數(shù)學(xué)教學(xué)中無處不在的“反思”

☉江蘇省溧水高級中學(xué) 李寬珍

反思是指思維主體思考過去或已做過的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗、吸取教訓(xùn).它是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，也是數(shù)學(xué)思維的一種重要形式.我們高中數(shù)學(xué)的一個重要目的是培養(yǎng)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的素質(zhì).而現(xiàn)在的高中生反思意識淡薄、反思方法欠缺，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容有目的地創(chuàng)設(shè)反思情境，提供反思策略，強化學(xué)生的反思意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思習(xí)慣.只有有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)反思習(xí)慣，才能真正做到“授之以漁”.

一、概念教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思

中學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念具有相似的屬性.對這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生反思已學(xué)過的數(shù)學(xué)概念的屬性，然后構(gòu)建新知識的生成空間，去類比、去體驗，讓數(shù)學(xué)知識在反思中形成.

例1等比數(shù)列的教學(xué).

首先讓學(xué)生觀察下列兩個數(shù)列各有什么特點：

以上通過引導(dǎo)學(xué)生反思等差數(shù)列的概念的本質(zhì)特點得到等比數(shù)列的概念，使學(xué)生覺得等比數(shù)列的概念是已有等差數(shù)列的概念的一種自然發(fā)展，使數(shù)學(xué)知識在反思中形成.

二、例題教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思

數(shù)學(xué)的例題是知識由產(chǎn)生到應(yīng)用的關(guān)鍵一步，即所謂“拋磚引玉”，然而很多時候只是例題繼例題，解后并沒有引導(dǎo)學(xué)生進行反思，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)也就停留在例題表層，所以我們常有這樣的困惑：不僅是講了，而且是講了多遍，可是學(xué)生的解題能力就是得不到提高！也常聽見學(xué)生這樣埋怨：鞏固題做了千萬遍，數(shù)學(xué)成績卻遲遲得不到提高！

1.在解題的方法規(guī)律處反思

“例題千萬道，解后拋九霄”，難以達到提高解題能力、發(fā)展思維的目的.善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的.

通過例題的層層變式，需要學(xué)生改變思維策略，重新審題，利用數(shù)形結(jié)合，確定解決方法.學(xué)生對這類求最值問題認識又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性和靈活性，從而提高分析問題、解決問題的能力.

2.在學(xué)生易錯處反思

學(xué)生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”.例題教學(xué)若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例3求過點（2，0）與曲線4x2-9y2=36只有一個公共點的直線方程.

由于直線與圓只有一個交點，則：

Δ=（36k2）2-4×（4-9k2）［-36（1+k2）］=144（4-5k2）=0.

這里可以引導(dǎo)學(xué)生反思：①式中x的最高次項的系數(shù)含有字母，所以不能確定是不是二次方程，而Δ只適用于二次方程解的個數(shù)判斷.所以要討論x的最高次項的系數(shù)是否為0，需分兩種情況.

正確的解法是分類討論：

（2）當4-9k2≠0時，解法同上.

進一步引導(dǎo)學(xué)生反思小結(jié)：在圓錐曲線中，有關(guān)直線與圓錐曲線的交點個數(shù)，往往借助方程的思想來解決.直線與曲線有一個公共點不等價于直線與曲線相切，反之，直線與曲線有兩個或兩個以上的交點時，也可以相切.如：y=1與y=sinx有無數(shù)多個交點，但直線與曲線相切.實踐證明，這樣的例題教學(xué)是成功的，學(xué)生對這樣題型的解答的準確率提高很多.

三、探究教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思

數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)新課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，它有助于培養(yǎng)學(xué)生探索問題、解決問題的能力.對問題的探究教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生反思探究問題的整個思維過程，然后用已學(xué)的方法研究新問題，使探索新知的方法在反思中形成.

設(shè)問4：在△ABC中，B（-a，0），C（a，0），直線AB，AC的斜率乘積為k（k≠0），則頂點A的軌跡方程如何？

以上通過引導(dǎo)學(xué)生反思探究問題的整個思維過程，使探索新知的方法在反思中形成.

四、在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程中引導(dǎo)學(xué)生反思

鼓勵學(xué)生反思數(shù)學(xué)知識的形成過程的同時，也要鼓勵學(xué)生反思數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程，即鼓勵學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣.當前高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中比較流行的做法是“灌輸方法，模仿訓(xùn)練”，其實這會導(dǎo)致學(xué)生養(yǎng)成套用解題方法的不良習(xí)慣，同一種題型的數(shù)學(xué)問題，稍微變式一下，學(xué)生還是做不出來.學(xué)生的解題后反思能力的提高，直接影響到數(shù)學(xué)解題能力的提高.因此，我們教師應(yīng)重視加強對學(xué)生解題后反思的習(xí)慣的培養(yǎng)，真正做到“授之以漁”.在解題教學(xué)中，我從以下幾個方面為學(xué)生創(chuàng)設(shè)解題后反思的平臺.

1.反思聯(lián)系

例5已知△ABC中，∠B=45°，AC=4，則△ABC面積的最大值為______.

解題后，我引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：在解題過程中聯(lián)系到哪些知識？通過回顧，學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題用到了三角形面積公式、正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正余弦以及不等式的知識.解題后引導(dǎo)學(xué)生反思聯(lián)系，使學(xué)生在記憶的倉庫里檢索到這些知識.把問題所蘊含的孤立的知識“點”，擴展到系統(tǒng)的知識“面”.通過不斷地拓展、聯(lián)系，加強對知識結(jié)構(gòu)的理解，進而形成認知結(jié)構(gòu)中知識的系統(tǒng)性.

2.反思規(guī)律

例6求值：sin215°+cos245°+sin15°cos45°=______.

解題后，我引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：解題方法中有沒有規(guī)律可循？若將待求式改為sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°呢？

解題后引導(dǎo)學(xué)生反思規(guī)律，使學(xué)生學(xué)會總結(jié)解題方法的規(guī)律，從特殊題目的解法引申出一般題目的解法，正是我們培養(yǎng)學(xué)生觀察思想、歸納總結(jié)、嚴謹態(tài)度的目的，也有利于強化知識的運用，提高遷移水平.

3.反思數(shù)學(xué)思想

圖1

此函數(shù)的圖像如圖1所示，所以f（x）的值域是［-3，3］.

要使f（x）＞a恒成立，必須有a＜-3.故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-3）.

解題后，我先引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：（1）此解法用的是什么數(shù)學(xué)思想方法？（2）若改變題中的條件或結(jié)論，上述方法還適不適用？通過回顧，本題將不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，先構(gòu)造函數(shù)，然后作出符合已知條件的函數(shù)圖形，再考慮參數(shù)的范圍，學(xué)生發(fā)現(xiàn)本題采用的是數(shù)形結(jié)合的思想方法.高中重要的數(shù)學(xué)思想方法很多，除了數(shù)形結(jié)合，還有分析、綜合、歸納、演繹、化歸、類比、抽象概括等.解題后引導(dǎo)學(xué)生反思所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，潛移默化，學(xué)生自然對這些思想方法能夠體會更深，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

4.反思多解

5.反思變式

就例7的教學(xué)，學(xué)生感到意猶未盡，于是我再加以引申，引導(dǎo)學(xué)生從以下角度反思：題中的條件或結(jié)論可以怎樣變式？這時候?qū)W生的積極性被充分調(diào)動起來，紛紛想出以下變式：

解題后引導(dǎo)學(xué)生反思變式，不僅加深學(xué)生對某類問題結(jié)構(gòu)和特征的理解，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，使學(xué)生做一道題，會一套題，提高解題能力，達到命題專家提出的“用學(xué)過的知識與方法，解決沒有見過的題目”的高度.

6.反思錯誤

例8設(shè)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），則mx+ny的最大值為______.

一位學(xué)生板演的答案如下：

堅持“解題后反思”的教學(xué)，不僅能對知識、技能深化理解，而且能訓(xùn)練思維、促進知識與能力的相互轉(zhuǎn)化，提高學(xué)習(xí)效率.

總之，學(xué)習(xí)反思是一種很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，它能使學(xué)生深化對知識的形成過程的理解，提高解題的能力.學(xué)生從中獲得的不僅僅是數(shù)學(xué)知識，而且還有深層次的情感體驗、態(tài)度生成乃至整個生命力量的展現(xiàn)與成長.因此，教師要將學(xué)習(xí)反思的習(xí)慣的訓(xùn)練有機地滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，使學(xué)生形成自覺反思的習(xí)慣.