巖石斷裂面上中心剖線的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析

潘學(xué)哉 ， 馮志剛 ， 代國(guó)興 ， 劉紅光

（1.江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）煤炭資源與安全開(kāi)采國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；3.南京師范大學(xué)泰州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)與應(yīng)用學(xué)院，江蘇 泰州 225300；4.江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）

0 引 言

在地殼運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如地震、山體滑坡、泥石流等均涉及到巖體的變形、斷裂等。另外，在巖土工程施工中也會(huì)涉及到巖石的斷裂問(wèn)題，如巖石的爆破、工程的打樁、隧道、開(kāi)礦工程等。進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，對(duì)巖石斷裂節(jié)理面的形貌學(xué)研究受到業(yè)內(nèi)人士的廣泛關(guān)注，因?yàn)閹r石斷裂曲面的形貌蘊(yùn)含著豐富的斷裂力學(xué)行為和力學(xué)機(jī)理[1-3]。

研究人員發(fā)現(xiàn)巖石斷裂曲面具有粗糙性、不規(guī)則性和復(fù)雜性等特征，專家們?cè)噲D用各種方法來(lái)刻畫(huà)這種復(fù)雜的形貌和量化不規(guī)則曲面的粗糙性。如使用了20世紀(jì)70年代才發(fā)展起來(lái)的分形幾何學(xué)、多重分形測(cè)度等，試圖從形貌學(xué)研究來(lái)尋求巖石斷裂的力學(xué)機(jī)理。

1 實(shí)驗(yàn)方法設(shè)計(jì)與分析

現(xiàn)從數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)角度對(duì)巖石斷裂曲面上的一條中心剖線進(jìn)行研究。

（1）實(shí)驗(yàn)程序如下：首先，取材質(zhì)相對(duì)均勻的花崗巖作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，使用巖石鉆孔機(jī)、切割機(jī)和打磨機(jī)，制成直徑為11.2 cm、厚度為2.8 cm的巴西圓盤(pán)試件。然后，用實(shí)驗(yàn)室中的伺服機(jī)對(duì)圓盤(pán)沿豎直方向進(jìn)行巴西劈裂實(shí)驗(yàn)，加載的速度是0.01mm/min，當(dāng)載荷達(dá)到50.3kN左右時(shí)，圓盤(pán)從中間沿豎直方向斷裂開(kāi)。從巖石力學(xué)角度講，該實(shí)驗(yàn)是測(cè)試巖石的抗拉強(qiáng)度。最后，根據(jù)巖石力學(xué)原理，巖石在以上受力過(guò)程中，內(nèi)層受力最均勻，因此要分別去掉矩形斷面的兩頭等距離的1.1cm，保留巖石矩形斷面的中心部分9cm長(zhǎng)，所得數(shù)據(jù)最具代表性，用高精度巖石激光掃描儀對(duì)巖石斷裂曲面進(jìn)行雙目掃描，以0.1 mm為間距，共掃描901組坐標(biāo)數(shù)據(jù)。在掃描前為了防止斷裂表面的某些點(diǎn)反光，可以使用反差顯像劑噴灑在斷裂表面上。

（2）對(duì)巖石斷面進(jìn)行分析。取矩形斷裂表面中沿加載方向的正中間一條剖線的二維坐標(biāo)，用線性插值法獲取這條剖線的近似二維曲線圖像[4]（如圖1），用直線段（以下簡(jiǎn)稱“步長(zhǎng)”）作為圓的半徑，以曲線的左端點(diǎn)為起始圓心在平面內(nèi)畫(huà)圓，來(lái)尋找下一個(gè)在圓內(nèi)右側(cè)的“峰頂”（最高點(diǎn)），然后搭連曲線輪廓相近的兩個(gè)“峰頂”，取垂直于這個(gè)步長(zhǎng)的法向量（如圖2），測(cè)定該法向量偏離豎直向上向量的角度[5]。依次類推，進(jìn)行同樣的操作步驟，直至與曲線右端點(diǎn)處最近的峰頂。這里約定豎直向上的向量度數(shù)為零度，向左偏離的向量角度為負(fù)值，向右偏離的向量角度為正值。步長(zhǎng)的選取≥掃描間隔（掃描間隔為0.1 mm），根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的精度要求，該實(shí)驗(yàn)的步長(zhǎng)又要≤0.3 mm，所以這里分別以0.3，0.2，0.1mm為步長(zhǎng)進(jìn)行如上的測(cè)定，獲得這些以角度為樣本的數(shù)據(jù)。如果圓內(nèi)右側(cè)無(wú)“峰頂”，則繼續(xù)以前一個(gè)圓與曲線的交點(diǎn)為圓心，步長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，直到找到下一個(gè)右側(cè)的“峰頂”。

（3）用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算在同一尺度下的度數(shù)的樣本均值、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度系數(shù)、峰度，畫(huà)出頻率直方圖和分布函數(shù)，并刻畫(huà)由中心剖線上得到的法向量的方向分布，比較不同尺度下法向量方向分布的差別[6-7]?，F(xiàn)取一塊巴西圓盤(pán)壓斷后的兩個(gè)斷裂面為例，分別設(shè)為A、B面。

圖1 中心剖線的二維曲線圖

圖2 一條剖線的方向度量示意圖

1）A面的結(jié)果

①步長(zhǎng)為0.3 mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

樣本均值 中位數(shù) 極差 方差 標(biāo)準(zhǔn)差 偏度系數(shù) 峰度-0.2117-0.8593 149.5869 990.3574 31.4699 0.0488 2.8296

A.一組樣本數(shù)據(jù)的均值和中位數(shù)反映樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。樣本均值的計(jì)算公式為

其中，X1，X2，…，Xn為樣本。

B.極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為描述樣本數(shù)據(jù)離中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，其計(jì)算公式分別為

C.偏度與峰度為描述樣本數(shù)據(jù)形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量。偏度反映的樣本數(shù)據(jù)分布的對(duì)稱性，偏度的計(jì)算公式為

當(dāng)g1＞0時(shí)，稱為右偏，說(shuō)明均值右邊的數(shù)據(jù)比均值左邊的數(shù)據(jù)更散；當(dāng)g1＜0，稱為左偏，說(shuō)明均值左邊的數(shù)據(jù)比均值右邊的數(shù)據(jù)更散；當(dāng)g1接近于零時(shí)，稱為無(wú)偏倚，可以認(rèn)為分布是對(duì)稱的。

峰度反映樣本正態(tài)分布的情況，其計(jì)算公式為

正態(tài)分布的峰度為3，當(dāng)g2＞3，表示樣本數(shù)據(jù)中有較多遠(yuǎn)離均值的數(shù)據(jù)，分布曲線比正態(tài)分布形狀更平坦；反之，當(dāng)g2＜3時(shí)，樣本數(shù)據(jù)的分布曲線比正態(tài)分布的陡峭[8-9]。

另外，在分布函數(shù)圖中，當(dāng)分布函數(shù)曲線與圖中的“虛直線”接近得越好，說(shuō)明該數(shù)據(jù)分布越接近于正態(tài)分布。反之，若分布函數(shù)圖越偏離“虛直線”，說(shuō)明該數(shù)據(jù)分布越偏離正態(tài)分布。由頻率直方圖和分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖3、圖4）可以判斷度數(shù)數(shù)據(jù)近似服從正態(tài)分布，由偏度系數(shù)得出均值兩邊數(shù)據(jù)的離散程度相當(dāng)，基本上屬于無(wú)偏倚。

圖3 步長(zhǎng)為0.3mm時(shí)的頻率直方圖

圖4 步長(zhǎng)為0.3mm時(shí)的分布函數(shù)圖

②步長(zhǎng)為0.2 mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為表2。

表2 步長(zhǎng)為0.2mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果單位：（°）

與步長(zhǎng)為0.3 mm相比，度數(shù)數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差都升高了，但變化不大；方差和標(biāo)準(zhǔn)差增大，說(shuō)明偏離均值的程度有稍許的增加；偏度等于零說(shuō)明均值左、右兩邊的數(shù)據(jù)分散程度相當(dāng)，屬于無(wú)偏倚狀況；峰度減小比較大，說(shuō)明進(jìn)一步偏離正態(tài)分布，分布曲線形狀比正態(tài)分布曲線形狀更陡峭。由頻率直方圖和分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖5、圖6）可以看出度數(shù)的分布更偏離正態(tài)分布。

圖5 步長(zhǎng)為0.2mm時(shí)的頻率直方圖

圖6 步長(zhǎng)為0.2mm時(shí)的分布函數(shù)圖

③步長(zhǎng)為0.1 mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為表3。

表3 步長(zhǎng)為0.1mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果單位：（°）

與步長(zhǎng)為0.2mm相比，各個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值變化不是很大，樣本均值有微小的減??；中位數(shù)有微小的增加；極差未變，說(shuō)明度數(shù)的變化范圍未發(fā)生改變；偏度系數(shù)仍為0，說(shuō)明均值左右兩邊數(shù)據(jù)分布是對(duì)稱的；峰度進(jìn)一步減小，說(shuō)明數(shù)據(jù)分布進(jìn)一步偏離正態(tài)分布。從頻率直方圖和分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖7、圖8）可以看出頻率直方圖出現(xiàn)了兩個(gè)“峰頂”，而分布函數(shù)曲線進(jìn)一步偏離圖中的“虛直線”。如果與步長(zhǎng)為0.3 mm相比，樣本均值、中位數(shù)、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都增加了，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)離開(kāi)均值的程度增加了；而偏度系數(shù)減小至0，說(shuō)明均值左右兩邊數(shù)據(jù)分布較對(duì)稱，屬于無(wú)偏倚；峰度減小且＜3，則說(shuō)明度數(shù)數(shù)據(jù)分布進(jìn)一步偏離正態(tài)分布。

圖7 步長(zhǎng)為0.1mm的頻率直方圖

圖9 步長(zhǎng)為0.3mm的頻率直方圖

圖8 步長(zhǎng)為0.1mm的分布函數(shù)圖

圖10 步長(zhǎng)為0.3mm的分布函數(shù)圖

2）B 面的結(jié)果

①步長(zhǎng)為0.3 mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為表4。

表4 步長(zhǎng)為0.3mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果單位：（°）

與A面的同步長(zhǎng)0.3mm相比較，均值、中位數(shù)和極差變化很小；標(biāo)準(zhǔn)差減小，說(shuō)明度數(shù)數(shù)據(jù)偏離均值的程度降低了；偏度系數(shù)由A面的大于0變成了小于0，說(shuō)明均值左邊的數(shù)據(jù)比均值右邊更離散，但鑒于偏度系數(shù)仍然接近于0，所以近似認(rèn)為是無(wú)偏倚的。由峰度為3.3077，又由頻率直方圖和分布函數(shù)圖（見(jiàn)圖9、圖10）可以看出度數(shù)分布近似服從正態(tài)分布?？傮w上與A面的尺度為0.3mm的度數(shù)的統(tǒng)計(jì)量相近。

②步長(zhǎng)為0.2 mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為表5。

與步長(zhǎng)為0.3mm的情況相比較，方差與標(biāo)準(zhǔn)差的變化較大；偏度系數(shù)仍然小于0，但仍接近于0，所以仍屬于無(wú)偏倚狀況；峰度＜3，且與3的差距較大，說(shuō)明度數(shù)分布進(jìn)一步偏離正態(tài)分布，但仍然可以近似地接受為正態(tài)分布，相應(yīng)的頻率直方圖和分布函數(shù)如圖11、圖12所示，但有一定的偏離。與A面同尺度0.2mm的情況相比較，情況基本類似。

表5 步長(zhǎng)為0.2mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果單位：（°）

圖11 步長(zhǎng)為0.2mm時(shí)的頻率直方圖

圖12 步長(zhǎng)為0.2mm時(shí)的分布函數(shù)圖

③步長(zhǎng)為0.1 mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果為表6。

表6 步長(zhǎng)為0.1mm時(shí)的法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果單位：（°）

與步長(zhǎng)為0.2mm的情況相比較，中位數(shù)降低了；方差和標(biāo)準(zhǔn)差增大了；偏度系數(shù)未變；峰度進(jìn)一步減小，說(shuō)明進(jìn)一步偏離正態(tài)分布?？傮w來(lái)說(shuō)，變化不明顯。頻率直方圖與分布函數(shù)如圖13、圖14所示。與A面同尺度0.1mm的情況相比較，情況基本類似。

圖13 步長(zhǎng)為0.1mm的頻率直方圖

圖14 步長(zhǎng)為0.1mm的分布函數(shù)圖

通過(guò)比較A、B兩面對(duì)應(yīng)相同的步長(zhǎng)（尺度相同）的法向量度數(shù)的樣本數(shù)據(jù)，可以得出它們的變化與結(jié)論也基本相似。說(shuō)明A、B兩面上中心剖線上的法向量的度數(shù)分布在一定范圍內(nèi)基本上是相近的。另一方面，在同一面上，法向量的方向分布與所選取的測(cè)量尺度有關(guān)，具有尺度效應(yīng)。當(dāng)尺度越小時(shí)，峰度越小，越偏離正態(tài)分布。反之，尺度越大時(shí)，峰度越接近于3，分布越接近于正態(tài)分布。無(wú)論尺度大小，偏度系數(shù)基本接近于0，說(shuō)明均值左右兩邊的數(shù)據(jù)分布是基本對(duì)稱的，屬于無(wú)偏倚情況。

2 結(jié)束語(yǔ)

該實(shí)驗(yàn)利用伺服機(jī)通過(guò)靜態(tài)加載將巴西圓盤(pán)壓斷，經(jīng)高精度巖石激光掃描儀雙目掃描，在兩個(gè)斷面上取最具代表性的中心剖線上的中心一段，獲得法向量的度數(shù)數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法分析，得出該粗糙曲線上法向量的度數(shù)分布具有尺度效應(yīng)，即當(dāng)尺度越大時(shí)，峰度越接近于3，分布越接近于正態(tài)分布。而另一方面，無(wú)論尺度大小，偏度系數(shù)基本接近于0，說(shuō)明均值左右兩邊的數(shù)據(jù)分布基本對(duì)稱，屬于無(wú)偏倚情況。

對(duì)巖石斷面形貌學(xué)研究的最終目的是通過(guò)數(shù)值分析的方法來(lái)獲取巖石斷裂損傷過(guò)程記錄的信息，進(jìn)而反推巖石斷裂的力學(xué)機(jī)理，發(fā)現(xiàn)巖石結(jié)構(gòu)的組成和缺陷。但是巖石的宏觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)性質(zhì)都表現(xiàn)出明顯的非線性特征，巖石斷面又具有相當(dāng)復(fù)雜的不規(guī)則性和隨機(jī)性，因而國(guó)內(nèi)外的研究工作進(jìn)展的相對(duì)緩慢，目前還不能更好地應(yīng)用于預(yù)測(cè)和指導(dǎo)工程實(shí)踐。因此，下一步的研究工作主要為3個(gè)方面：（1）繼續(xù)發(fā)展并完善已有方法的優(yōu)點(diǎn)，最大限度地克服其缺點(diǎn)，試圖挖掘巖石斷裂的力學(xué)行為與其形貌之間的關(guān)系。（2）尋找新的方法來(lái)刻畫(huà)巖石斷面的形貌，并試圖追溯巖石斷裂的力學(xué)機(jī)制。（3）將已有的實(shí)驗(yàn)成果盡可能地轉(zhuǎn)化為能夠指導(dǎo)巖土工程實(shí)施的理論依據(jù)。

[1]孫洪泉.矩形域上分形插值研究[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2009（3）：773-783.

[2]孫洪泉.分形幾何與分形插值[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[3]孫洪泉，謝和平.分形插值曲面及其維數(shù)定理[J].中國(guó)礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1998（1）：321-331.

[4]孫洪泉.分形插值曲面的Matlab程序[J].蘇州科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，19（4）：18-21.

[5]Rasouli V，Harrison J P.Assessment of rock fracture surface roughness using Riemannian statistics of linear profiles[J].Int J of Rock Mechanics ＆ Mining Sciences，2010（47）：940-948.

[6]Belem T，Homand-Etienne H，Souley M.Quantitative parameters for rock joint surface roughness[J].Rock Mech.Rock Eng，2000，33（4）：217-242.

[7]Xie H，Zhou X W.Application of fractal theory to top-coal caving original research article[J].Chaos，Solitons S&S Fractals，Volume，2008，36（4）：797-807.

[8]魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，1983.

[9]張化光.Matlab/Simulink實(shí)用教程[M].北京：人民郵電出版社，2009.