“數(shù)學實驗”離本趨末現(xiàn)象的反思與啟發(fā)

☉江蘇省連云港市海州實驗中學 王 磊

一、離本趨末現(xiàn)象的反思

1.忽視對實驗素材的邏輯認識

案例1 為了探究“漢羅塔的秘密”，教師給學生們準備了一個實驗工具—漢羅塔（如圖1），另外老師還給學生準備了《實驗操作手冊》，實驗分四步：

步驟一：左邊柱子A上有一個圓環(huán)，你能按照規(guī)則用最少的步驟將它移動到右邊的柱子C上嗎？

圖1

步驟二：左邊柱子A上有兩個圓環(huán)，你能按照規(guī)則用最少的步驟將它們?nèi)恳苿拥接疫叺闹覥上嗎？

步驟三：若左邊柱子A上有三個圓環(huán)呢？若左邊柱子A上有四個圓環(huán)呢？

步驟四：若左邊柱子A上有n個圓環(huán)呢？

最后，師生通過整理和歸納，發(fā)現(xiàn)：“n個圓環(huán)時，完成操作最少需移動（2n-1）步”.

分析：教師設(shè)計的這四個步驟似乎循序漸進，并無異議，但仔細想想?yún)s違背了邏輯規(guī)律.眾所周知，數(shù)學實驗的過程應該是開放的，顯然，在上述實驗過程中，教師人為地規(guī)定了實驗步驟，規(guī)定了思考方向，學生的實驗過程完全是機械式的，根本沒有創(chuàng)新的空間.相反，如果能讓在學生進行完實驗假設(shè)后，充分提供實驗材料，放手讓學生去進行實驗探究，學生完全可以利用轉(zhuǎn)化的思想，尋找推導方法（聽課時，發(fā)現(xiàn)有學生用符號x1，y1，z1幫助分析）.這樣富有挑戰(zhàn)性的數(shù)學實驗，是充滿趣味的，這對于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力大有好處.

2.忽視數(shù)學實驗的主題設(shè)計

案例2 在探究“棋盤上馬的行蹤”這個數(shù)學實驗時，如圖2，教師設(shè)計了如下幾個實驗步驟：

步驟一：學會馬的走法.（2分鐘）

步驟二：認識中國象棋.（5分鐘）

步驟三：尋找棋盤上的密碼.（5分鐘）

步驟四：馬回原位需要幾步？（8分鐘）

步驟五：尋找規(guī)律.（15分鐘）

步驟六：馬踏棋盤.（5分鐘）

最后教師提問：“本節(jié)課，我們學到了什么？”

生A：馬走日.

生B：中國棋盤是9×10的網(wǎng)格.

生C：學會了如何設(shè)置密碼.

生D：學會了用兩種顏色的棋子代替馬的行走路線.

圖2

分析：本節(jié)課的實驗目標應該是學會用數(shù)學方法研究實際問題，教師卻在馬的行走方法和路線上大作研究.一節(jié)課40分鐘，前20分鐘，師生普及象棋知識，最后對馬踏棋盤的研究草草收場，整節(jié)課，很多學生只是學會了如何走棋盤上的馬，但對馬在棋盤上的行走規(guī)律沒有突破，整節(jié)課的實驗目的不明顯，這節(jié)課究竟要研究什么？學生很迷茫，聽課教師也很迷茫.很顯然，教師忽視了本節(jié)課的實驗目標，重點不夠突出，如果能把“步驟一”到“步驟四”放到課前去，而課堂上直接進入主題，在數(shù)學工具的幫助下研究馬踏棋盤的規(guī)律，效果肯定會很好，不至于像本節(jié)課這樣沖淡主題，喧賓奪主.

3.忽視對實驗課堂的調(diào)控

案例3 探究“正方體的側(cè)面展開圖”時，如圖3，教師做了如下安排：

步驟一：請小組內(nèi)部展示各自的作品.

步驟二：請每個小組派個代表把自己的一個作品粘貼到黑板上.

步驟三：你還有其他展開法嗎？請展示.

步驟四：總結(jié)規(guī)律，把展開圖進行分類.

教師最后和學生一起總結(jié)得到結(jié)論：正方體的展開圖一共有11種，可以分為四類.

圖3

分析：小組合作學習模式，是數(shù)學實驗課常見的教學模式之一.人民教育出版社初中數(shù)學研究室章建躍教授說過：“數(shù)學教育要為學生謀取長期利益”.這種模式的好處就是可以方便溝通，但一次只展示一個作品，這顯然限制了小組合作的正能量，扼殺了小組合作的優(yōu)勢.若把實驗過程改為：步驟一，請小組內(nèi)部展示各自的作品；步驟二，請一個小組上臺展示你們的研究成果；步驟三，你還有要補充的嗎？這樣是不是更好呢？數(shù)學實驗不僅要幫助學生認識數(shù)學規(guī)律，還要啟發(fā)學生學會利用集體的力量，學會團結(jié)協(xié)作，培養(yǎng)合作意識.

4.忽視學生的動手能力

探究《切開涂色正方體之間面的數(shù)量關(guān)系》時，教師做了如下安排：

步驟一：給棱長為4cm的泡沫正方體涂色，把這個正方體的棱二等分，然后沿等分線把正方體切開，并在下面的表格中記錄你的實驗數(shù)據(jù)．

步驟二：給棱長為6cm的泡沫正方體涂色，把這個正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開.并在下面的表格中記錄你的實驗數(shù)據(jù)．

步驟三：小組討論并猜想：如果給棱長為8cm的泡沫正方體涂色，把這個正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開.將你的猜想填在下面的表格中．

步驟四：給棱長為8cm的泡沫正方體涂色，把這個正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開.

教師在投影儀上提出問題：把一個涂色正方體的棱n等分，其中3面涂色的小正方體有______個，兩面涂色的小正方體有______個，只有一面涂色的小正方體有______個，各面都沒有涂色的小正方體有______個.

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但課堂沒有按照教學計劃進行，成了另外一番摸樣：一部分學生忙著研究如何切得整齊，一部分學生玩弄著切好的小方塊，一部分學生忙著清洗弄在各處的涂料，還有一部分……教師忙著指導學生如何切割、提醒別弄臟衣服、協(xié)調(diào)小組成員關(guān)系，最后關(guān)于n的規(guī)律還沒有總結(jié)，急切的下課鈴就響了.

分析：《新課標》指出：通過數(shù)學實驗培養(yǎng)學生的動手能力.學生積累活動經(jīng)驗需要一個過程，不能拔苗助長，應該逐步提高，另外，師生要提前做好準備，才能達到實驗目的.上述實驗對學生的動手能力要求很高，一是要切得整齊，二是要會分類擺放切好的正方體，三是要學會和其他人合作，合理分工.課堂上之所以顯得混亂，與教師忽視了初中生的實踐能力有關(guān)，預估不足.如果教師能在課前做好充分準備，讓學生提前做好涂上色的正方體，準備好分格盒（如圖4所示），分類存放切好的小正方體，便于統(tǒng)計，效果是不是會更好呢？

圖4

二、啟示

數(shù)學實驗課程的進行，將造福子孫后代.但如果對課程內(nèi)容、實驗工具和授課對象的判斷有誤，就會使數(shù)學實驗教學的意義大打折扣.對于數(shù)學實驗，我們應從以下兩方面給予重視.

1.重視三個科學

（1）科學地看待實驗過程與結(jié)果.

學生的每次數(shù)學實驗都能得到想要的結(jié)果，固然是好事，但也有諸多因素會導致實驗失敗，這就要求師生科學地看待實驗過程與結(jié)果的關(guān)系.《新課標》指出“不同的人在數(shù)學上有不同的發(fā)展”，重要的是學生是否認真地參與了.例如：探究《漢羅塔的秘密》，教師為了追求這節(jié)課的實驗結(jié)果，人為地把實驗過程分成了幾個步驟，這是不是把學生的思維束縛了？偉大的科學家愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師”.那么好玩的《漢羅塔》展現(xiàn)在學生面前，它本身就已經(jīng)能夠引起學生極大的好奇心，教師只需給出本節(jié)課的實驗目標，即可放手讓學生探究，相信他們一定能找到好的解決辦法，這樣開放的實驗必能激發(fā)學生強烈的求知欲.“聞道有先后，術(shù)業(yè)有專攻”，部分學生可能會實驗失敗，但興趣會指引他們繼續(xù)研究，經(jīng)過學習和反思，他們定能戰(zhàn)勝困難.經(jīng)歷失敗后的成功，可以磨練人的意志，學生形成了戰(zhàn)勝挫折的經(jīng)驗，這對他們的一生來講都是彌足珍貴的，這也是數(shù)學實驗的魅力所在.

（2）科學地組織課堂教學.

數(shù)學實驗教學，不同于一般的常態(tài)課，它需要師生抓住靈機一現(xiàn)，要仔細認真才能得到預期效果，另外，它常常需要幾個人傾力合作，互啟互發(fā)、積極交流、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.因此，教師要科學地組織課堂教學，不能包辦實驗過程，更不能死板地要求學生坐在自己的位置上，要學會留給學生一定的空間和時間.上文提到的《探究正方體的側(cè)面展開圖》，在學生進行小組討論的過程中，學生們會通過比較每個人的作品，取其精華，最終達成科學共識.教師應放手讓學生去表述、展示和補充，學生完全可以利用分類討論的思想，找到其他的展開方法，體驗富有創(chuàng)造性的過程，這樣的實驗是充滿趣味、富有挑戰(zhàn)性的，這對于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和數(shù)學意識大有益處.因此，科學地組織課堂教學非常值得教師們關(guān)注.

（3）科學地選擇實驗素材.

主觀因素和客觀條件是教師科學選擇實驗素材的基礎(chǔ).對于初中的學生，要選擇趣味性強，過程和結(jié)果相對比較直觀的數(shù)學實驗.而那些過程煩瑣的實驗，就不適合中學生做，畢竟這個年齡段的學生，手腦并用的能力有限，另一方面，若實驗素材單一、過于淺顯，學生靠想象就能感覺到實驗的目的和結(jié)果，那這樣的數(shù)學實驗就流于形式，學生的思維被死死地束縛于無趣的框架內(nèi)，實驗空間較為狹小，形如雞肋.可見，科學地選擇實驗素材是非常重要的.上文的《探究切開涂色正方體之間面的數(shù)量關(guān)系》這個實驗，如果能把極易產(chǎn)生飛沫的泡沫正方體，換成定型力強的大蘿卜，學生操作起來是否更輕松點呢？實驗效果必能改善.

2.預防三個過度

（1）過度追求實驗的形式.

數(shù)學實驗作為學生發(fā)現(xiàn)問題、提出假設(shè)、驗證猜想的有效手段，越來越多地出現(xiàn)在數(shù)學課堂上，但與此同時，有些教師觀念沒有轉(zhuǎn)變，害怕學生做的不到位，進而代替學生進行實驗，或用多媒體演示，或口頭傳授，或者為了實驗而實驗，使數(shù)學實驗流于形式，成為一種可有可無的擺設(shè)，這種理解上的片面化、操作上的簡單化，使數(shù)學實驗走入了形式化誤區(qū).例如：在進行《漢羅塔的秘密》教學時，若教師放開自己的“奶媽思想”，讓學生經(jīng)歷猜想、操作、記錄、對比、驗證的過程，效果一定比原來的好很多.

（2）過度追求實驗內(nèi)容的深度.

圖5

世界上存在很多數(shù)學難題，有些問題經(jīng)過數(shù)學家?guī)装倌甑膫鞒校K于得以解決，比如：費馬大定理，四色問題等.而有些問題到現(xiàn)在一直都沒能解決，例如：哥德巴赫猜想，圖的同構(gòu)問題等.數(shù)學實驗的設(shè)計初衷，是期望學生能通過一些實驗操作，獲得活動經(jīng)驗，學會解決問題的方法，培養(yǎng)數(shù)學意識.過難過深的問題，一節(jié)課的時間是不夠的.上文所提的《棋盤上馬的行蹤》，如果真的走完需要如圖5所示的步驟，這確實過難了，萬一學生通過這個實驗不僅沒有提起對數(shù)學的興趣，反而增加了對數(shù)學的厭惡，這豈不是得不償失了？

（3）過度追求實驗成果的應用.

數(shù)學實驗重結(jié)果，也要重過程.很多教師在實驗教學中存在一個問題：通過探索得到實驗結(jié)果后，馬上就會用實驗的成果解決數(shù)學問題，而忽視對實驗過程的反思，事實上，學生在實驗過程中，會產(chǎn)生很多感性的認識，甚至有失敗的經(jīng)驗，這種感受是低層次的，只有通過反思，才能使感性認識上升為理性認識，這也是思維螺旋發(fā)展的科學方式.例如：《正方體的側(cè)面展開圖》得到11個展開圖時，教師應該帶領(lǐng)學生總結(jié)實驗過程中的失敗經(jīng)驗和成功經(jīng)驗，有時候失敗的經(jīng)驗比成功的經(jīng)驗更加寶貴，不是嗎？反思可以教會學生見賢思齊，馬克·瓦恩曾說過：“一個人之所以能夠不斷地進步，在于他能夠不斷地自我反省.”實驗成功的時候停下腳步看看，可以讓自己收獲更多；實驗失敗的時候停下腳步看看，可以為下次的成功打下基礎(chǔ).

總之，對于數(shù)學實驗，我們沒必要把它看得太神秘而不敢涉足，也不能囿于煩瑣的實驗環(huán)節(jié)和操作程序，相反，我們應該真正關(guān)注數(shù)學實驗的過程價值，關(guān)注數(shù)學實驗對學生發(fā)展的促進作用，謀求最大限度地發(fā)揮數(shù)學實驗在教學中的實踐作用.偉大的數(shù)學家畢達哥拉斯曾經(jīng)說過：“在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么.”這不就是對數(shù)學實驗教學最好的詮釋嗎？

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3.江宋標，李東.“一題多解”教學走偏的分析與啟示［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2013（3）.

4.張景中.好玩的數(shù)學［M］.北京：科學出版社，2007.

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