程為y-y0=k（x-x0）②

由①②可得b2x2+a2[y0+k（x-x0）]2-a2b2=0，

即（b2+a2k2）x2+2k（y0-kx0）a2x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0③

由題意可得：

Δ=4k2（y0-kx0）2a4-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，

化簡(jiǎn)得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.

當(dāng)a2≠x20時(shí)，設(shè)此方程的二根為k1，k2，則k1·k2=-1，即=-1，故得x20+y20=a2+b2.

當(dāng)a2=x20時(shí)，此時(shí)切線MT⊥x軸，切線MT′⊥y軸，即x0=a，y0=b故點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2=a2+b2，即點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

根據(jù)雙曲線與橢圓的相似性，可以類(lèi)比得到：

結(jié)論2：雙曲線-=1兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是

x2+y2=a2-b2.

當(dāng)a>b時(shí)，軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓；

當(dāng)a=b時(shí)，軌跡是（0，0）；

當(dāng)a

結(jié)論3：拋物線y2=2px兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是x=-.

證明：切線PA的方程為y1y=p（x+x1），切線PB的方程為y2y=p（x+x2）.

∵P（x0，y0）為這兩切線的交點(diǎn)，

∴y1y=p（x0+x1）①

y2y=p（x0+x1）（②

①÷②，得：=-，由此得x0===.

①-②，得：（y1-y2）y0=p（x1-x2）

y0===，又kPA·kPB=-1，即

·=-1，故y1y2=-p2，則x0=-，故拋物線的兩垂直切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，故拋物線y2=2px兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是x=-.

（作者單位 湖北省紅安縣第一中學(xué)）