關(guān)注“過程性目標”的“反比例函數(shù)”教學探索及反思

☉江蘇省鹽城市明達中學 江亞輝

一、問題的提出

“過程性目標”表達的是在教學情境中隨著教學過程的展開而生成的學習成果和個性化表現(xiàn)的學習成果，具有過程性、內(nèi)隱性和個性化的特點，是教學目標的有機組成部分．盡管教師都知道教學目標包括結(jié)果性目標和過程性目標，但大量課堂觀察發(fā)現(xiàn)：大多數(shù)教師的課堂教學沒有關(guān)注過程性目標的達成．關(guān)注過程性目標的教學怎樣操作？筆者以蘇科教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級下冊“9.1反比例函數(shù)”第1課時為載體進行了探索．初步實踐驗證表明，探索中形成的操作方法對達成過程性目標有積極的影響．本文簡錄其教學過程，并提供教后反思，供讀者參考、研究．

二、教學過程簡錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷感悟情境的過程——明確研究對象

引言：我們知道，現(xiàn)實生活中許多數(shù)量變化關(guān)系問題可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題．但現(xiàn)實生活中也有許多數(shù)量變化關(guān)系問題的數(shù)學化結(jié)果是其他形式的函數(shù)．例如，“一個接在12V電池上的汽車前燈燈泡的電阻為30Ω．如果改用電阻大于30Ω的燈泡，那么汽車前燈的亮度將發(fā)生什么變化？你能用數(shù)學方法給出解釋嗎？”其數(shù)學化結(jié)果就是一個新的具體函數(shù)．這節(jié)課的研究對象就是滿足解決這類問題所需要的新形式函數(shù)——反比例函數(shù)．（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：參與定義對象的活動——定義反比例函數(shù)

師：奉化到象山的路程是120km．一輛汽車從奉化開往象山，記汽車全程的行駛時間為x（h），汽車行駛的平均速度為y（km/h）．問：（1）在這個變化的過程中，哪些量是常量？哪些量是變量？（2）變量y隨著哪個量的變化而變化？（3）怎樣用函數(shù)解析式來表示這兩個變量之間的變化關(guān)系？（4）當x=2時，y的值是多少？其實際意義是什么？（5）當y=70時，x的值是多少？其實際意義是什么？（先讓學生獨立學習約2分鐘，再要求學生回答問題）

生2：這個函數(shù)右邊的代數(shù)式是分式，正比例函數(shù)右邊的代數(shù)式是整式．

師：不錯！你借用了分式與整式的概念來演繹．

生3：這個函數(shù)的兩個變量成反比例，正比例函數(shù)的兩個變量成正比例．

師：不錯！你借用了反比例與正比例的概念來演繹．

生4：這個函數(shù)兩個變量的積是常數(shù)，正比例函數(shù)兩個變量的商是常數(shù)．

生5：變量與變量之間都是反比例關(guān)系；解析式右邊的代數(shù)式都是分式．

生6：都不是正比例函數(shù)，也不是一次函數(shù)．

生7：變量與變量的積都是常數(shù)．

師：非常好！生8運用了符號化思想和概括方法．由此可見，這類函數(shù)有多種特征，但其本質(zhì)特征是：兩個變量的積是常數(shù)，即xy=k（k為常數(shù)，且k≠0）．

師：現(xiàn)在老師提出下列幾個反思性問題，請大家合作研討并發(fā)表自己的觀點！

（1）上述數(shù)學活動蘊含著哪些數(shù)學思想方法？（2）定義反比例函數(shù)的基本步驟是什么？（3）你對反比例函數(shù)有何感觸？你認為還可以研究什么？

教師在傾聽學生觀點的基礎(chǔ)上給出以下參考答案.

（1）數(shù)學活動蘊含的數(shù)學思想有：變化與對應(yīng)思想、模型化思想、歸納思想、符號表示思想等.（2）定義反比例函數(shù)的基本步驟是：①借助具體情境產(chǎn)生具體的反比例函數(shù)；②觀察具體反比例函數(shù)的特征；③歸納具體反比例函數(shù)的共同特征；④用自然語言定義并用符號語言表示.（3）反比例函數(shù)有豐富的現(xiàn)實情景，它也是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化關(guān)系的有效模型；像研究一次函數(shù)一樣，還可以研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)及其在實際中的應(yīng)用.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試應(yīng)用的活動——合作解答有代表性的問題

師：現(xiàn)在請大家合作解答下列問題.

問題1（概念辨別）：下列函數(shù)中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？并分別指出反比例函數(shù)的比例系數(shù)和自變量的取值范圍：

教師請個別學生回答的基礎(chǔ)上，追問：判斷的依據(jù)是什么？

教師請個別學生回答的基礎(chǔ)上，追問：一般地，求函數(shù)的值有幾種方法？

問題3（解決問題）：如圖1，阻力為1000N，阻力臂長為5cm.設(shè)動力y（N），動力臂為x（cm）（圖中杠桿本身所受重力略去不計.杠桿平衡時：動力×動力臂=阻力×阻力臂）.

（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式是什么？自變量x的取值范圍是什么？

（2）y關(guān)于x的函數(shù)是反比例函數(shù)嗎？如果是，請說出其比例系數(shù).

（3）當x=50時，函數(shù)y的值是什么？并說明這個值的實際意義.

圖1

圖2

教師先引導(dǎo)學生解決問題，再提出兩個反思性問題：（1）解決問題3的策略是什么？用的是什么方法？具體使用了哪些技巧？（2）學習反比例函數(shù)有何意義？請大家合作研討并發(fā)表自己的觀點！

教師在傾聽學生觀點的基礎(chǔ)上給出以下參考答案.

（1）解題策略：用函數(shù)思想把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.解題方法：①在動態(tài)的變化過程中引進兩個表示變量的字母；②用適當?shù)姆绞浇⒆兞恐g的變化關(guān)系；③用數(shù)學方法解決變量之間的變化關(guān)系問題；④用數(shù)學問題的解回答實際問題的答案.解題技巧：①審題——問題涉及哪些量？哪些量是常量？哪些量是變量？②分析——變量與變量之間的變化關(guān)系是什么？③建?！鶕?jù)杠桿原理建立函數(shù)關(guān)系式；④解模——用代入求值法求函數(shù)的值；⑤回答——用數(shù)學問題的解回答實際問題的答案；⑥反思——問題的深化與拓展.

（2）意義：有助于我們進一步認識研究數(shù)量變化關(guān)系問題的思維模式和解決問題的方法，也能在研究過程中發(fā)展我們的智力、能力和個性.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進行課堂總結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）什么叫反比例函數(shù)？反比例函數(shù)的本質(zhì)特征是什么？

（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系分別是什么？

（3）定義反比例函數(shù)的基本步驟是什么？在概念形成過程中蘊含著哪些數(shù)學思想？

（4）用反比例函數(shù)解決實際問題的策略、方法和技巧分別是什么？

（5）學習反比例函數(shù)有何意義？你認為反比例函數(shù)還可以研究什么？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價．

最后，教師讓學生欣賞反比例函數(shù)的自述：

Hi！我是反比例函數(shù)．我像一次函數(shù)一樣也是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量變化關(guān)系的有效數(shù)學模型．因為我是函數(shù)，所以我也具有函數(shù)的內(nèi)涵：我也是在研究運動、變量與曲線的過程中抽象出來的；我的靈魂也是運動、變量、變量關(guān)系；我的本質(zhì)也是變量與變量之間的變化關(guān)系；表示我也有三種方法：解析法、列表法、圖像法；用我解決實際問題的思想方法也是：①在動態(tài)的變化過程中引進兩個表示變量的字母；②用適當?shù)姆绞浇⒆兞恐g的變化關(guān)系；③用數(shù)學方法解決變量之間的變化關(guān)系問題；④用數(shù)學問題的解回答實際問題．我又是特殊的函數(shù)，我的本質(zhì)特征是：兩個變量的積是常數(shù)，即xy=k（k為常數(shù)，且k≠0），你不久就會知道我的圖形特征與變量之間的不變關(guān)系．告訴你：認識我可類比認識一次函數(shù)的方法——抓住變量與變量之間的變化關(guān)系，遵循特殊到一般、具體到抽象的認知規(guī)律，運用運動的觀點和數(shù)形結(jié)合的思想；認識我也要善于獨立思考和合作學習，并要經(jīng)常反思用我解決問題的策略、方法和技巧．值得一提的是：認識我還有助于你理解認識世界的思維模式和解決問題的方法，也能在認識我的過程中發(fā)展你的智力、能力和個性．

三、教后反思

之所以這節(jié)課關(guān)注了過程性目標，是因為這節(jié)課在關(guān)注結(jié)果性目標的同時也關(guān)注了過程性目標，并且根據(jù)過程性目標設(shè)計了相應(yīng)的數(shù)學活動．其具體操作方法如下．

（1）設(shè)置科學合理的教學目標．生成科學合理的教學目標的基本過程是：①分析并解析涉及的知識及相互之間的關(guān)系；②解析涉及知識的地位及教學價值；③查閱并分析課程標準（內(nèi)容標準）中的具體目標；④查閱并分析教學參考書設(shè)置的章節(jié)目標；⑤分析學生的實際情況；⑥在綜合分析的基礎(chǔ)上設(shè)置教學目標．例如，“反比例函數(shù)（1）”的教學目標：①經(jīng)歷具體情境誘導(dǎo)下的感悟過程，感受研究反比例函數(shù)的必要性；②參與根據(jù)具體情境中的數(shù)量變化關(guān)系列函數(shù)解析式的活動，體會變化與對應(yīng)思想和模型化思想，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達式；③參與定義反比例函數(shù)的活動，認識反比例的量的概念，體會定義反比例函數(shù)的基本過程和蘊含的歸納思想，能說出反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，能根據(jù)反比例函數(shù)的特征識別具體的反比例函數(shù)，并能指出其比例系數(shù)和自變量的取值范圍；④參與用反比例函數(shù)解決簡單實際問題的活動，體會函數(shù)思想方法和已知自變量的值求相應(yīng)的函數(shù)值及已知函數(shù)的值求相應(yīng)的自變量的值的方法，體會學習反比例函數(shù)的意義，能用反比例函數(shù)解決簡單的實際問題．

（2）依據(jù)過程性目標設(shè)計相應(yīng)的數(shù)學活動．事實上，過程性目標暗含數(shù)學活動的形式和目的指向．例如，“反比例函數(shù)（1）”這節(jié)課，反比例函數(shù)概念的教學目標是“體驗并理解反比例函數(shù)的概念”．這意味著對應(yīng)數(shù)學活動的形式是“參與……活動”．這種數(shù)學活動的特征是需要學生具有一定的參與程度（認知參與、行為參與、情感參與），而不是光聽教師的講述．這種數(shù)學活動的目的是：既要獲得陳述性知識，也要獲得蘊含在過程中的程序性知識和策略性知識等，并在獲得知識的過程中發(fā)展能力和個性．因此，定義反比例函數(shù)的教學，既要引導(dǎo)學生參與“列反比例函數(shù)的解析式、觀察具體反比例函數(shù)的特征、歸納若干具體反比例函數(shù)的共同特征、用符號表示反比例函數(shù)的本質(zhì)特征”等活動，也要引導(dǎo)學生反思：蘊含在過程中的定義反比例函數(shù)的基本步驟是什么？在過程中蘊含著哪些數(shù)學思想？這樣的數(shù)學活動，在獲得知識的同時，也能發(fā)展能力和個性．

（3）搭建有助于學生實現(xiàn)過程性目標的合適平臺．反映過程性目標的生成性學習成果和表意性學習成果具有過程性、內(nèi)隱性和個性化的特點．既然獲得生成性學習成果和表意性學習成果需要合適的過程，就需要讓學生經(jīng)歷適度指導(dǎo)下的數(shù)學結(jié)果的形成與應(yīng)用的思維過程；既然生成性學習成果和表意性學習成果具有內(nèi)隱性，就需要教師通過反思性問題來引導(dǎo)學生揭示蘊含在過程中的隱性內(nèi)容；既然生成性學習成果和表意性學習成果具有個性化，就需要教師留給學生合作研討的機會以形成多邊思維碰撞的學習狀態(tài)．例如，“反比例函數(shù)（1）”這節(jié)課，教師在給出程序性知識、策略性知識等之前，都留給了學生充分發(fā)表自己觀點的機會．只有這樣才能實現(xiàn)過程性教學目標．盡管實現(xiàn)數(shù)學教育的“雙重性”任務(wù)，需要關(guān)注過程性目標，否則發(fā)展學生的能力和個性就成了一句空洞的口號，但教學中要處理好結(jié)果性目標與生成性目標的關(guān)系．結(jié)果性目標是課堂教學過程的決定因素，是教學效果的最起碼要求，也是教學效益中可評價的那一部分，若過于重視生成性目標和表意性目標，則教學就有可能走向“無目的”的誤區(qū)．

1.中華人民共和國教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］．北京：北京師范大學出版社，2012．

2.楊裕前，董林偉．義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學（八年級下冊）［M］．江蘇科學技術(shù)出版社，2006．