談構(gòu)造方程解三角函數(shù)問題

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有些題表面似乎難解，但當構(gòu)造出方程后，不僅會迎刃而解，還會因構(gòu)造的奇妙而拍手叫絕，妙趣橫生.本文就對構(gòu)造方程解三角函數(shù)問題進行歸納，供大家參考.

一、構(gòu)造一元二次方程

例1求sin 18°的準確值.

分析：由于18°不是一個特殊值，不易求得，若注意到18°的5倍是90°，構(gòu)造方程則易于解決問題.

解：設(shè)x=18°，有2x=90°-3x，sin 2x=cos 3x，2sinxcosx=4cos3x-3cosx.

例2 銳角A、B、C滿足：cos2A+cos2B+cos2C+2cosA·cosBcosC=1，求證：A+B+C=π.

分析：要找到三角之間的關(guān)系，必須把cosA、cosB、cosC中的一個用另外兩個的代數(shù)式表示出來，為此只需按照構(gòu)造主元法把已知條件整理成一個一元二次方程，便可解決問題.

解：構(gòu)造方程x2+2cosBcosCx+cos2B+cos2C-1=0，則已知條件說明cosA是該方程的一個正根，即

為在［0，π］上y=cosx是單調(diào)函數(shù)，所以A=π-（B+C），即A+B+C=π.

二、構(gòu)造二元一次方程

例3 若acos θ+bsin θ=c，acos φ+bsin φ=c（θ≠2kπ+φ，k∈Z）.

分析：由求證的結(jié)論聯(lián)想到表示同一直線的兩個二元一次方程的系數(shù)之間的關(guān)系，因此可通過構(gòu)造二元一次方程設(shè)法解決.

由已知條件，知P（cos θ，sin θ）、Q（cos φ，sin φ）滿足方程①，即方程①表示直線PQ.

所以P（cos θ，sin θ）、Q（cos φ，sin φ）滿足方程②，即方程②也表示直線PQ.

三、構(gòu)造二元一次方程組

例4 已知sin α+sin β=b，cos α+cos β=a（a2+b2≤φ）.

求sin（α+β），cos（α+β）的值.

分析：本題的常規(guī)解法是聯(lián)立已知條件組成方程組求出α與β的正、余弦值，再利用和角公式求出結(jié)果.但因為本題要求兩個未知數(shù)，可設(shè)法構(gòu)造二元一次方程組來解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，訓(xùn)練逆向思維.

分析：由于sinx與cosx對偶，所以可嘗試利用對偶式構(gòu)造方程組求解.

例6 若θ+φ=120°，試求cos2θ+cos2φ的最值.

分析：同上題.

解：令x=cos2θ+cos2φ，y=sin2θ+sin2φ，則x+y=2，x-y=cos 2θ+cos 2φ=-cos（θ-φ）.

所以-1≤cos（θ-φ）=2-2x≤1.

四、構(gòu)造二元二次方程

分析：由于sinx與cosx對偶，所以可嘗試利用對偶式構(gòu)造方程求解.

五、構(gòu)造二元二次方程組

分析：由于題設(shè)條件中存在對偶關(guān)系，像1+sinx與1-sinx是對偶式，所以可利用對偶性構(gòu)造方程組求解.

由①得v=y-u③，把③代入②得并整理得：

所以ymax=2.

例9 求tan 22°30′準確值.

分析：由于22°30′不是一個特殊值，不易求得，若注意到22°30′的2倍是45°，構(gòu)造方程則易于解決問題.

六、構(gòu)造一元三次方程

例10 不同的三條直線xsin3α+ysin α=a，xsin3β+ysin β=a，xsin3γ+ysin γ=a（a≠0），有公共點，求證：sin α+sin β+sin γ=0.

分析：注意到三條直線方程的結(jié)構(gòu)特征，可構(gòu)造一個以sin α，sin β，sin γ為根的方程解決問題.

解：設(shè)不同三條直線方程的公共點為（h，k），則hsin3α+ksin α=a，hsin3β+ksin β=a，hsin3γ+ksin γ=a.

構(gòu)造一元三次方程hx3+kx-a=0，由已知條件知sin α，sin β，sinγ是該方程的三個根，根據(jù)韋達定理得sinα+sinβ+sin γ=0.

七、構(gòu)造三元一次方程組

a，b不同時為0.

求證：2abA+（b2-a2）B+（a2+b2）C=0.

分析：觀察已知條件①、②，應(yīng)先根據(jù)倍角公式把兩個方程的結(jié)構(gòu)變成同一形式再設(shè)法構(gòu)造方程組解決.

由此可見，構(gòu)造方程解三角函數(shù)題不僅要有堅實廣博的基礎(chǔ)，還要有敏銳的觀察力，由此及彼的聯(lián)想能力及嫻熟的轉(zhuǎn)化技能.在平時的教學(xué)中，有目的地、有計劃地向?qū)W生介紹這種解題思路，對提高縱橫溝通知識的能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維，提高解題能力都大有裨益.