草中尋針 小題大做—— 一道高中數(shù)學聯(lián)賽題的別樣解答

☉福建省三明第一中學 楊曉蘭

波利亞曾說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好象一道門，把學生引入一個完整的理論領域.”在浩瀚無垠的數(shù)學題海里，2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試（A卷）填空題第2題就是一道呈現(xiàn)形式簡潔而優(yōu)美，問題常規(guī)卻內(nèi)在深厚，解答探尋引人入勝的經(jīng)典題目.通過對這道聯(lián)賽題的別樣解答探究，在這一個小小題目的小世界里，我們會發(fā)現(xiàn)另外一番大世界，會發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美妙千變?nèi)f化！

一、一種“夠用”的解答（參考答案）

“法不在多，做對就行”、“解決一道題一種方法足亦”！考場應試這便是得分準則，“夠用”！若滿足于“夠用”=“得分”，對本題目的解答已夠“圓滿”，大可“鳴金收兵”不再多作思考.然而，若平時學習就淺嘗輒止，不求“甚（多）解”，不注重知識方法的融會貫通，不注重解題思維的訓練、思想方法的提煉升華，提高能力，考場上又怎能靈活運用各種知識與方法對問題順利求解，何談夠用？愛因斯坦曾說過，解決一個問題好比是在草堆中尋針，別人往往尋找到一根針時即停止不再費力去做了，但我自己卻會遍尋干草堆中的所有藏針，不達目的決不罷手.在數(shù)學問題解答探尋活動中，就要有愛因斯坦在草堆中找針那樣的探索精神，尋找出藏著的所有的“針”.

二、別解探尋，縱橫滲透，精彩連連

探尋1：函數(shù)的視角

函數(shù)值域問題，首先思考并充分利用有關函數(shù)知識求解應當是最自然的舉動.

1.配方法

當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)時，可以利用配方法求函數(shù)值域.

注意到t=0（x=1）時，y=0.

2.均值不等式求最值

3.求導數(shù)、取極限法

導數(shù)、極限是研究函數(shù)問題最基本、最重要、最有力的工具，用此法求解本題簡潔、深刻.

（1）令h′（x）≥0，解得x∈［-1，+∞），函數(shù)h（x）單增，則ymin=h（-1）=-，且，所以-≤h（x）＜1；

4.判別式法

函數(shù)與方程內(nèi)在聯(lián)系密切，常?；橐来?，相互轉(zhuǎn)化.若一個分式函數(shù)或無理函數(shù)可化為關于某變量的二次方程，可用判別式法求函數(shù)的值域.

將函數(shù)y=h（x） 轉(zhuǎn)化得方程：（y2-1）x2+2x+（y2-1）=0（x∈R），因為x∈R，所以方程有實數(shù)解.分別就y2-1=0與y2-1≠0兩種情況進行討論，可得-≤y＜1，即-≤h（x）＜1.

說明：這里運用方程的思想求解，由于平方變形不是等價轉(zhuǎn)化，造成了h（x）的范圍擴大，應注意取舍.

5.構造等差數(shù)列求解

配方、求導、判別式、等差數(shù)列、均值不等式等不同思想方法，精彩紛呈，別有韻味.各種方法均以函數(shù)主線，貫穿統(tǒng)一于函數(shù)，渾然一體，無不體現(xiàn)出數(shù)學的統(tǒng)一與和諧！

探尋2：三角的視角

1.三角換元法1

2.三角換元法2

“美，本質(zhì)上終究是簡單性”（愛因斯坦）.兩種三角換元求解，簡潔之極，優(yōu)美之至，展現(xiàn)了數(shù)學三角換元的神奇魅力！

探尋3：向量的視角

向量具有幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份，是溝通數(shù)學各主要分支的橋梁和紐帶，為許多數(shù)學問題的解決開辟了新途徑.由已知函數(shù)式結構與向量數(shù)量積的相似性，聯(lián)想到向量的數(shù)量積，運用向量求解.

圖1

所以h（x）=cos θ，所以-≤cos θ＜1，

類比聯(lián)想，構造向量求解，簡捷明快，事半功倍，不同風格，一樣精彩！

探尋4：幾何的視角

函數(shù)（數(shù)）與幾何（形）天然不可分割.根據(jù)題目式子的外形、數(shù)值特征，發(fā)現(xiàn)本題幾何“背景”豐富.挖掘出它的幾何“背景”，合理構造出幾何模型，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，利用數(shù)形結合求解本題.

圖2

1.構造直角三角形

（2）x=0時，h（x）=-1.

2.構造點到直線的距離

圖3

3.構造圓求解

圖4

（1）當直線l0平移經(jīng)過點A（1，0）時，ymax=1+0=1，易知h（x）＜ymax=1.

圖5

4.構造雙曲線求解

“形缺數(shù)難入微，數(shù)缺形不直觀”“.數(shù)”“形”轉(zhuǎn)換，以形輔數(shù)，代數(shù)問題幾何化，抽象化具體，形象直觀又明了.雖然技巧高難度大，富于創(chuàng)新，極具挑戰(zhàn)，但品嘗“跳起來摘下的果實”，別有風味.數(shù)學的靈魂在于創(chuàng)新，數(shù)學的精彩也在于創(chuàng)新！

三、聯(lián)想探索，拓廣延伸，耳目一新

四、感悟別解，培養(yǎng)技能，提升素養(yǎng)

由于該題特有的結構特征和多方位的入手視角，為我們提供了豐富的思維空間和展示平臺.通過對該題的深入探究，“小題大做”，豐富多彩的解題方法既有效地強化了基礎知識和基本技能，又有機滲透了各種數(shù)學思想，深化了我們對求函數(shù)最值（或值域）的思路、方法的真正領會和理解，使我們的思維在靈活性、廣闊性、深刻性、創(chuàng)新性等方面得到了很好的鍛煉，提高了我們的分析問題和解決問題的能力.正是“通過一道題，就好象一道門，把我們引入了一個完整的理論領域”，由一個小題目見識了一個大世界，提升了數(shù)學技能和素養(yǎng).

一題多解探究的過程就是深入理解數(shù)學的過程，是溝通已有知識經(jīng)驗更深刻聯(lián)系的過程，能讓知識結構有效重組與整合，構建有序的網(wǎng)絡化知識體系；一題多解探究的過程也是深化數(shù)學理性認識，自覺建構認知結構并積極優(yōu)化的過程，是解題智慧得到開發(fā)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力得到培養(yǎng)和提高的過程，能發(fā)展思維，提高解題能力，提升數(shù)學素養(yǎng).平時在數(shù)學學習和解題活動中應從典型的基礎問題入手，從不同方位、不同角度探索和思考問題，綜合運用各部分知識開拓思路，進行多解探究訓練，并在解題過程中不斷總結經(jīng)驗、積累解題的思維方法，達到觸類旁通，舉一反三.只有牢固樹立起在知識與方法的立體網(wǎng)絡中思考并解決問題的觀念，養(yǎng)成“尋針”的探究習慣，摒棄“一題一法”大量操練的“題海戰(zhàn)術”，把數(shù)學學活，讓頭腦變活，我們在解題時才會思緒飛轉(zhuǎn)，各種方法和技巧才會迅速閃現(xiàn)在腦海中：常規(guī)的解法、簡捷的解法、創(chuàng)造性的優(yōu)美解法便會一個又一個接踵而至，并在多解中不斷求簡和優(yōu)化.只有做到對多種方法的活用巧用、擇優(yōu)而用，那才是真正意義的“夠用”，對問題的處理才會游刃有余.

1.岳建良，邱山.發(fā)散提升理解 回歸促進掌握［J］.中學數(shù)學教學參考（上旬），2012（5）.

2.蔣明建.《數(shù)學通報》第1454號問題探究的三重境界［J］.中學數(shù)學（高中版），2013（1）.