地圖代數(shù)中的雙重網(wǎng)格計(jì)算方法

胡 海,郝大磊,楊傳勇,胡 鵬

1. 武漢大學(xué)資源與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 湖北 武漢 430079; 2. 中國科學(xué)院遙感與數(shù)字地球研究所遙感科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101; 3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049; 4. 佛山市城市規(guī)劃勘測設(shè)計(jì)研究院，廣東 佛山 528000

矢、柵空間數(shù)據(jù)理論和方法是地理信息系統(tǒng)(GIS)中兩種重要理論和方法[1-2]，它們各有特點(diǎn)，優(yōu)勢互補(bǔ)。相對而言，矢量定義在連續(xù)的實(shí)數(shù)域，對于相當(dāng)多問題，對于點(diǎn)的計(jì)算，可通過矢量計(jì)算得到精確解。然而對于復(fù)雜的地理信息系統(tǒng)諸多問題，尤其是空間組合優(yōu)化問題，對于點(diǎn)及集合的計(jì)算，或?qū)τ诰W(wǎng)格的計(jì)算，無限精確的實(shí)數(shù)解的獲取往往是極困難的，并且在大多數(shù)情況下也是不必要的。實(shí)際中通常采用一定精度的近似解來解決，而其本質(zhì)就是柵格方法，采用離散的、近似的解來解決各種實(shí)際問題，可能更為廣義[3-4]。很明顯，二維情況下，當(dāng)柵格尺寸趨于0×0，解的正確性和準(zhǔn)確性沒有任何問題，但關(guān)鍵問題是柵格最大尺寸dx×dy多大才能確保計(jì)算的精確性，同時(shí)又能保證計(jì)算的最高效率。而在較大的空間范圍內(nèi)，柵格方法能否保證解決問題所必要的空間精確度也需要證明。其中最可能的解決途徑是多重網(wǎng)格計(jì)算。傳統(tǒng)的多重網(wǎng)格法是一種“近乎最優(yōu)”的特殊迭代途徑，是一種通用的非常有效的特殊類型的迭代法[5-9]，成為數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域一種加速迭代收斂的技術(shù)，已被廣泛應(yīng)用于微分方程求解[10]、曲面建模[11]、三維數(shù)值模擬[12-13]、流體力學(xué)[14-15]等方面。本文提出的雙重網(wǎng)格計(jì)算方法有別于廣泛應(yīng)用于微分方程和積分方程數(shù)值求解中的多重網(wǎng)格法，它主要針對大區(qū)域高分辨率空間距離變換的快速運(yùn)算。

目前，地理空間大型度量分析問題真正采用柵格方法的尚不多，并且GIS領(lǐng)域至今尚未見到多重網(wǎng)格方法的具體應(yīng)用。本文主要討論歐氏空間和地球信息度量空間下的距離變換的雙重網(wǎng)格方法。首先討論其基礎(chǔ)度量，即歐氏和地球信息度量下的計(jì)算公式、微分公式及誤差，作為雙重網(wǎng)格計(jì)算的原理，然后再討論分層計(jì)算的組織以及實(shí)施方案。

本文中的多重網(wǎng)格方法主要針對正方形剖分的柵格(設(shè)dx=dy)，全空間等剖分為N1×N2粗網(wǎng)格，在粗網(wǎng)格中剖分成N3×N3個(gè)細(xì)柵格，并且粗柵格中心距離計(jì)算足夠嚴(yán)密準(zhǔn)確(這也是地圖代數(shù)理論和實(shí)踐所嚴(yán)密保證了的)。

1 主要距離變換公式及簡化計(jì)算原理

1.1 歐氏距離的計(jì)算公式、微分公式及誤差

水平面上a、b兩點(diǎn)間歐氏距離公式為

(1)

顧及二元泰勒展開公式[16]

(2)

設(shè)起點(diǎn)a不變，僅終點(diǎn)b有微小增量Δxa、Δyb，可視重要粗柵格內(nèi)需重新計(jì)算各重要細(xì)部細(xì)柵格為b點(diǎn)的微小增量，在式(2)中取n=1，有全微分公式進(jìn)行各細(xì)柵格計(jì)算

(3)

其誤差余項(xiàng)R2為

(4)

1/16 m=0.062 5 m

(5)

以上是假設(shè)a點(diǎn)不變，僅b點(diǎn)微小變化的微分公式。倘若a點(diǎn)變動，公式類同，僅僅Δxa、Δyb符號方向取反。綜合兩者，式(3)則變?yōu)?/p>

(Δyb-Δya)(yb-ya)/

(6)

故若顧及實(shí)際中不僅b點(diǎn)會有微小位移，a點(diǎn)也會有微小位移，這時(shí)式(2)的R2會放大為式(5)的2倍，即用微分簡化計(jì)算其下細(xì)柵格，其距離計(jì)算精度不低于0.125 m。同理當(dāng)[(xb-xa)2+(yb-ya)2]1/2≥8000 km，|Δxa|、|Δxb|、|Δya|、|Δyb|均≤0.5 km，則R20.062 5 m。即在第1層1 km×1 km粗柵格下剖分成1000×1000第2層細(xì)柵格，計(jì)算相對約8000 km的距離變換，則細(xì)柵格距離計(jì)算具有不低于0.062 5 m的精度。

1.2 大地線度量的第一類微分公式的反算公式及誤差

大地線度量的第一類微分公式指的是由于大地起始數(shù)據(jù)的微小變化(起、終點(diǎn)的大地坐標(biāo)dBa、dLa、dBa、dLa變化，起始邊的大地坐標(biāo)、方位角及長度的變化)而引起的大地坐標(biāo)和方位角的改正值的計(jì)算公式[17-18]。所謂反算公式，是指端點(diǎn)變化對大地線長度s和方位角A影響的計(jì)算式。由于雙重網(wǎng)格計(jì)算往往涉及兩端點(diǎn)都發(fā)生變化的情況，有關(guān)微分公式如下[19]

(7)

式中，M、N、m為子午圈、卯酉圈半徑及大地線s的歸化長度，下標(biāo)a、b分別代表起、終端點(diǎn)，dm/ds由式(8)嚴(yán)密計(jì)算給出

i=a,b

(8)

微分公式(7)是由大地主題計(jì)算嚴(yán)密公式推出，用于較高精度的大地計(jì)算。但上述微分公式(7)的嚴(yán)密誤差尚不能事先精確控制實(shí)施，只能大致估計(jì)后，在實(shí)踐中驗(yàn)后給出。

上述1.1、1.2論述表明：在歐氏及地球橢球面度量中，在適當(dāng)?shù)男》秶鷥?nèi)或粗柵格內(nèi)，原始端點(diǎn)柵格內(nèi)的微小變化引起距離和方向的變化主要是線性的，可以通過始終端點(diǎn)粗柵格內(nèi)的局部簡化計(jì)算完成。因此，通過大區(qū)域內(nèi)的各粗柵格中心間的規(guī)范精密計(jì)算，結(jié)合適當(dāng)?shù)男》秶鷥?nèi)(粗柵格內(nèi))細(xì)柵格中心間微分計(jì)算，可實(shí)現(xiàn)目標(biāo)區(qū)域距離的準(zhǔn)確計(jì)算。這種雙重網(wǎng)格計(jì)算方法，計(jì)算對象分割嚴(yán)密，組合對象完整覆蓋全區(qū)分辨率單元。

1.3 歐氏度量下計(jì)算實(shí)例

1.3.1 具體算例

平面上有遠(yuǎn)距a、b兩點(diǎn)，a點(diǎn)xa=1 564 000，ya=26 000，b點(diǎn)xb=7 989 000，yb=6 218 000，則dab=8 923 087.414。令a點(diǎn)固定，b點(diǎn)微動，范圍±500 m，這時(shí)，b點(diǎn)在2級柵格(1001×1001)陣4個(gè)角點(diǎn)，距離dab直接計(jì)算和用微分計(jì)算分別如下：

(1) 當(dāng)xb=7 988 500，yb=6 217 500；即Δxb=-500，Δyb=-500；dab=8 922 380.428,

采用雙重網(wǎng)格計(jì)算，dab=8 923 087.414-360.021-346.965=8 922 380.428；Δ=0.000。

(2) 當(dāng)xb=7 989 500，yb=6 217 500；即Δxb=500，Δyb=-500；dab=8 923 100.498，

采用雙重網(wǎng)格計(jì)算，dab=8 923 087.414+360.021-346.965=8 923 100.470；Δ=-0.028。

(3) 當(dāng)xb=7 989 500，yb=6 218 500；即Δxb=500，Δyb=500；dab=8 923 794.400,

采用雙重網(wǎng)格計(jì)算，dab=8 923 087.414+360.021+346.965=8 923 794.400；Δ=0.000。

(4) 當(dāng)xb=7 988 500，yb=6 218 500；即Δxb=-500，Δyb=500；dab=8 923 074.386,

采用雙重網(wǎng)格計(jì)算，dab=8 923 087.414-360.021+346.965=8 923 074.358；Δ=-0.028。

1.3.2 分析與討論

由1.3.1中算例可見，在16 000 km范圍內(nèi)，為獲得相對最遠(yuǎn)6000～8000 km處的比例線或中間線達(dá)1 m的距離變換精度，不必要實(shí)施16 000 000×16 000 000柵格陣的距離變換，而僅需實(shí)施16 000×16 000的柵格陣的距離變換；微分計(jì)算距離波前沿(或所需目標(biāo)區(qū)域)的微小(米級)柵格距離。上述情況下，在1000 m大小的初始柵格計(jì)算下，僅采用一階微分公式，僅2點(diǎn)在粗柵格中微動(±500 m)，雙重網(wǎng)格距離計(jì)算精度可不低于1/32 m(上例實(shí)際是0.028 m)。類同的道理，若a點(diǎn)也在粗柵格中微動，則雙重網(wǎng)格距離計(jì)算精度可不低于0.062 5 m。而若采用32 000×32 000柵格陣進(jìn)行距離變換，則雙重網(wǎng)格距離計(jì)算可達(dá)4倍遠(yuǎn)處，精度仍可不低于0.062 5 m。

類此，原則上也可采用具有多級精度的多階微分公式多重柵格系列。

1.4 大地線度量下的計(jì)算實(shí)例

1.4.1 兩點(diǎn)間大地線長計(jì)算算例

a點(diǎn)緯度Ba=20.0，經(jīng)度La=120.0；2點(diǎn)緯度Bb=49.0，b點(diǎn)經(jīng)度Lb=147.0。a到b點(diǎn)的大地線長度dab=4 017 429.518 844 56。粗柵格約用1′×1′。a點(diǎn)與b點(diǎn)定位在粗柵格中心。若b點(diǎn)緯度±0.5′或經(jīng)度±0.5′位移，則大地線長dab精密計(jì)算與微分計(jì)算的相差均小于0.044 m。具體算例如下：

(1) 到粗柵格左上角：

精密距離=4 017 626.654 256 730 3

微分距離=

4 017 429.518 844 56+197.360 787 551 097

差值=0.225 375 379 901 379

(2) 到粗柵格右上角：

精密距離=4 018 510.011 246 322 2

微分距離=

4 017 429.518 844 56+1 080.449 002 431 3

差值=0.043 399 330 694 228 4

(3) 到粗柵格左下角：

精密距離=4 016 348.939 659 628 1

微分距離=

4 017 429.518 844 56-1 080.622 568 768 07

差值=0.043 383 837 211 877 1

(4) 到粗柵格右下角：

精密距離=4 017 232.834 246 171 6

微分距離=

4 017 429.518 844 56-196.459 160 007 337

差值=0.225 438 379 682 601

1.4.2 分析與討論

大地度量下雙重網(wǎng)格計(jì)算原理已由式(7)、式(8)予以闡明。實(shí)例驗(yàn)證由上述算例可知，當(dāng)?shù)厍蛏暇嚯x長達(dá)4000 km以上時(shí)，端點(diǎn)b在±0.5′內(nèi)微動時(shí)，可由微分公式簡易重算更動后的距離，精度可達(dá)0.25 m；顧及端點(diǎn)a具有同樣大小的微動時(shí)，更動后的距離精度或許不超0.5 m，一般可達(dá)1 m精度。當(dāng)然，以驗(yàn)后計(jì)算為準(zhǔn)。鑒此，也可采用線性遞縮微動區(qū)間(即依次按粗柵格的0.5間距縮小)的法則，以實(shí)現(xiàn)所需精度。若a、b兩點(diǎn)是相距4000 km以上的±0.5′粗柵格的中心，且a中有一條精細(xì)柵格的線，這時(shí)由點(diǎn)b對該線上各精細(xì)柵格連線段，并取最短線段，可認(rèn)為它是b到該線精細(xì)距離，以點(diǎn)b為中心的粗柵格中各精細(xì)柵格就可通過各自與點(diǎn)b的坐標(biāo)差(一個(gè)粗柵格內(nèi))與點(diǎn)b到該線距離，得到(b中精細(xì)柵格)各自到該線精細(xì)距離。若將a、b對調(diào)，結(jié)論也同樣正確。

2 雙重網(wǎng)格距離變換實(shí)施

雙重網(wǎng)格方法一般分基礎(chǔ)(粗)柵格及在基礎(chǔ)柵格中嵌套細(xì)柵格來實(shí)行。上述歐氏空間距離變換方法比較明確，故下面主要討論地球空間的距離變換。實(shí)施第一步時(shí)一般把對象區(qū)域劃為M1×N2個(gè)基礎(chǔ)柵格，先進(jìn)行粗柵格運(yùn)算，與通常有序傳播的地圖代數(shù)外距(離)變換[20]完全一樣。假設(shè)距離變換是對各大洲陸地外緣的低潮線作為起算基線，使洋中任一柵格都標(biāo)記了距最近大陸外緣線的距離(即距該點(diǎn)最近大陸柵格點(diǎn))[20-21]，然后第二步再進(jìn)行相應(yīng)有關(guān)粗柵格下細(xì)柵格的精細(xì)計(jì)算。例如圖1所示10 800×5400粗柵格陣表示的太平洋等距圓柱投影圖中(南緯45°—北緯45°，東經(jīng)120°—西經(jīng)60°)，假定該圖形足夠正確，在此基礎(chǔ)上求太平洋的“洋心”(“洋心”指離陸地外緣線最遠(yuǎn)處)或澳洲、南美洲、北美洲相互中間線。

2.1 第一次(粗)柵格距離變換

第一次進(jìn)行距離變換時(shí)，采用長距離大地主題反算公式——白塞爾公式[19]計(jì)算第一次柵格劃分時(shí)粗柵格中心的離陸距離，得到全球各陸地外緣線距離波的前沿，得到最大海洋“太平洋”中離陸地最遠(yuǎn)的地方——“洋心”，這時(shí)對于澳洲O、北美N、南美S陸地而言，其變換結(jié)果如圖1、2所示，“洋心”柵格離陸地5 147 641 m(小數(shù)點(diǎn)后數(shù)據(jù)略去)。

圖1 太平洋洋心和鄰近大洲的外距變換及Voronoi圖Fig.1 The center of the Pacific Ocean and distance transform of nearby continents and Voronoi diagram

2.2 第二次(細(xì))柵格距離精細(xì)計(jì)算

把分辨率擴(kuò)大，每一基礎(chǔ)柵格劃為M3×N3個(gè)細(xì)柵格，比如圖3中，N3=2000，相當(dāng)于1 m×1 m或相當(dāng)于0.03″×0.03″大小的柵格。這時(shí)陸地相當(dāng)于1∶1萬比例尺柵格化地形圖，且陸地外沿的陸地外緣線精確地通過該圖幅。顯然，距“洋心”最近的精細(xì)柵格與粗柵格所屬是不同的。采用以下計(jì)算過程進(jìn)行所需要粗柵格內(nèi)的精細(xì)運(yùn)算：

圖3 “洋心”柵格及其相鄰柵格與V線的距離關(guān)系Fig.3 The center grid of the Pacific Ocean and the distance relationship between its adjacent grids and V line

(6) 類同(3)、(4)、(5)，分別計(jì)算N1及S1各細(xì)柵格的距離。

(7) 上述(5)、(6)計(jì)算結(jié)果，即是“洋心”及鄰域的細(xì)柵格距離變換結(jié)果，其中距離最大距離值的細(xì)柵格，即是“洋心”所在。

圖4 若、、中心到O1、N1、S1中心精密距離已知，通過、、中任一細(xì)柵格對粗柵格中心位移，運(yùn)用微分公式，近似計(jì)算得到O1、N1、S1中心到、、中最近精細(xì)陸地線(即精細(xì)陸地細(xì)柵格)距離Fig.4 Distance calculation from the centers of O1, N1, S1 to the land line in , , based on the differential equation

圖5 由O1、N1、S1中心到、、中精細(xì)陸地線距離，O1、N1、S1中任一細(xì)柵格可通過對粗柵格中心位移，運(yùn)用微分公式，近似算得它到精細(xì)陸地線距離Fig.5 Fine-grid distance calculation from the ,, to the land line in , , based on the differential equation

2.3 雙重網(wǎng)格計(jì)算的復(fù)雜性討論

第二次(細(xì))柵格距離精細(xì)計(jì)算中(5)、(6)，對于三方計(jì)算為3×N3×N3，但“洋心”O(jiān)1點(diǎn)只是1個(gè)或2個(gè)，N1、S1類同；對兩方計(jì)算則是2×N3×N3，但對雙邊界線，O1將達(dá)21/2×Max(N1,N2)個(gè)。N1、S1類同。

總括上述，本計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜性為O(N3×N3×Max(N1,N2))，只有計(jì)算規(guī)模的一階復(fù)雜性，并且除(1)外，計(jì)算規(guī)模也不大，可實(shí)時(shí)完成并可視化。很明顯，空間復(fù)雜性也與之相匹配，也不再必須是O(N3×N3×N1×N2)的序貫運(yùn)算，大大縮減了復(fù)雜性。

3 分析和討論

本擴(kuò)展計(jì)算主要準(zhǔn)確度依據(jù)是微分公式(2)—(8)，因而在第一次準(zhǔn)確粗柵格變換基礎(chǔ)上，保證了第二次粗柵格內(nèi)的微小位移的細(xì)柵格距離計(jì)算具有確定的準(zhǔn)確性。在保證必要準(zhǔn)確度和距離源屬情況下，最為準(zhǔn)確的最短路徑及其上柵格的序貫銜接也就沒有太多考慮，或者可認(rèn)為在這個(gè)精度下是正確的。地球空間計(jì)算由本文第二部分雙重網(wǎng)格距離變換實(shí)施一節(jié)可知，(1)后的0.06″×0.06″細(xì)柵格計(jì)算誤差約0.086 m，而(2)及(3)、(4)、(5)、(6)后的誤差均約為0.17 m，此方法可保證最重要部位細(xì)柵格計(jì)算準(zhǔn)確性。由于粗、細(xì)柵格的尺寸可以根據(jù)區(qū)域大小和精度要求靈活設(shè)計(jì)，而目前微機(jī)一般均具有30 000×30 000柵格計(jì)算能力，還留有足夠余地，因而全球計(jì)算dm級(甚至更高)精度可以保證。

歐氏及地球空間兩種度量空間的地理計(jì)算中，雙重網(wǎng)格計(jì)算的精度決定于：①空間度量性質(zhì)；②初始網(wǎng)格大小，也即微分區(qū)間大小，區(qū)間越小，精度越高。這就要求第一次網(wǎng)格盡可能高的均衡密度；③計(jì)算精度與基量大小有關(guān)(如同dO1O1′)，也即基量越大，同樣大位移產(chǎn)生的變化越小。

雙重網(wǎng)格計(jì)算原則上也適合于多重網(wǎng)格計(jì)算，也即第二層可適合于多種分辨率，并具有多重精度。這對多尺度空間信息產(chǎn)品具有相當(dāng)大意義，其本質(zhì)適合于多尺度觀察與運(yùn)算。定義在多尺度空間上的度量信息可以這樣，其他信息在一定范圍內(nèi)也可仿照。它甚至完全能夠摒棄人的主觀因素影響很大的圖形概括，而直接利用多尺度的實(shí)測、實(shí)用地形圖，使界限劃分更加客觀、公平，摒棄直接人為因素。

基于雙重(或多重)網(wǎng)格計(jì)算上的多尺度可視系統(tǒng)具有普遍意義：它將是一個(gè)大尺度全域可視的、各重要的、特征部分(點(diǎn)、線)可隨機(jī)雙尺度或各種多尺度顯示，并實(shí)時(shí)給出各種滿足m級、dm級以上精度的特征數(shù)據(jù)顯示系統(tǒng)(類同圖5)。這對重要界線繪制等一類信息系統(tǒng)甚至是必須的。本文采用的多尺度度量和多尺度窗口，有別于通常狀況下的單尺度多窗口，對于空間的多尺度效應(yīng)是有較大意義的。

對整個(gè)雙重網(wǎng)格計(jì)算途徑進(jìn)行算法復(fù)核及常規(guī)檢驗(yàn)：按圖6實(shí)施了距離變換，其中左上角陸地代號為A，右上角陸地代號為B，下方陸地代號為C，其余區(qū)域均為海洋。粗柵格為100×100，每個(gè)柵格長寬均為100 m，每個(gè)粗柵格內(nèi)分為100×100個(gè)小柵格，細(xì)柵格長寬均為1 m，具體陸地的柵格坐標(biāo)設(shè)置如表1所示。這時(shí)，距A、B、C等距的外心可計(jì)算確定，粗、細(xì)柵格及兩重計(jì)算結(jié)果見圖7、表2。

圖6 平面區(qū)域陸地分布示圖Fig.6 Distribution map of A, B and C

圖7 計(jì)算結(jié)果Fig.7 Results of coarse

陸地粗柵格坐標(biāo)系細(xì)柵格坐標(biāo)系(左下角及右上角坐標(biāo))A(1,100)(1,9901)-(100,10000)B(100,81)(9900,8001)-(10000,8100) C(50,1)(4900,1)-(5000,100)

表2 粗、細(xì)柵格及兩重計(jì)算結(jié)果

上述距離變換中各方距離可視為等權(quán)距離，倘若引入加權(quán)距離概念，同樣可得到加權(quán)距離的“海心”、“陸心”，權(quán)比的V線(即比例線)等。

4 結(jié) 論

地球空間的運(yùn)算，在數(shù)萬公里的幅員內(nèi)實(shí)施是不可避免的，而當(dāng)要求兩點(diǎn)間距離空間精度達(dá)到米級或更高時(shí)，矢量計(jì)算沒有問題的，但它對某些空間問題而言，比如自然圖形(點(diǎn)集形態(tài))間的中間線和比例線類型的組合優(yōu)化問題往往相當(dāng)困難[22]，故很少見諸于文獻(xiàn)。由于自然圖形具有普遍性，而各種點(diǎn)集間距離恰恰與度量空間最短線程問題相連，也即往往是組合優(yōu)化問題，計(jì)算復(fù)雜性較高；采用面向空間的地圖代數(shù)(距離變換)柵格算法，理論上只需一階時(shí)間復(fù)雜性[21,23]，具有解決一些困難問題的能力[24-26]，但當(dāng)空間本質(zhì)上是幾百萬個(gè)柵格相乘的絕對計(jì)算量，或更大、更多維時(shí)，其空間、時(shí)間開銷仍是現(xiàn)今計(jì)算能力難以承擔(dān)，是地圖代數(shù)和所有柵格方法傳統(tǒng)短板。采用本雙重網(wǎng)格途徑，原理可靠，對象局部化，運(yùn)算簡單(用微分式)，第一次柵格計(jì)算絕對計(jì)算量只數(shù)千或數(shù)萬柵格陣的計(jì)算是通常柵格軟件現(xiàn)代計(jì)算能力均能輕松承擔(dān)的；第二次柵格計(jì)算只需離散計(jì)算所需有關(guān)各粗柵格中的細(xì)柵格集，也即各方距離波最前方，距各方距離最大、數(shù)值大小相均衡的粗柵格中的細(xì)柵格，而不再必須進(jìn)行全域的序貫運(yùn)算，極大地降低了計(jì)算開銷，突破了大區(qū)域度量計(jì)算的傳統(tǒng)禁區(qū)，使高精度空間柵格方法能夠明確實(shí)施，并且可在指定的相關(guān)區(qū)域內(nèi)實(shí)時(shí)實(shí)施，得到理論上精細(xì)柵格計(jì)算的同樣效果，具有重要意義。另外，本方法串接了柵格的多重運(yùn)算與多分辨率幾何關(guān)系，對于多分辨率圖形圖像科學(xué)問題的演繹和分析也將有重要的輔助作用。

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