用于彎曲型試樣斷裂韌性計(jì)算的COD轉(zhuǎn)換公式精解

姚 瑤，蔡力勛，包 陳

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610031）

0 引 言

Rice[1]于1968年提出了與積分路徑無(wú)關(guān)的參量——J積分，在彈塑性斷裂力學(xué)的發(fā)展中起到了非常重要的作用。采用J積分作為表示裂紋尖端應(yīng)變集中特性的平均參量，避免了直接計(jì)算在裂紋尖端附近的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng)。獲取斷裂韌性JIC的J阻力曲線所用塑性功Up需由載荷與加載線張開位移VLL的關(guān)系曲線得到。但是現(xiàn)廣泛應(yīng)用于斷裂韌性測(cè)試中的FFCT（如圖1），即在裂紋嘴測(cè)量裂紋張開位移的CT試樣以及SEB（如圖2）均不能直接獲取其加載線/施力線位移?，F(xiàn)行斷裂韌性測(cè)試規(guī)范[2-4]中并未提供FFCT及SEB試樣裂紋嘴張開位移V0與加載線/施力線裂紋張開位移VLL之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。美標(biāo)ASTM E1921-2011[5]推薦采用比例系數(shù)0.73描述FFCT試樣VLL-V0轉(zhuǎn)換關(guān)系。蔡力勛等[6-7]基于臺(tái)階型CT試樣（load line compact tension，LLCT）和FFCT試樣的裂紋長(zhǎng)度柔度計(jì)算式推導(dǎo)了裂尖小范圍屈服條件下FFCT試樣的VLL-V0換算公式；并依據(jù)相同的理論，給出了SEB試樣對(duì)應(yīng)的彈性轉(zhuǎn)換公式。包陳、蔡力勛等[8]根據(jù)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)假設(shè)和功等效的方法，推導(dǎo)了FFCT試樣在裂紋面發(fā)生較大轉(zhuǎn)角時(shí)的VLL-V0轉(zhuǎn)換公式，石凱凱、蔡力勛[9]等依據(jù)SEB試樣轉(zhuǎn)動(dòng)幾何關(guān)系推導(dǎo)了相應(yīng)的彈塑性轉(zhuǎn)換公式，但該公式的精度還有待進(jìn)行細(xì)化分析。本文基于彈塑性有限元（finite element analysis，F(xiàn)EA）精細(xì)網(wǎng)格計(jì)算，針對(duì)材料硬化以及轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)FFCT和SEB試樣的COD轉(zhuǎn)換公式的影響進(jìn)行了探討，從而對(duì)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證，并分別提出了FFCT試樣及SEB試樣更高精度的COD換算公式。

圖1 FFCT試樣

圖2 SEB試樣

1 有限元計(jì)算網(wǎng)格對(duì)精度的影響研究

單元網(wǎng)格的劃分在有限元仿真分析中是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位的網(wǎng)格疏密程度直接影響了計(jì)算結(jié)果的精確程度。為了消除網(wǎng)格疏密程度對(duì)有限元計(jì)算結(jié)果的影響，現(xiàn)對(duì)不同裂尖網(wǎng)格密度進(jìn)行對(duì)比計(jì)算。定義FFCT試樣和SEB試樣裂紋尖端約2 mm范圍內(nèi)網(wǎng)格數(shù)量約為8 000時(shí)為一倍網(wǎng)格密度。在此基礎(chǔ)上對(duì)網(wǎng)格密度進(jìn)行加密，分別對(duì)0.5倍、3倍、6倍、8倍、10倍、15倍及 20倍裂尖網(wǎng)格密度進(jìn)行有限元計(jì)算。圖3所示分別為FFCT試樣和SEB試樣加載線/施力線張開位移VLL與20倍網(wǎng)格密度結(jié)果之間的相對(duì)誤差。可以看出，隨著裂尖網(wǎng)格密度的增加，兩種試樣的加載線張開位移VLL計(jì)算值趨于穩(wěn)定，綜合考慮計(jì)算成本、結(jié)果精度等因素，選取8倍裂尖網(wǎng)格密度進(jìn)行分析計(jì)算，兩種試樣的有限元模型如圖4所示。

2 有限元精細(xì)網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果分析

對(duì)于符合冪律硬化特征的材料，其單軸本構(gòu)關(guān)系可用Hollomon模型描述：

圖3 不同裂尖網(wǎng)格密度加載線張開位移VLL與20倍網(wǎng)格密度結(jié)果之間的相對(duì)誤差

圖4 有限元計(jì)算模型

式中：E——彈性模量；

σy——名義屈服應(yīng)力；

n——材料應(yīng)變硬化指數(shù)。

假設(shè)模型滿足塑性增量理論，除了上述3個(gè)參量，描述材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系的參量還包括泊松比ν。考慮塑性不可壓縮，塑性階段泊松比為0.5?；谟邢拊治鼋Y(jié)果，彈性泊松比對(duì)VLL-V0結(jié)果影響甚微，故取彈性泊松比為0.3。為了探究裂紋長(zhǎng)度及材料本構(gòu)與COD轉(zhuǎn)換公式之間的關(guān)系，選取不同裂紋長(zhǎng)度與寬度比a/W（0.5～0.75）、屈服應(yīng)力σy（100～800MPa）、應(yīng)變硬化指數(shù) n（0.05～0.3）進(jìn)行精細(xì)網(wǎng)格計(jì)算。

2.1 FFCT 試樣

文獻(xiàn)[6]中給出了裂尖小范圍屈服時(shí)FFCT試樣VLL-V0轉(zhuǎn)換公式，如式（2）所示。

式中：a——裂紋長(zhǎng)度；

W——試樣寬度；

系數(shù)di——分別為d0=0.225 5，d1=1.835 2，d2=-2.8064，d3=1.8742，d4=0.3276，d5=-0.6812。

文獻(xiàn)[8]中推導(dǎo)了FFCT試樣裂紋面發(fā)生較大轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)換公式：

式中：H——加載孔中心到裂紋面的距離；

θ——FFCT試樣裂紋面繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)角的一半；

D——裂紋嘴COD引伸計(jì)標(biāo)距的一半；

R——轉(zhuǎn)動(dòng)半徑。

不受材料本構(gòu)的影響，計(jì)算公式為

其中：k0=150.155 4，k1=-1 427.620，k2=5 712.630，k3=-12131.87，k4=14357.50，k5=-8967.939，k6=2309.530。

圖5為不同裂紋長(zhǎng)度、不同本構(gòu)關(guān)系所得有限元結(jié)果與由上述3種轉(zhuǎn)換公式計(jì)算所得結(jié)果。分析圖中數(shù)據(jù)可得以下結(jié)論：

圖5 FFCT試樣不同裂紋長(zhǎng)度a/W、不同材料對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換比VLL/V0

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ接近零度時(shí)，轉(zhuǎn)換比VLL/V0基本相同，即與材料性能無(wú)關(guān)；隨著角度增大，轉(zhuǎn)換比會(huì)出現(xiàn)一段非線性增長(zhǎng)，當(dāng)角度≥3°后，該比值趨于平穩(wěn)，即轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ約為零度時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心位于某一點(diǎn)上，隨著載荷的增加，裂尖形成塑性鉸，轉(zhuǎn)動(dòng)中心會(huì)產(chǎn)生少許移位；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角度≥3°時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心趨于穩(wěn)定，此時(shí)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)假設(shè)成立。

（2）固定a/W，轉(zhuǎn)動(dòng)比會(huì)隨著硬化指數(shù)n或屈服強(qiáng)度σy的變化而變化，但每種工況下均落在一個(gè)很窄的帶寬內(nèi)。由此可見，材料性能對(duì)轉(zhuǎn)換比的影響是有限的。

（3）當(dāng)a/W增大時(shí)，分散帶帶寬逐漸減小，由此可見，材料的影響隨著a/W的增大逐漸減弱。

（4）式（2）和式（3）與精細(xì)網(wǎng)格化 FEA 結(jié)果之間均存在較大誤差，因此需要提出新的COD轉(zhuǎn)換公式，使其比值落于帶寬內(nèi)，從而提高計(jì)算精度。

2.2 SEB試樣

金蕾、蔡力勛等[7]提出了裂尖小范圍屈服時(shí)SEB試樣VLL-V0轉(zhuǎn)換公式：

式中：S——SEB試樣的跨距；

系數(shù)di——分別為d0=0.831 70，d1=-0.649 80，d2=-2.1915，d3=3.7311，d4=-2.4600，d5=0.73900。

石凱凱、蔡力勛等[9]由SEB試樣幾何關(guān)系（見圖6），推導(dǎo)得到了考慮轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的彈塑性轉(zhuǎn)換公式：

式中：r1、r2——支撐輥和加載輥的半徑。

R——轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，由式（4）計(jì)算得到，其中系數(shù)ki分別為：k0=13.4451，k1=-51.77885，k2=63.90878，k3=26.24999，k4=-145.89489，k5=137.81881，k6=-43.8174。

圖6 SEB試樣轉(zhuǎn)動(dòng)圖解

圖7為SEB試樣有限元計(jì)算結(jié)果與由式（5）和式（6）計(jì)算所得結(jié)果對(duì)比圖?？傻贸雠c2.1節(jié)中的結(jié)論基本相似。

圖7 不同裂紋長(zhǎng)度a/W、不同材料對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)換比VLL/V0

3 COD轉(zhuǎn)換公式

3.1 FFCT試樣

由2.1節(jié)結(jié)果分析可知，當(dāng)裂紋面轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ較小時(shí)，VLL-V0轉(zhuǎn)換公式與材料屬性相關(guān)，其中所需考慮的參數(shù)包括裂紋長(zhǎng)度a、屈服應(yīng)力σy、材料應(yīng)變硬化指數(shù)n等；因此，要得到由所有參數(shù)耦合的精確函數(shù)關(guān)系較為困難。依據(jù)圖8中幾何關(guān)系，提出如下VLL-V0轉(zhuǎn)換公式：

式中：R——裂紋面繞某一旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，由上述式（4）進(jìn)行計(jì)算。

圖8 FFCT試樣轉(zhuǎn)動(dòng)圖解

該式忽略了材料性能參數(shù)及FFCT試樣裂紋面轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ的影響，形式十分簡(jiǎn)單。

圖9給出了不同材料、不同a/W情況下，ASTM E1921-2011推薦公式、式（2）、式（3）以及本文新式（7）與FEA結(jié)果之間的相對(duì)誤差，表1給出了公式結(jié)果與有限元結(jié)果之間的最大相對(duì)誤差。由此可見，當(dāng)a/W>0.55時(shí)，本文提出的COD轉(zhuǎn)換公式的誤差均在3%以內(nèi)，1%誤差時(shí)的置信度較高，比現(xiàn)有公式精度有了很大改善，形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便。

表1 FFCT試樣COD轉(zhuǎn)換公式與FEA結(jié)果相對(duì)誤差最大值

3.2 SEB試樣

與FFCT試樣相同，想要擬合出精確轉(zhuǎn)換公式較為困難，故通過有限元仿真計(jì)算，可得SEB試樣施力線位移VLL與裂紋嘴位移V0之間的關(guān)系：

圖9 FFCT試樣不同a/W下VLL/V0與FEA結(jié)果相對(duì)誤差

式中：R——試樣裂紋面繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑，由式（4）進(jìn)行計(jì)算；

z——用于測(cè)定缺口張開位移的引伸計(jì)裝卡位

置距離試樣表面之間的距離，即粘貼刀口厚度。

實(shí)驗(yàn)中只要測(cè)得了裂紋嘴張開位移，帶入式（8）便可得施力線張開位移，用以計(jì)算J積分。

圖10 SEB試樣不同a/W下VLL/V0與FEA結(jié)果相對(duì)誤差

表2 SEB試樣COD轉(zhuǎn)換公式與FEA結(jié)果相對(duì)誤差最大值

圖10給出了多種不同材料、4種不同a/W情況下，式（5）、式（6）以及本文新式（8）與 FEA 結(jié)果之間的相對(duì)誤差，表2給出了公式結(jié)果與有限元結(jié)果之間的最大相對(duì)誤差。由此可見，當(dāng)a/W>0.55時(shí)，本文提出的COD轉(zhuǎn)換公式的誤差均在3%以內(nèi)，比現(xiàn)有公式精度有了很大改善，能夠更好地用于斷裂韌性測(cè)試中。

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）通過對(duì)FFCT及SEB試樣裂尖不同網(wǎng)格密度進(jìn)行有限元分析，提出了獲得穩(wěn)定結(jié)果的計(jì)算模型，為得到VLL-V0轉(zhuǎn)換公式奠定基礎(chǔ)。

（2）基于有限元分析，對(duì)現(xiàn)有兩種試樣的轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行了誤差分析，并提出了分別針對(duì)FFCT及SEB試樣形式簡(jiǎn)單且計(jì)算精度較高的COD轉(zhuǎn)換公式。

[1]Rice J R，Bosengren G F.Plane strain deformation near a crack tip in a power-law hardening material[J].Journal of the Mechanics and Physics of Solids，1968，16（1）：1-12.

[2]GB/T 21143—2007金屬材料準(zhǔn)靜態(tài)斷裂韌度的統(tǒng)一試驗(yàn)方法[S].北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2008.

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