對(duì)2013年安徽省中考試卷第23題的試題特色分析及品味

☉江蘇省啟東市東海中學(xué) 顧曉東

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱(chēng)為“準(zhǔn)等腰梯形”.

一、原題呈現(xiàn)

題目 （2013年安徽卷第23題）如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”，其中∠B=∠C.

（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫(huà)出一種示意圖即可）.

（3）在由不平行于BC的直線截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點(diǎn)E，若EB=EC，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準(zhǔn)等腰梯形”，為什么？若點(diǎn)E不在四邊形ABCD內(nèi)部時(shí)，情況又將如何？寫(xiě)出你的結(jié)論（不必說(shuō)明理由）.

圖1

圖2

圖3

二、試題特色

本題是一道新定義的開(kāi)放探究題，題目立意新穎，構(gòu)造精巧，設(shè)問(wèn)梯度合理，入手較易，通過(guò)截等腰三角形的兩腰得“準(zhǔn)等腰梯形”，把觀察、操作、探究、證明融于一體，需要綜合運(yùn)用平行線、等腰三角形、相似三角形、全等三角形、角平分線等核心知識(shí)靈活地解決問(wèn)題，有效考查了學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的理解及學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力、深入探究能力，綜合性較強(qiáng)，有較好的區(qū)分度，較高的信度和效度.

1.重視基礎(chǔ)，體現(xiàn)能力

本題雖為壓軸題，但仍注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.第（1）問(wèn)，通過(guò)過(guò)一點(diǎn)作平行線，考查學(xué)生作圖的基本技能，并為第（2）問(wèn)的解決做好心理和知識(shí)鋪墊；第（2）問(wèn)考查學(xué)生對(duì)三角形相似的判定這個(gè)核心知識(shí)的掌握情況，要解決的問(wèn)題具體，注重基礎(chǔ)性；第（3）問(wèn)通過(guò)改變點(diǎn)E的位置，探索∠ABC與∠DCB的數(shù)量關(guān)系，使問(wèn)題更具開(kāi)放性，富有探究?jī)r(jià)值.通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.尤其是第（3）問(wèn)的后一小問(wèn)，不呈現(xiàn)圖形，而讓學(xué)生根據(jù)題意畫(huà)出圖形再寫(xiě)出結(jié)論，更體現(xiàn)了本題對(duì)學(xué)生能力的考查.

2.關(guān)注過(guò)程，引領(lǐng)教學(xué)

本題不僅關(guān)注學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注教與學(xué)的過(guò)程，本題首先定義了一個(gè)教材中從未出現(xiàn)的新概念——準(zhǔn)等腰梯形，然后圍繞準(zhǔn)等腰梯形設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，各問(wèn)題層次分明，逐級(jí)遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，變考試的過(guò)程為學(xué)習(xí)、研究的過(guò)程.學(xué)生在解決以上問(wèn)題的過(guò)程中，可以表現(xiàn)出自己的作圖、觀察、證明、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)方面的能力，有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).從而促使教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中重視過(guò)程的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生及時(shí)進(jìn)行歸納總結(jié)和反思，積累解決問(wèn)題的策略及經(jīng)驗(yàn)，不斷提升數(shù)學(xué)能力.本題出現(xiàn)的“等腰三角形、準(zhǔn)等腰梯形”的基本圖形，通過(guò)點(diǎn)的位置的變化引起圖形相應(yīng)的變化，從而探索相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中都經(jīng)常遇到，在教學(xué)中如何讓學(xué)生更好地理解基本圖形的教學(xué)功能？如何在平時(shí)的教學(xué)中立足課標(biāo)，夯實(shí)基礎(chǔ)，注重學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系？這些問(wèn)題都會(huì)促使教師不斷地深入研究、思考，改進(jìn)教學(xué)方法，不斷提升自己的教學(xué)水平等.

3.探究選擇，突出思維

基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)題目的要求與你所用的知識(shí)或設(shè)想距離較遠(yuǎn)時(shí)，就涉及探究思路、方法的選擇問(wèn)題，對(duì)于本題的第（3）問(wèn)難度較高，探究思路的選擇至關(guān)重要，不仿可以采用如下探究環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)1：四邊形ABCD是否為“準(zhǔn)等腰梯形”，取決于什么條件？由BE=BC，可以得∠1=∠2（如圖4），若得∠ABC=∠DCB，還需哪兩個(gè)角相等.

圖4

環(huán)節(jié)2：若要得∠3=∠4，面臨選擇，嘗試發(fā)現(xiàn)∠3、∠4不能夠直接證明相等，條件不足，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，由條件AE、DE分別平分∠BAD與∠ADC，想到過(guò)點(diǎn)E向角的兩邊作垂線段，得EF=EH，通過(guò)△BEF≌△CEH，得∠3=∠4.

環(huán)節(jié)3：若點(diǎn)E不在四邊形ABCD的內(nèi)部，根據(jù)點(diǎn)與平面圖形的位置關(guān)系，點(diǎn)E與四邊形ABCD還存在怎樣的位置關(guān)系，相應(yīng)的圖形又會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？

環(huán)節(jié)4：∠1、∠2、∠3、∠4隨著點(diǎn)E位置的改變，大小發(fā)生變化，但它們之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然存在呢？剛才的證明思路、方法是否還可行呢？

上述探究環(huán)節(jié)凸顯學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)水平，也可實(shí)現(xiàn)新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的結(jié)累，本題中基本圖形的交融將解題思路隱藏，增大了題目的挑戰(zhàn)性，要靠學(xué)生的嘗試和調(diào)整解題策略向前推進(jìn).這種看似“山重水復(fù)”的情境設(shè)置，實(shí)則為“柳暗花明”的到來(lái)做足了鋪墊，學(xué)生將會(huì)體驗(yàn)到解決問(wèn)題的妙趣橫生.

4.體現(xiàn)公平，尊重差異

本題以學(xué)生熟悉的三角形、四邊形為背景，通過(guò)文字語(yǔ)言的描述，圖形語(yǔ)言的說(shuō)明給出了“準(zhǔn)等腰梯形”的概念，問(wèn)題的調(diào)置由易到難，層層推進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣；第（1）問(wèn)絕大部分學(xué)生都能解決，體現(xiàn)了試題的人文關(guān)懷，第（3）問(wèn)具有開(kāi)放性，具有很高的區(qū)分度，體現(xiàn)了中考試卷的選拔功能.

如果把本題當(dāng)作一杯茶來(lái)品嘗的話(huà)，那么品味到它的滋味是幽香撲鼻，醇厚爽口，回味無(wú)窮，當(dāng)我們頭品此題時(shí)，給人以“霧里看花，水中望月”感覺(jué)，但細(xì)細(xì)品味，又“似曾相似”，體現(xiàn)命題者的高超立意，感覺(jué)到的是香高；當(dāng)我們二品此題，理解此題在立意、導(dǎo)向、選拔等功能后，感覺(jué)到的是味濃；當(dāng)我們?nèi)?、四品這道“大餐”時(shí)，認(rèn)真體會(huì)此題的豐富內(nèi)涵，去進(jìn)一步探究、拓展時(shí)，感覺(jué)到的則是幽香猶存.