例談微分方程在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

辛春元

（遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院，遼寧大連116052）

例談微分方程在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

辛春元

（遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院，遼寧大連116052）

微分方程在物理學(xué)、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，本文主要例談微分方程在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

微分方程；實(shí)際問(wèn)題；應(yīng)用

微積分研究的對(duì)象是函數(shù)關(guān)系，但在實(shí)際問(wèn)題中，往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系，卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的聯(lián)系，從而得到一個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，即微分方程.通過(guò)求解這種方程，同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.因此，微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際，并應(yīng)用于實(shí)際的重要途徑和橋梁，是各個(gè)學(xué)科進(jìn)行科學(xué)研究的強(qiáng)有力的.下面舉幾個(gè)實(shí)際例子.

1 追跡問(wèn)題

例1設(shè)開(kāi)始時(shí)甲、乙水平距離為1單位,從A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速v0向正北行走;甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā),始終對(duì)準(zhǔn)乙以mv0(n>1)的速度追趕.求追跡曲線方程,并問(wèn)乙行多遠(yuǎn)時(shí),被甲追到.

解設(shè)所求追跡曲線方程為y=y(x)經(jīng)過(guò)時(shí)刻t,甲在追跡曲線上的點(diǎn)為P(x,y)乙在點(diǎn)B(1,v0t).于是有

由題設(shè),曲線的弧長(zhǎng)OP為

解出v0t代入(1),得

兩邊對(duì)x求導(dǎo),整理得

這就是追跡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型.

這是一個(gè)不顯含y的可降階的方程,設(shè)y'=p(x),y"=p",代入方程得

兩邊積分,得

(2)與(3)式相加,得

兩邊積分,得

2 新產(chǎn)品推廣模型

例2設(shè)有某種新產(chǎn)品要推向市場(chǎng),t時(shí)刻的銷量為x(t),由于產(chǎn)品性能良好,每個(gè)產(chǎn)品都是一個(gè)宣傳品,因此,t時(shí)刻產(chǎn)品銷售的增長(zhǎng)率與x(t)成正比,同時(shí),考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場(chǎng)容量N,統(tǒng)計(jì)表明與尚未購(gòu)買該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)量N-x(t)也成正比,于是有

其中k為比例系數(shù).分離變量積分,可以解得

當(dāng)x(t*)

國(guó)內(nèi)外許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家調(diào)查表明，許多產(chǎn)品的銷售曲線與公式(5)的曲線(邏輯斯諦曲線)十分接近.根據(jù)對(duì)曲線性狀的分析,許多分析家認(rèn)為,在新產(chǎn)品推出的初期,應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加強(qiáng)廣告宣傳,而在產(chǎn)品用戶達(dá)到20%到80%期間,產(chǎn)品應(yīng)大批量生產(chǎn);在產(chǎn)品用戶超過(guò)80%時(shí),應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn),可以達(dá)到最大的經(jīng)濟(jì)效益.

3 價(jià)格調(diào)整模型

例3某種商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng)供求關(guān)系.一般情況下,商品供給量S是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù),商品需求量Q是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù),為簡(jiǎn)單起見(jiàn),分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為

其中a,b,α,β均為常數(shù),且b>0,β>0.

當(dāng)供給量與需求量相等時(shí),由(7)可得供求平衡時(shí)的價(jià)格

并稱Pe為均衡價(jià)格.

一般地說(shuō),當(dāng)某種商品供不應(yīng)求,即SQ時(shí),該商品價(jià)格要落.因此,假設(shè)t時(shí)刻的價(jià)格P(t)的變化率與超額需求量Q-S成正比,于是有方程

其中k>0,用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度.

將(6)代入方程,可得

其中常數(shù)λ=(b+β)k>0,方程(7)的通解為

假設(shè)初始價(jià)格P(0)=P0代入上式,得C=P0-Pe,于是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為

由于λ>0知,t→+∞時(shí),P(t)→Pe,說(shuō)明隨著時(shí)間不斷推延,實(shí)際價(jià)格P(t)將逐漸趨近均衡價(jià)格Pe.

4 人才分配模型

例4每年大學(xué)畢業(yè)生中都要有一定比例的人員留在學(xué)校充實(shí)教師隊(duì)伍,其余人員將分配到國(guó)民經(jīng)濟(jì)其他部門從事經(jīng)濟(jì)和管理工作.設(shè)t年教師人數(shù)為x1(t)科學(xué)技術(shù)和管理人員數(shù)目為x2(t),又設(shè)1外教員每年平均培養(yǎng)α個(gè)畢業(yè)生,每年人教育、科技和經(jīng)濟(jì)管理崗位退休、死亡或調(diào)出人員的比率為δ(0<δ<1),β表示每年大學(xué)生畢業(yè)生中從事教師職業(yè)所占比率(0<δ<1),于是有方程

方程(8)有通解

將(11)代入(9)方程變?yōu)?/p>

求解方程(12)得通解

(11)式和(14)式分別表示在初始人數(shù)分別為x1(0),x2(0)情況,對(duì)應(yīng)于β的取值,在t年教師隊(duì)伍的人數(shù)和科技經(jīng)濟(jì)管理人員人數(shù).從結(jié)果看出,如果取β=1,即畢業(yè)生全部留在教育界,則當(dāng)t→∞時(shí),由于α>δ必有x1(t)→+∞而x2(t)→0,說(shuō)明教師隊(duì)伍將迅速增加.而科技和經(jīng)濟(jì)管理隊(duì)伍不斷萎縮,勢(shì)必要影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展,反過(guò)來(lái)也會(huì)影響教育的發(fā)展.如果將β接近于零.則x1(t)→0,同時(shí)也導(dǎo)致x2(t)→0,說(shuō)明如果不保證適當(dāng)比例的畢業(yè)生充實(shí)教師選擇好比率β,將關(guān)系到兩支隊(duì)伍的建設(shè),以及整個(gè)國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)的大局.

5 幾何問(wèn)題模型

例5在上平面求一條上凹的曲線，其上任意一點(diǎn)p(x, y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q是法線與x軸的交點(diǎn)），且曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸平行.

解設(shè)所求曲線的方程為y=y(x)(y>0)，其在任意一點(diǎn)p (x,y)處的法線方程為，它與x軸的交點(diǎn)是Q (x+yy',0)，從而線段PQ長(zhǎng)度為

由于y">0，得方程yy"=1+y'2，且滿足初始條件：y(1)=1,y' (1)=0.這是不顯含x的可降階方程，令p=y',有y"，代入方程得,分離變量得,兩邊積分的,即,代入初始條件y(1)=1,y'(1)=0,得C1=1,因此有,即，兩邊積分得)=±x+C,代入y(1)=1得C=μ1，所求曲線方程為

總之，微分方程是與微積分一同發(fā)展起來(lái)的重要的數(shù)學(xué)分支，它為解決實(shí)際問(wèn)題提供了一種既實(shí)用又很重要的方法,同時(shí)推動(dòng)了其他學(xué)科的發(fā)展.

〔1〕吳贛昌.微積分[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社，2006.

〔2〕曹顯兵,劉喜波.高等數(shù)學(xué)（微積分）輔導(dǎo)講義[M].北京:海豚出版社，2012.

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1673-260X（2013）11-0001-02