寧?kù)o致遠(yuǎn)，另辟蹊徑——一個(gè)折疊問(wèn)題求解的再探究

☉安徽省太湖縣晉熙中學(xué) 朱記松

題目 如圖1所示，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，使B點(diǎn)落在邊AD上的M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與A、D重合），試求△MPD的周長(zhǎng).

現(xiàn)象：個(gè)別學(xué)生假設(shè)M為AD的中點(diǎn)，從而得出結(jié)論.大部分同學(xué)連接BM、BP，作BQ⊥MP于Q點(diǎn)，在證明△ABM≌Rt△QBM時(shí)卡殼.

原因分析：該問(wèn)題是由“如圖2所示，點(diǎn)E、F為正方形ABCD邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF”改編而成的.因此，在解題過(guò)程中，可以運(yùn)用已經(jīng)積累的解題經(jīng)驗(yàn)，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求解［1］.

圖1

圖2

圖3

［問(wèn)題解決］

1.常規(guī)解法

順著文［1］提供的思路，解答如下.

解：連接BM、BP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥MN于Q，如圖3所示.由折疊性質(zhì)可知，∠ABC=∠EMN=90°，且BE=EM，則∠EBM=∠EMB.設(shè)∠ABM=α，則∠AMB=∠PMB=90°-α.

在Rt△ABM與Rt△QBM中，因?yàn)椤螦=∠MQB，∠AMB=∠QMB，BM=MB，所以△ABM≌△QBM.

故AM=QM，AB=BQ.由HL可證PQ=PC，所以l△MDP=8cm.

這里要說(shuō)的是，若答題者的解題經(jīng)驗(yàn)不夠豐富，或洞察能力不夠敏銳，因未發(fā)現(xiàn)MP=AM+CP而不能正確地添加相關(guān)的輔助線時(shí)，這個(gè)問(wèn)題還能求解嗎？

經(jīng)觀察，圖1中含有正方形，軸對(duì)稱圖形和相似三角形，具有很強(qiáng)的綜合性.而這些圖形所具有的性質(zhì)與所要解決的問(wèn)題之間的聯(lián)系應(yīng)該是解題的落腳點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn).因此，筆者嘗試從不同的角度進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)本題還有另外兩種解題思路，現(xiàn)簡(jiǎn)述如下.

2.相似法

由折疊性質(zhì)可知BE=EM，∠EBC=∠EMP=90°，易證△AEM∽△DMP.

解：設(shè)AM=a，AE=b，則MD=4-a，EB=EM=4-b.

又由勾股定理得（4-b）2=a2+b2，即a2=16-8b，所以l△MDP=8cm.

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)圖中存在著相似的直角三角形，因此不難聯(lián)想到相似三角形的性質(zhì)（相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比）及等比性質(zhì)進(jìn)行解法探究.反思上述求解，思路清晰，過(guò)程簡(jiǎn)單，運(yùn)算量小，能有效地克服文［1］中所提到的定勢(shì)思維對(duì)解題的束縛，利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng).

3.解析法

解：建立如圖4所示的平面坐標(biāo)系，連接BM，CN，BM交EF于Q點(diǎn).

圖4

因點(diǎn)M不與點(diǎn)D重合，故m1=4舍去，

點(diǎn)評(píng)：連接BM、CN，由軸對(duì)稱可知OM∥CN，那么它們的斜率相等.如果能建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用方程表示出直線BM、CN，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，是否會(huì)有奇跡出現(xiàn)？于是產(chǎn)生了運(yùn)用解析法求解的念想.不可否認(rèn)，解析法在本題的解答中，運(yùn)算量大，過(guò)程最復(fù)雜，可以說(shuō)不是首選，而是沒(méi)有法子的法子（其實(shí)解析法在解決函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)揮著積極的作用）.但筆者認(rèn)為，該方法的選用對(duì)鍛煉學(xué)生的意志，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力、良好的解題習(xí)慣等所起的作用不可低估.

1.沈志勇.傾聽(tīng)中教精彩，感悟中學(xué)扎實(shí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下半月），2013（3）.