基于數(shù)學(xué)建模思想的中考題解題策略研究

☉江蘇省如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 茅玲玲

應(yīng)用題歷來是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組成部分，而很多應(yīng)用題已經(jīng)突破了簡單應(yīng)用題的限制，把數(shù)學(xué)建模的思想應(yīng)用到其中，比如在設(shè)置特定的條件下建立函數(shù)不等式，運(yùn)用函數(shù)圖像建立解決問題的數(shù)學(xué)模型.在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的過程中，學(xué)生既復(fù)習(xí)了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，練習(xí)了基本數(shù)學(xué)方法，同時受到基本數(shù)學(xué)思想重要性的直觀感受和熏陶；更為重要的是數(shù)學(xué)應(yīng)用題背景豐富，緊扣生活，條件呈現(xiàn)方式多樣，文字、圖形、圖表、圖像及照片都是可能的方式，問題呈現(xiàn)多樣化.因此，數(shù)學(xué)應(yīng)用題在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中成為極其重要的一類教學(xué)素材.如何最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)教育價值？頗值得深思.就其中兩類數(shù)學(xué)建模題，筆者做以下的解題策略歸納與分析：

一、對在限制條件下一元一次函數(shù)模型構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生掌握簡單一元一次函數(shù)的條件設(shè)置，即“函數(shù)不等式的數(shù)學(xué)思想”

縱觀近年來全國各地的中考數(shù)學(xué)試題我們不難發(fā)現(xiàn)一類“決策型”應(yīng)用題出現(xiàn)的頻率有所上升，決策型應(yīng)用題和傳統(tǒng)的“行程問題”、“工程問題”有著較大的區(qū)別，在實(shí)際問題的背景上，由原來局限于確定的數(shù)值之間的關(guān)系變?yōu)楦嗟厣婕白兞恐g的函數(shù)關(guān)系，涉及的函數(shù)多為一次函數(shù)，而函數(shù)參與的數(shù)量關(guān)系不再局限于等量關(guān)系，更多地涉及不等關(guān)系.因此，針對在特定限制條件下如何進(jìn)行一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建問題，教師在課堂教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生掌握涉及一次函數(shù)的不等關(guān)系中條件設(shè)置的技巧，領(lǐng)悟函數(shù)不等式的數(shù)學(xué)思想.在綜合運(yùn)用不等式和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行合理推理的基礎(chǔ)上，緊密結(jié)合題目的現(xiàn)實(shí)條件和問題背景，進(jìn)行“決策分析”，給出問題需要的求解結(jié)果.

例1 為了迎接濕地生態(tài)旅游節(jié)，某市需要對景區(qū)附近環(huán)境進(jìn)行布置，市綠化部門研究用培育的3490盆十字花科開紅花的植物和2950盆開藍(lán)綠色花的植物配起來組成M型和W型兩種花卉造型，總共需要50套.已知構(gòu)成一個M型需要開紅花的植物80盆，開藍(lán)綠色花的植物40盆；構(gòu)成一個W型需要開紅花的植物50盆，開藍(lán)綠色花的植物90盆.

（1）某大學(xué)生園藝實(shí)習(xí)小組承擔(dān)了這項(xiàng)花卉造型設(shè)計(jì)與搭配方案的研究任務(wù).那么，你能幫助他們計(jì)算一下，符合要求的搭配方案有多少種？將這些方案一一列舉出來.

（2）如果組成M型花卉造型，耗費(fèi)資金是800元，搭配一個W型花卉造型，耗費(fèi)資金是960元.那么，在問題（1）中哪種設(shè)計(jì)方案所耗費(fèi)的資金最少？

解析：（1）假設(shè)組成M型花卉造型x個，組成W型花卉造型（50-x）個，根據(jù)題意可以得到：80x+50（50-x）≤3490和40x+90（50-x）≤2950，解之得31≤x≤33，則x可取31、32、33.故可以搭配三種方案：①M(fèi)型花卉造型31盆，W型花卉造型19盆；②M型花卉造型32盆，W型花卉造型18盆；③M型花卉造型33盆，W型花卉造型17盆.

（2）根據(jù)題中決策的限制條件，在已知的可供選擇的方案中，選出最佳方案.本題可以從兩個不同途徑思考：①運(yùn)用列舉法篩選決策，分別計(jì)算三種方案耗費(fèi)資金量，第一種31×800+19×960=43040元；第二種32×800+18×960=42880元；第三種33×800+17×960=42720元；則第三種方案耗費(fèi)的資金最少.②運(yùn)用推理進(jìn)行決策，比較不同方案，發(fā)現(xiàn)W型花卉造型耗費(fèi)的資金比M型花卉造型耗費(fèi)的資金多，則W型花卉造型越少，總的耗費(fèi)的資金就越少，故第三種方案所需的資金最少.

點(diǎn)評：本題是一道典型的通過構(gòu)建一次函數(shù)模型進(jìn)行解決決策型問題，大部分學(xué)生都仍習(xí)慣于列方程組解決問題，而此題中提供的開紅花和開藍(lán)綠色花的植物數(shù)量并非恰好構(gòu)成50套花卉造型，而是確?！澳軌颉?，因此花卉植物的盆數(shù)可能有余，所以應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生理清本題中出現(xiàn)的一次函數(shù)，而涉及一次函數(shù)的的數(shù)量關(guān)系不是等量關(guān)系，而是不等關(guān)系，應(yīng)該從經(jīng)典的列方程組方法轉(zhuǎn)為運(yùn)用函數(shù)不等式表達(dá)已知條件.

二、函數(shù)圖像型模型構(gòu)建問題，引導(dǎo)學(xué)生從注重“數(shù)量關(guān)系”的代數(shù)化向圖形化進(jìn)行轉(zhuǎn)變，并能讀懂函數(shù)圖像的內(nèi)涵，即函數(shù)中點(diǎn)、線、面積的含義

圖像型應(yīng)用題在近年來的中考數(shù)學(xué)試題中也是屢見不鮮，這類試題一改以往以語言及數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式交代已知條件、所求問題的命題風(fēng)格，而是通過圖像呈現(xiàn)問題涉及的條件，要求學(xué)生在研讀、判斷圖像的基礎(chǔ)上展開思路.教師要引導(dǎo)學(xué)生將思路從注重純粹“數(shù)量關(guān)系”轉(zhuǎn)移到“數(shù)圖結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生良好的讀圖習(xí)慣，注意到題目所給的平面直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)軸的實(shí)際意義，觀察圖像的變化趨勢，如圖像的拐點(diǎn)、交點(diǎn)等特征，尤其要挖掘圖像與x、y軸交點(diǎn)的意義.除此之外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生要緊密結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和鄰近學(xué)科知識，如物理定律等，不能從純粹數(shù)學(xué)函數(shù)圖像的視角看待問題中呈現(xiàn)的圖像.

例2 某旅游景區(qū)由于此前一段時間天氣干旱，景區(qū)中的A湖泊因臨時清淤以及向周圍的幾個社區(qū)供水，導(dǎo)致其蓄水量每天以相同速度持續(xù)減少，管理部門決定從B湖泊以管道向A湖泊輸送水，圖1為兩座湖泊的蓄水量與時間之間的函數(shù)關(guān)系圖像.假設(shè)相同時間內(nèi)B湖泊的輸出水量與A湖泊的輸入水量相等，此外假設(shè)在輸運(yùn)過程中由于采用管道輸送，水的損耗量很小可以忽略不計(jì).試求：

（1）B湖泊每天的放水量是多少萬立方米？

（2）在第幾天時，B湖泊管道輸出的水開始進(jìn)入A湖泊？此時A湖泊的蓄水量為多少萬立方米？

（3）求圖像中直線QS的函數(shù)表達(dá)式.

解析：（1）由圖1可知：t=0～5這5天中，B湖泊每天輸出水量是（3000-1000）÷5=400萬立方米.

圖1

（2）t=0～10這10天中，A湖泊的水量一直在減少，但從t=10天開始A湖泊的蓄水量與實(shí)際函數(shù)關(guān)系圖像縱坐標(biāo)開始增加，說明A湖泊在第十天蓄水量才開始增加，此時也是B湖泊的水開始輸入A湖泊中；令直線PQ的一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，將P（0，800）、R（5，550）代入得到：b=800，k=-50，即y=-50x+800，將x=10代入可得到第10天來自B湖泊的水開始輸入A湖泊時A湖泊內(nèi)的蓄水量為y=300萬立方米.

（3）此問中相當(dāng)多的學(xué)生因?yàn)镾點(diǎn)的坐標(biāo)求不出來而放棄求解，這里教師該引導(dǎo)學(xué)生注意到S點(diǎn)坐標(biāo)只有聯(lián)系問題的實(shí)際背景求解，抓住題中“假設(shè)相同時間內(nèi)B湖泊的輸出水量與A湖泊的輸入水量相等，此外假設(shè)在輸運(yùn)過程中由于采用管道輸送，水的損耗量很小可以忽略不計(jì)”，不難看出，A湖泊輸入的水量等于B湖泊輸出的水量，即2000萬立方米，A湖泊輸入水用的時間等于B湖泊輸出水的時間即5天，而15天后A湖泊的蓄水量為（3000-1000）+300-50×5=2050萬立方米.將S（15，2050），Q（10，300）代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=k1x+b1，可得k1=350，b1=-3200，則QS的函數(shù)表達(dá)式為y=350x-3200.

點(diǎn)評：相當(dāng)多的學(xué)生在解決圖像型問題時，要么拋開圖像，執(zhí)著于從題目的文字?jǐn)⑹雠c數(shù)字中尋求解答，要么離開題目的背景看待題中呈現(xiàn)的圖像.其實(shí)在這道典型的圖像題中，為了求出S的坐標(biāo)，就必須聯(lián)系題目中交代的“假設(shè)相同時間內(nèi)B湖泊的輸出水量與A湖泊的輸入水量相等，此外假設(shè)在輸運(yùn)過程中由于采用管道輸送，水的損耗量很小可以忽略不計(jì)”.這實(shí)際上隱含了“B湖泊的輸出的時長等于A湖泊的輸入時長”.在這道題中，還有相當(dāng)一部分學(xué)生誤求了S點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yS=（3000-1000）+300=2300，這是因?yàn)樗麄儧]有注意到在B湖泊向A湖泊輸入水時，A湖泊同時仍在向周圍幾個社區(qū)供水.

通過以上兩類數(shù)學(xué)建模問題可見，應(yīng)用題教學(xué)要指導(dǎo)學(xué)生擺脫過于依賴純粹數(shù)量關(guān)系解題的習(xí)慣，教師要從解題的思路與數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的介紹上著手，培養(yǎng)學(xué)生良好的聯(lián)系生活實(shí)際、聯(lián)系問題背景解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的習(xí)慣，才能真正落實(shí)新課標(biāo)高效率、高效益數(shù)學(xué)教學(xué)的理念.