北斗高精度長弧歷書模型設(shè)計

常志巧，胡小工，陳劉成，李曉杰，祖安然，唐成盼，黃 華

1. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094； 2. 中國科學(xué)院上海天文臺，上海 200030； 3. 61876部隊，海南 三亞 572022

利用星間觀測和通信實現(xiàn)的自主導(dǎo)航是新一代全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的發(fā)展趨勢，為了保證星間測量和數(shù)據(jù)傳輸?shù)膶崟r性，星間鏈路通常采用時分工作模式，要求在每個短暫的時隙內(nèi)，要求每條測量鏈路完成信號的捕獲、跟蹤和解調(diào)，由于星上資源受限，給信號捕獲時間和可靠性帶來較大的挑戰(zhàn)[8]。對于常規(guī)導(dǎo)航定位用戶，用戶設(shè)備在跟蹤捕獲衛(wèi)星信號后處于連續(xù)跟蹤的狀態(tài)，歷書精度只影響首次定位時間，而對于時分體制的星間鏈路每個時隙可能需要切換跟蹤不同衛(wèi)星，因此高精度的歷書參數(shù)模型對于星間鏈路信號快速捕獲顯得尤為重要，結(jié)合目前衛(wèi)星軟硬件條件，要求歷書精度優(yōu)于10 km。目前歷書參數(shù)的有效時長為7 d，為了滿足自主導(dǎo)航連續(xù)運行的需求，需要地面系統(tǒng)采用一次注入多組歷書參數(shù)，增加了歷書參數(shù)注入和衛(wèi)星使用的復(fù)雜性，同時占用較多星上存儲資源。本文在北斗混合星座實際軌道基礎(chǔ)上，以一個自主運行周期90 d為時間尺度，研究適當(dāng)增加攝動參數(shù)達到增大擬合弧長、減少注入衛(wèi)星的歷書組數(shù)，節(jié)約星上儲存資源的目的。鑒于歷書輔助跟蹤捕獲除了需要衛(wèi)星位置外還需要計算衛(wèi)星速度用于減少多普勒頻移的不確定度，本文將同時對衛(wèi)星位置和速度的歷書擬合精度進行評估，以期滿足星間鏈路測量和常規(guī)導(dǎo)航應(yīng)用的需求，為導(dǎo)航系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計提供技術(shù)參考。

1 北斗長弧高精度歷書參數(shù)設(shè)計和擬合

1.1 歷書參數(shù)設(shè)計

歷書參數(shù)的設(shè)計原則是利用盡量少的參數(shù)實現(xiàn)盡量高精度的衛(wèi)星位置擬合，通常千米量級的擬合精度能滿足信號捕獲的需求。對于導(dǎo)航衛(wèi)星，由于其軌道高度較高，因此歷書參數(shù)設(shè)計時地球的非球型引力J2項和月球引力是主要考慮的攝動力。在主要攝動力的影響下，存在長期變化和長周期變化的軌道根數(shù)具有如下規(guī)律：

(1) 升交點赤經(jīng)Ω，近點角距ω，平近點角M存在長期變化，其中影響最大的是J2項，見式(1)[9]。其次為日月引力攝動，同時這3個軌道根數(shù)具有一階長周期變化，最大項為日月引力攝動

(1)

式中，(f1c)Ω、(f1c)ω、(f1c)M分別為J2項引起的升交點赤經(jīng)Ω、近點角距ω和平近點角M的長期變化率；n為平均角速度；i為軌道傾角；e為軌道偏心率；p=a(1-e2)；J2=1.082 63×10-3。

(2) 軌道傾角i存在一階長周期項，最大項為日月引力攝動，見式(2)[10]，與文獻[9]相比，式(2)省略了量級較小的項。由于GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星軌道高度較高，在第三體引力攝動作用下其軌道傾角的長周期變化更為顯著

(2)

由于長期項隨時間增長具有累積效應(yīng)，通過初步量級歸算[16]，對于GEO和IGSO衛(wèi)星，忽略Δn,idot長期項的影響，在90 d的弧長內(nèi)能引起幾百公里量級的位置誤差。對于GEO和IGSO衛(wèi)星，最大的共振田諧項J22使得定點在標(biāo)稱經(jīng)度的靜止衛(wèi)星受到額外的切向引力加速度，引起定點經(jīng)度關(guān)于赤道穩(wěn)定點的長周期平動點振動(類似單擺運動)，周期為1000～2000 d，半長軸的變化則達到±35 km[17]。文獻[18]計算了在主要幾項田諧項影響下，靜止軌道半長軸的漂移速率與定點經(jīng)度相關(guān)，數(shù)值范圍約為0～155 m/d，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)的GEO衛(wèi)星的定點經(jīng)度分布范圍決定了大部分GEO衛(wèi)星的半長軸的漂移速率大于100 m/d。忽略GEO衛(wèi)星的半長軸漂移速率，在90 d的弧長內(nèi)能引起上千千米的位置誤差。

設(shè)新的開普勒軌道根數(shù)歷書模型為σ0，根據(jù)上文的分析，定義σ0為

(3)

式中，i0為參考時刻的軌道傾角(北斗ICD中δi表示參考時間的軌道參考傾角的改正量)，Δa為相對于軌道半徑的參考值aref的變化值[13-14]，不同衛(wèi)星類型具有不同的參考值aref。

1.2 歷書用戶算法

利用歷書計算衛(wèi)星位置的方法與利用廣播星歷計算衛(wèi)星位置的過程基本相同，主要差異在于減少6個短周期攝動參數(shù)。其算法如下：

(1) 計算衛(wèi)星平近點角

(4)

式中,μ為地球引力常數(shù)。

(2) 迭代計算偏近點角Ek

Ek=Mk+esinEk

(5)

(3) 計算衛(wèi)星矢徑rk

rk=ak(1-ecosEk)

(6)

(4) 計算真近點角fk及緯度幅角

(7)

(5) 計算衛(wèi)星在軌道平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

衛(wèi)星在軌道平面坐標(biāo)系(X軸指向升交點)中的坐標(biāo)為

(8)

(6) 計算觀測時刻升交點經(jīng)度及軌道傾角

(9)

其中，Ω0參數(shù)為衛(wèi)星歷書在本周0時升交點到格林尼治子午線之間的經(jīng)度。

(7) 計算衛(wèi)星在cgcs2000中的位置

(10)

1.3 歷書擬合算法

對式(10)求11個歷書參數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，可得線性化的觀測方程為

(11)

1.3.1 對軌道面參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)

按照1.2節(jié)中的歷書用戶算法，第一組參數(shù)與第二組參數(shù)之間相互獨立，對第一組參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時，所有第二組參數(shù)為常數(shù)。令P和Q分別為近地點單位矢量和半通徑單位矢量(由地心處與軌道拱線垂直)[9]

(12)

則衛(wèi)星位置和速度矢量分別為[9]

(13)

根據(jù)式(13)和(4)可得

(14)

(15)

根據(jù)式(13)和式(4)，可得

(16)

1.3.2 對軌道面定向的參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)

將式(8)代入式(10)可得

(17)

rk只與軌道面參數(shù)相關(guān)，與軌道定向參數(shù)不相關(guān)，因此認為rk為常數(shù)。利用式(7)、式(9)及式(17)即可求出衛(wèi)星位置矢量對軌道定向參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

2 歷書擬合結(jié)果分析及討論

無論是廣播星歷還是歷書參數(shù)，參數(shù)只在擬合弧段內(nèi)有效，若超過擬合弧段，衛(wèi)星軌道位置精度會下降[6]。筆者嘗試利用短期擬合的歷書模型預(yù)報衛(wèi)星軌道時，出現(xiàn)軌道精度迅速衰減的現(xiàn)象。因此，考慮延長歷書參數(shù)的使用期限時，需要先利用動力學(xué)方法對衛(wèi)星軌道積分，然后再進行歷書擬合。

將國內(nèi)區(qū)域監(jiān)測網(wǎng)事后精密軌道拼接為弧長為10 d的數(shù)值軌道，采用動力學(xué)平滑方法對離散軌道進行平滑，得到高精度的動力學(xué)參數(shù)，再通過軌道積分獲取弧長為90 d的衛(wèi)星的連續(xù)軌道。軌道動力學(xué)平滑與軌道改進過程相同，二者的差別在于：軌道改進是利用實際觀測量修正動力學(xué)參數(shù)，而軌道擬合則是不需要實際觀測量，只需要已知一組衛(wèi)星的狀態(tài)矢量，并將它們看成虛擬觀測量來求解軌道參數(shù)[23]。這里利用6個初始軌道根數(shù)和伯爾尼模型的5個太陽光壓參數(shù)[24]來描述整個弧段的軌道信息。通過對北斗三類衛(wèi)星軌道預(yù)報90 d的精度進行評估，發(fā)現(xiàn)軌道預(yù)報引起的URE小于600 m，在90 d預(yù)報弧段內(nèi)歷書擬合過程引起的誤差是主要因素，本文主要分析歷書擬合過程造成的誤差。

2.1 常規(guī)歷書參數(shù)長弧擬合精度分析

2.1.1 衛(wèi)星位置擬合精度

常規(guī)歷書擬合模型采用6個軌道根數(shù)和1個升交點赤經(jīng)變率作為待估計的未知參數(shù)，采用90 d擬合弧長考察該模型的長弧擬合性能。忽略數(shù)值軌道自身的預(yù)報誤差，以數(shù)值軌道的歷書擬合內(nèi)符合殘差為統(tǒng)計對象。圖1—圖3描述了各類衛(wèi)星的歷書擬合在徑向、沿跡和法向方向的誤差細節(jié)圖。對于GEO和IGSO衛(wèi)星沿跡方向誤差最大，90 d擬合弧段內(nèi)該方向最大擬合誤差達到百公里量級，而徑向和法向兩方向誤差較小；對于MEO衛(wèi)星沿跡和法向方向擬合誤差較大，90 d擬合弧段內(nèi)最大擬合誤差達到10千米量級，徑向擬合誤差較小；總體而言GEO和IGSO衛(wèi)星的擬合誤差比MEO衛(wèi)星的擬合誤差大一個數(shù)量級。對于星間測量，歷書參數(shù)用于輔助搜星和信號捕獲的性能主要受衛(wèi)星位置誤差在觀測方向的投影的影響，最大的影響為兩顆衛(wèi)星的位置誤差之和；對于地面的導(dǎo)航定位用戶，主要取決于衛(wèi)星位置誤差在用戶距離方向的投影即用戶距離誤差(user range error,URE)。普通意義上的URE是指利用導(dǎo)航衛(wèi)星廣播的衛(wèi)星星歷和鐘差計算的衛(wèi)星位置誤差和鐘差誤差在用戶和衛(wèi)星視線方向的投影，這里的URE是指廣播星歷擬合過程中產(chǎn)生的擬合位置誤差在用戶距離方向的投影。擬合URE的計算公式為

(18)

表1列出了采用常規(guī)歷書擬合模型對北斗在軌衛(wèi)星進行90 d弧長的歷書擬合的URE和位置誤差。其中SAT01-05為GEO衛(wèi)星，06-10為IGSO衛(wèi)星，11-14為MEO衛(wèi)星。GEO和IGSO衛(wèi)星平均擬合位置誤差約為200 km，URE約為40 km，MEO衛(wèi)星平均的擬合位置誤差約5 km。顯然對于GEO衛(wèi)星和IGSO衛(wèi)星，采用常規(guī)歷書擬合模型擬合誤差過大，導(dǎo)致星間、星地輔助捕獲的計算時間大幅度增加。

圖1 GEO衛(wèi)星常規(guī)歷書擬合三維位置誤差曲線圖Fig.1 The almanac fitting position error curve of GEO satellite with conventional model

圖2 IGSO衛(wèi)星常規(guī)歷書擬合三維位置誤差曲線圖Fig.2 The almanac fitting position error curve of IGSO satellite with conventional model

圖3 MEO衛(wèi)星常規(guī)歷書擬合三維位置誤差曲線圖Fig.3 The almanac fitting position error curve of MEO satellite with conventional model

km

2.1.2 衛(wèi)星速度擬合精度

利用式(4)—式(10)依次對偏近點角、衛(wèi)星矢徑、緯度幅角、軌道平面坐標(biāo)、地固系坐標(biāo)計算變率，可計算任意歷元的衛(wèi)星速度，具體過程可參考文獻[25—26]。歷書擬合采用的數(shù)值軌道通常包含衛(wèi)星在地固下的速度信息，以數(shù)值軌道的速度信息為基準(zhǔn)，考察衛(wèi)星速度的計算誤差。表2列出了采用常規(guī)擬合模型90 d弧長的速度擬合精度統(tǒng)計?？傮w而言，GEO和IGSO衛(wèi)星的速度誤差比MEO衛(wèi)星的速度誤差大一個數(shù)量級。GEO和IGSO衛(wèi)星速度誤差RMS平均值約為15 m/s，最大值約為35 m/s。對于MEO衛(wèi)星速度誤差RMS平均值約為0.7 m/s，最大值約為1.7 m/s。

表2 常規(guī)擬合方法90 d弧長速度擬合精度統(tǒng)計

2.2 新歷書模型長弧擬合精度分析

2.2.1 衛(wèi)星位置擬合精度

表3列出了采用新歷書模型對北斗在軌衛(wèi)星進行90 d弧長的歷書擬合的URE和位置誤差。GEO衛(wèi)星平均擬合位置誤差約為6 km，URE約為1.5 km;IGSO衛(wèi)星平均擬合位置誤差約為11 km，URE約為2 km;MEO衛(wèi)星平均擬合位置誤差約為5 km，URE約為900 m。對于時分體制的星間鏈路觀測，要求接收設(shè)備能夠快速捕獲信號，因此歷書參數(shù)用于信號捕獲和軌道預(yù)報時，不但關(guān)心統(tǒng)計意義的擬合精度，更關(guān)心任意時刻的擬合最大誤差。表3同時列出了新擬合方法90 d弧長擬合最大誤差統(tǒng)計。GEO衛(wèi)星的最大擬合位置誤差為22 km，IGSO衛(wèi)星的最大擬合位置誤差為32 km，MEO衛(wèi)星的最大擬合位置誤差為12 km。

圖4 GEO衛(wèi)星新歷書擬合三維位置誤差曲線圖Fig.4 The almanac fitting position error curve of GEO satellite with the new model

圖5 IGSO衛(wèi)星新歷書擬合三維位置誤差曲線圖Fig.5 The almanac fitting position error curve of IGSO satellite with the new model

圖6 MEO衛(wèi)星新歷書擬合三維位置誤差曲線圖Fig.6 The almanac fitting position error curve of MEO satellite with the new model

Tab.3 Position accuracy statistic of almanac fitting with the new model in 90 d arc km

2.2.2 衛(wèi)星速度擬合精度

表4列出了采用新歷書擬合模型90 d弧長的速度擬合精度統(tǒng)計，對比表2，新模型比常規(guī)模型的歷書擬合精度大幅度提高，且3類衛(wèi)星的速度計算誤差相當(dāng)，RMS平均值約為0.6 m/s,最大值約為2 m/s。單顆衛(wèi)星的捕獲時間同時與碼相位搜索不確定度和載波多普勒搜索不確定度相關(guān)，二者的乘積反映了一定硬件條件下的信號捕獲時間[4]。式(19)表示由衛(wèi)星速度誤差引入的多普勒頻移誤差

(19)

以星間鏈路的中心頻率為例，將表2中衛(wèi)星速度的最大誤差68.02 m/s代入式(19),得出常規(guī)歷書模型計算出的多普勒頻移誤差為6 012.6 Hz，將表4中衛(wèi)星速度的最大誤差2.28 m/s代入式(19),得出新歷書模型計算出的多普勒頻移誤差為201.5 Hz。表明在90 d弧段內(nèi)利用新歷書模型的信號捕獲時間比常規(guī)歷書模型提高約30倍。

2.3 討 論

2.3.1 新老歷書模型不同擬合弧長擬合精度比較

上文的分析表明，對于GEO和IGSO衛(wèi)星，在90 d擬合弧段條件下，常規(guī)歷書模型的擬合位置誤差在幾百千米量級，而新歷書模型由于考慮了主要長期項的影響，位置擬合誤差降低至十幾千米甚至幾千米。由于不同的用戶對歷書模型的擬合精度的需求不同，采用1組歷書參數(shù)描述90 d弧段的衛(wèi)星軌道，即使采用新歷書模型，也不能滿足某些特殊用戶的需求。這里以減少衛(wèi)星歷書注入組數(shù)為目的，同時兼顧保證一定的擬合精度，對比了常規(guī)歷書模型和新歷書模型在不同擬合弧長擬合精度的差異，見表5。表5給出了常規(guī)歷書模型7 d、14 d弧段的擬合精度，同時給出了新歷書模型30 d、45 d和90 d弧段的擬合精度，以10 km位置誤差為上限，對于常規(guī)歷書模型只能采用14 d的擬合弧段，而新模型的擬合弧段可以擴展至45 d。

表4 新方法90 d弧長速度擬合精度統(tǒng)計

表5 新老方法不同擬合弧長擬合精度統(tǒng)計RMS

2.3.2 不同攝動參數(shù)對長弧歷書擬合的影響分析

表6 不同歷書模型90 d弧長擬合精度統(tǒng)計RMS

2.3.3 新歷書模型工程實現(xiàn)可行性分析

在滿足星間鏈路信號捕獲的需求下，新歷書模型可將歷書期限從現(xiàn)有7 d擴展至45 d，輔助星間鏈路運行的長期歷書單次注入信息量減少約76%，只需修改地面控制系統(tǒng)和衛(wèi)星以及衛(wèi)星之間的接口即可；對于常規(guī)導(dǎo)航，延長有效期的新歷書模型可以使接收機啟動時充分利用歷史歷書數(shù)據(jù)，減少接收機的首次定位時間。由于新歷書模型增加了4個攝動參數(shù)，在下行導(dǎo)航電文中需要增加中等精度歷書的信息編排量。新發(fā)布的北斗全球CNAV1導(dǎo)航電文中子幀3頁面類型4中具有47比特預(yù)留位[27]，以1 km為歷書最小表達精度初步估算，新增加的攝動參數(shù)可以在預(yù)留位中表達，從而實現(xiàn)不改變導(dǎo)航電文結(jié)構(gòu)，又增加了下行導(dǎo)航電文中的歷書使用期限，新增參數(shù)占用比特位較少，對用戶導(dǎo)航電文解析與解算負擔(dān)的影響可忽略不計。對于GEO衛(wèi)星，由于存在大約頻度為1月的軌道機動，軌道機動后，原來的歷書參數(shù)將失效，因此無論對星間鏈路還是常規(guī)用戶，都需要額外獲取衛(wèi)星的機動標(biāo)識；若GEO衛(wèi)星在自主運行期間沒有機動發(fā)生，則新歷書模型在有效期內(nèi)都有效。

3 結(jié) 論

本文以延長歷書參數(shù)有效期為目的，分析了北斗GEO、IGSO和MEO 3類導(dǎo)航衛(wèi)星主要攝動力及其對軌道根數(shù)的長期項和長周期項的影響，以此為基礎(chǔ)設(shè)計了以6個軌道根數(shù)和5個攝動參數(shù)為播發(fā)參數(shù)的歷書擬合模型，并詳細推導(dǎo)了新歷書模型的參數(shù)擬合方法。比較了常規(guī)歷書模型和新歷書模型在90 d擬合弧長條件下的位置和速度擬合精度，得出新的歷書模型提高了歷書擬合的精度，尤其對于GEO和IGSO衛(wèi)星，擬合精度提高顯著。對于GEO和IGSO衛(wèi)星，位置擬合誤差大約從200 km降低至十幾千米甚至幾千米，速度擬合誤差大約從15 m/s降低至0.6 m/s，新方法擬合精度提高了約20～30倍；對于MEO衛(wèi)星，無論采用哪種歷書模型，位置擬合誤差均在5 km左右，速度擬合誤差都在0.6 m/s左右，新方法擬合精度提高約15%。

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