A-φ方法在高頻電磁場計算中的應用

逯貴禎，陳濤，鄔麗云，康彤

(1.中國傳媒大學信息工程學院，北京100024；2.中國傳媒大學理學院，北京100024.)

1 引言

有限元方法早期在電磁場應用中，由于電磁場在不同媒質交界面處切向分量連續(xù)而法向分量間斷的特性，基于節(jié)點的基函數(shù)不能有效處理非均于介質問題，并且存在非物理解的問題[1-2]，因此早期大量研究是如何克服這些電磁學中特有的有限元求解問題。對于這兩個問題的研究大致分為兩類，一類是針對節(jié)點基函數(shù)的問題，提出新的基函數(shù)，包括基于棱邊的矢量有限元方法[3]。另一類是改變有限元的泛函表達式，包括使用不同的空間函數(shù)處理電磁場問題[1，4-6]。在離散單元的基函數(shù)研究中，基于棱邊的矢量基函數(shù)被認為可以很好地克服上述所提到的問題，也是目前計算電磁學中有限元的主流方法[2]。但是，基于棱邊單元的有限元方法需要對棱邊單元進行特殊的編號處理，而目前大部分網(wǎng)格處理軟件不支持對棱邊網(wǎng)格方法的支持。同時與相同精度的節(jié)點方法相比，未知量的數(shù)目要大于節(jié)點單元有限元方法[5]。另外，節(jié)點有限元方法具有棱邊有限元方法所不具有的優(yōu)點。首先，節(jié)點有限元方法的高階單元非常容易生成；其次對于多物理場問題，由于物理量都是定義在節(jié)點上，因此節(jié)點有限元方法適合于多物理場的分析。針對節(jié)點有限元方法在電磁場問題中的缺點，文[4]采用了罰函數(shù)方法消除非物理解，在罰函數(shù)方法中，通過加入無散度約束，排除了由矢量場散度不為零所帶來的偽解。文[1]對矢量場散度不為零帶來的非物理解問題進行了分析，認為非物理解不是理論上的原因，而是數(shù)值計算產(chǎn)生的。因此在合適的邊界條件下，亥姆霍茲方程的解不會混合有散度和無散度方程的數(shù)值解。從而可以避免非物理解產(chǎn)生。文[5]提出了一種基于節(jié)點有限元，采用矢勢與標勢函數(shù)計算電磁場的方法。該方法中矢勢與標勢函數(shù)均滿足亥姆霍茲類型的方程，根據(jù)規(guī)范條件要求，提出了兩種不同的規(guī)范，其中第一種規(guī)范標勢函數(shù)為零，對于介質邊界，可以通過加入強制的邊界條件滿足電場法向分量不連續(xù)的要求。第二種規(guī)范中，矢勢與標勢函數(shù)都是連續(xù)的，它們之間存在耦合關系，這種耦合性質是由于介質的非均勻性質產(chǎn)生。因此該方法可以有效處理電場在介質截面法向分量不連續(xù)的問題。

自從有了基于A-φ方法的節(jié)點有限元公式以后，對實際三維工程問題的應用還很少在文獻中見到。對于工程問題，需要考慮A-φ方法中矢勢和標勢函數(shù)邊界條件的實現(xiàn)方法。本文分別對波導端口，散射吸收邊界進行了分析，給出了相應的邊界條件實現(xiàn)，并且與基于棱邊的矢量有限元方法進行了比較，證明了該方法的正確性。對于不均勻介質，分析了矢勢和標勢通過不連續(xù)介質界面的變化情況，以及電場通過不連續(xù)介質的變化情況，從而更清楚地了解A-φ方法能夠處理不同媒質交界面處場量不連續(xù)的特點。

2 標勢與矢勢有限元公式

根據(jù)電磁場理論，電場與磁場可以用矢勢和標勢函數(shù)表示為，

(1)

(2)

把1)式代入電場的麥克斯韋公式，得到，

(3)

▽·▽

(4)

為了唯一規(guī)定矢勢和標勢函數(shù)，需要加上規(guī)范條件，Boyse[5]給出了兩種規(guī)范條件，第一種規(guī)范條件規(guī)定矢勢和標勢的關系為：

▽·2μφ

(5)

第一種規(guī)范條件要求矢勢函數(shù)在不連續(xù)界面有一個跳變，與通常對電場和磁場函數(shù)的要求是一樣的。在第一種規(guī)范條件下，矢勢方程與標勢方程之間沒有耦合，同時矢勢方程與標勢方程都是準亥姆霍茲方程，它們可以給出唯一的，穩(wěn)定的無散度麥克斯韋方程解。但是仍然存在界面不連續(xù)的問題。第二種規(guī)范條件由6)式給出：

(6)

第二種規(guī)范條件允許矢勢和標勢函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，其中包括在不連續(xù)界面，因此適合基于節(jié)點方法的有限元。但是矢勢方程與標勢方程之間在非均勻介質情況下存在耦合，同時每個節(jié)點需要4個自由度。同樣地，它們可以給出唯一的，穩(wěn)定的無散度麥克斯韋方程解?？紤]在第二種規(guī)范條件的矢勢和標勢函數(shù)滿足的方程為：

(7)

-▽·▽▽=P

(8)

第一類邊界條件，

(9a)

(9b)

φ=0

(9c)

第二類邊界條件，

(10a)

(10b)

(10c)

利用迦略金方法可以得到弱形式的有限元公式

(11)

從以上公式可以看到，當存在不均勻介質時，標勢方程和矢勢方程存在互偶。

3 應用舉例

自從Boyse提出高頻A-φ有限元方法以后，1992年給出了關于非均勻介質中有限元計算結果[5]。當時主要是針對二維不均勻介質問題。1997年Boyse給出了針對理想導體問題提出了阻抗邊界條件[6]。1998年提出了基于節(jié)點的PML有限元方法[7]。然而對于三維電磁場的高頻問題的求解還沒有在文獻中見到。本文的工作是考慮方法的三維應用，特別是針對常見的工程問題的邊界條件設置進行了分析研究。在工程應用中，主要是兩類問題，一類是開域問題，邊界條件主要是應用散射邊界條件；第二類是封閉區(qū)域問題，波導中電波傳播是一種典型的問題，其邊界條件主要考慮端口邊界條件。下面我們針對這兩類問題，研究基于節(jié)點的有限元方法邊界條件的設置問題，給出相應典型問題的應用。

3.1 矩形波導

矩形波導是很重要的微波器件，利用有限元A-φ方法求解波導傳輸問題，端口邊界條件的設置是非常重要的。利用有限元方法求解研究矩形波導電波傳播問題，端口的邊界條件由12)式?jīng)Q定，

(12)

為了討論節(jié)點有限元處理非均勻介質中場量不連續(xù)問題的能力，研究一個波導中有介質片的基本問題?？紤]如圖1所示矩形波導的電波傳播問題，矩形波導中有一個介質片，相對介電常數(shù)等于10.對于該波導，由于存在介質片的不均勻性，傳統(tǒng)的基于節(jié)點方法的有限元公式會出現(xiàn)偽解的問題。但是采用A-φ方法，可以很好地解決這個問題。圖2給出了電場Ez分量的場分布計算結果，圖2a)是采用棱邊方法計算的結果，圖2b)是采用節(jié)點有限元計算的結果，可以看到兩個計算結果是一致的。

圖1 理想導體矩形波導尺寸：a=1.9 cm，b=0.95 cm，l=3 cm；波導中心有一個介質片，長1cm，高0.75 cm，厚0.05cm，相對介電常數(shù)10

(a)理想導體矩形波導中電場空間分布，工作頻率15GHz，采用基于棱邊單元的有限元方法

(b)理想導體矩形波導中電場空間分布，工作頻率15GHz，采用基于節(jié)點單元的A-φ方法圖2

為了研究介質不連續(xù)對場分布的影響，考慮介質片位置如圖3所示。在圖3中所畫線段是計算中研究場分布的路徑，由于路徑穿過不連續(xù)介質，電場的垂直分量會發(fā)生不連續(xù)的變化。在傳統(tǒng)節(jié)點有限元中，由于電場在節(jié)點是連續(xù)的，因此不能處理這類不連續(xù)問題。然而，對于A-φ方法，矢勢A和標勢φ在節(jié)點都是連續(xù)函數(shù)，不連續(xù)性由φ的梯度產(chǎn)生，因此A+▽φ組合在一起，可以處理這類不連續(xù)問題。

圖3 理想導體與介質片參數(shù)同圖1，介質片平行放置，研究電場穿過介質片的變化分布

從圖4的曲線可以看出，通過不均勻介質界面時，矢勢是連續(xù)函數(shù)。由于矢勢是連續(xù)函數(shù)，因此采用基于節(jié)點的基函數(shù)就不會出現(xiàn)傳統(tǒng)采用電場函數(shù)所帶來的問題。然而，盡管矢勢是連續(xù)函數(shù)，由它和標勢函數(shù)的梯度疊加形成的電場函數(shù)滿足原來的電磁場邊界條件。

3.2 導體球散射

導體球散射是屬于開域問題，散射邊界對計算結果影響很大。在A-φ方法中，矢勢滿足的輻射邊界條件為與電場滿足的邊界條件相同，標勢在輻射邊界規(guī)定為零。導體邊界同樣用阻抗邊界條件進行了處理。對于矢勢和標勢，相應的輻射邊界條件為：

(a)電場z分量通過不連續(xù)介質的分布曲線，工作頻率15GHz

(b)矢勢z分量通過不連續(xù)介質的分布曲線，工作頻率15GHz

(c)標勢梯度z分量通過不連續(xù)介質的分布曲線，工作頻率15GHz圖4

( 13a)

φ=0

(13b)

圖5 導體球散射問題，考慮散射問題的對稱性，計算四分之一結構，球半徑0.01米，邊界邊長0.1米

圖6給出了導體球的歸一化散射截面隨頻率變化曲線和解析解的比較，計算結果和解析解吻合很好。

圖6 歸一化雷達散射界面隨頻率變化曲線

4 結論

論文基于A-φ節(jié)點有限元方法研究了波導中電波傳輸問題和理想導體球的散射問題。在A-φ方法中，選擇合適的洛倫茨規(guī)范可以得到適合采用基于節(jié)點基函數(shù)的有限元公式。該公式可以避免采用電磁場作為求解函數(shù)所帶來的偽解和不均勻介質出現(xiàn)的不連續(xù)問題。計算結果表明通過施加適當?shù)倪吔鐥l件，基于節(jié)點的有限元方法可以得到與棱邊單元相同的計算結果。同時，對于非連續(xù)介質情況，盡管矢勢通過不連續(xù)界面是連續(xù)的，但是電場的法向不連續(xù)性和棱邊方法電場的法向不連續(xù)結果是一致的。對于散射問題，考慮的對稱性，理想導體邊界條件，計算區(qū)域存在90度兩面直角，對于這類導體問題，節(jié)點方法在夾角附近存在雜散場解問題，通過采用阻抗邊界條件可以有效克服這些問題。理想球體散射A-φ節(jié)點有限元方法的數(shù)值結果與解析結果進行比較，可以看到兩結果符合很好。

參考文獻：

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