歷練建模再探究，給思維“搭橋”——一個不等式基本模型的遷移及應用

☉江蘇省太倉市第一中學 朱建良

數(shù)學建模與應用是初中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，近幾年中考數(shù)學命題對學生建立模型，探究解決問題的考查力度越來越大，此類問題一般通過建立模型，抓住問題實質(zhì)，遷移知識背景，在新的問題情境中進行數(shù)學再思考、再探究，要求學生會從不同角度尋求解決問題的方法，通過研究此類問題，引導學生在數(shù)學思維的“再創(chuàng)新”過程中，拓展學生的數(shù)學視野，幫助學生積累解決問題的經(jīng)驗和策略．為了更好地理解和處理這類問題，下面筆者嘗試分析一道試題，挖掘蘊藏在這類問題背后的數(shù)學思想及方法，供大家參考．

一、母題再現(xiàn)

1.母問題

圖1

（3）在（2）的條件下，若點C為雙曲線上任意一點，作CD∥y軸交直線l1于點D，試求當線段CD最短時，點A、B、C、D圍成的四邊形面積.

（2）因為A（-2，0），B（2，m），所以直線l2的解析式為y=-x-2.

過點B作BE∥y軸交AD于點E，則B（2，-4），E（2，2），BE=6.

所以S四邊形ABCD=S△ABE+S四邊形BEDC=23.

2.母題剖析

二、基本模型的延伸及運用

例1（2012年江蘇省鹽城市中考數(shù)學第27題）

實際應用：已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用，共360元；二是燃油費，每千米為1.6元；三是折舊費，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001.設該汽車一次運輸?shù)穆烦虨閤千米，當x為多少時，該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？

例2（2012年四川省達州市中考數(shù)學第21題）

提出新問題：若矩形的面積為1，則該矩形的周長有無最大值或最小值？若有，最大（?。┲凳嵌嗌?？

x…1 1 1 4 3 2 1 2 3 4 …y

解：（1）填表如下：

x… 1 2 1 2 3 4 …y…81 1 1 4 3 2 62 3 5 4 5 62 3 81 2 …

圖1

三、思考感悟

1.反思建模，解有所獲

系列探究問題（例1）的設置是一種數(shù)學思維引導，是在學生經(jīng)歷了思維過程，建立模型，在一定體會和感悟的基礎上進行數(shù)學“再創(chuàng)造”，既有章可循，又有部分學生有感覺但又說不出數(shù)學思想方法和解決問題的策略.處于“學源于思，思源于疑”的境界，例2中問題（3）面積最值問題轉(zhuǎn)化為線段最值問題的求法探究，幫助學生對數(shù)學最值問題本質(zhì)的理解，深化了數(shù)學對幾何圖形的轉(zhuǎn)化及最值問題化歸為一個不等式基本模型的認識，通過有效設問，應用圖像法或配方法另辟蹊徑，指引問題解決，給學生思考的方向，解決周長為1的矩形面積最大值問題，在一般的解題思路的探索中凝成多種方法.建模的意義在于幫助學生明確了思考問題的基本方向、基本程序和基本方法，合理引導幫助學生克服了認知操作任務執(zhí)行中的困難，對比兩個試題，我們發(fā)現(xiàn)通過遷移知識背景系列設問，體現(xiàn)數(shù)學知識形成過程和思維發(fā)展高價值的數(shù)學活動，探究了數(shù)學本質(zhì)，激活了學生思維.

2.類比遷移，解有所值

例1類比母題建模探究，例2是母題的“關聯(lián)性開發(fā)”，增強學生思維的“造血功能”，縱觀三個數(shù)學問題由直接應用到變形應用、實際運用，問題設置環(huán)環(huán)緊扣、層層推進，能夠使學生的數(shù)學思維發(fā)展得淋漓盡致.在問題的縱向拓展延伸和橫向遷移組合過程中有效滲透了數(shù)學建模、數(shù)形結(jié)合、化歸等思想，強化了遷移應用意識，在兩個問題建模、類比中，引導學生體驗建模、整合、創(chuàng)新、變式、尋找規(guī)律的過程中，讓學生感悟到一個基本不等式“舊貌變新顏”.例1與例2的兩個問題類比，打通數(shù)學知識間的聯(lián)系，有效訓練了學生的類比推理能力，明確了解決問題的辦法，可從模型的角度獲取方法，也可數(shù)形結(jié)合畫出圖像感性認識，再從理性思考配方求解，拓寬學生視野，豐富了學生解題經(jīng)驗，為指導學生以后自行探究解題方法有極其重要的意義.

3.殊途同歸，解有所悟

看似相同的問題試題加以類比，找到它們的實質(zhì)區(qū)別，從基本問題中抽象出基本不等式模型解決較為復雜的問題，綜觀三個問題，反思解題經(jīng)驗與策略，我們發(fā)現(xiàn)從平面直角坐標系的四邊形面積分割求最小值，到應用問題列出方程求解運輸成本最低問題，換角度審視矩形最大值問題，不僅培養(yǎng)了學生思維的敏捷性，避免形成思維定勢，例2較好地訓練學生的想象力和數(shù)學思維的發(fā)散性，強化了數(shù)形結(jié)合思想，而且能幫助學生樂于梳理，理清思路，學會歸納，加深對數(shù)學建模及圖像法、配方法的深刻理解，三個問題的系列拓展變化，觸類旁通，在解題方法共享中優(yōu)化了學生的數(shù)學思維，使學生的思考更有效，更縝密，較好地訓練了靈活應用數(shù)學思想方法的能力，充分發(fā)揮了中考試題的教學效能.