數(shù)學(xué)解題思維特征及解題策略構(gòu)建

摘 要：數(shù)學(xué)解題策略是以靈活的解題思維為基礎(chǔ)的，掌握數(shù)學(xué)解題思維的特征與構(gòu)建解題策略的有效方法，能夠提高學(xué)生的解題速度和質(zhì)量。結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)教學(xué)解題思維的特征和解題思維全過程進(jìn)行分析，探討數(shù)學(xué)解題策略構(gòu)建的技巧，對(duì)開展數(shù)學(xué)解題思維教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；解題思維；解題策略

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2013）07-0303-02

前言

數(shù)學(xué)解題過程中需要學(xué)生進(jìn)行精準(zhǔn)的判斷，快速解答，因此不能形成僵化的解題思維，必須具備靈活變通的特點(diǎn)，善于利用所學(xué)的知識(shí)來構(gòu)建解題策略，充分運(yùn)用靈活解題思維和技巧解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)學(xué)解題思維特征

首先，數(shù)學(xué)解題需要具有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的思維特征。眼睛能夠讓我們觀察事物，思維能夠讓我們認(rèn)識(shí)事物，通過對(duì)數(shù)學(xué)題目的細(xì)致觀察，有目的、有計(jì)劃地透過題目表面觀察題目的本質(zhì)[1]。這也是能夠快速和正確解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含了各種條件之間的復(fù)雜聯(lián)系，通過細(xì)致的觀察和思考，清晰掌握各個(gè)條件之間的關(guān)系，才能夠找到合適的解題方法，這也是數(shù)學(xué)解題思維的要點(diǎn)。

例如：已知a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，求證≥（a-c）2 + （b-d ）2。一般的解題思路需要從題目的形式進(jìn)行觀察，得出要證明的結(jié)論右端部分與平面上兩點(diǎn)間的距離公式十分相似，則可以將左端部分看做點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。那么根據(jù)題目的本質(zhì)可以構(gòu)建如下的解題策略。

設(shè)A（a，b），B（c，d ），與原點(diǎn)（0，0）構(gòu)成三角形（如圖1所示）。得到AB=（a-c）2 + （b-d ）2，OA=a2+b2，OB =c2+d2，那么根

圖1

據(jù)三角形三條邊的關(guān)系（三角形兩邊之和大于第三邊）可以得到需要求證的題目。

其次，數(shù)學(xué)解題需要具有善于聯(lián)想的思維特征。聯(lián)想是將問題轉(zhuǎn)化為實(shí)際所學(xué)知識(shí)的橋梁。學(xué)生所學(xué)的知識(shí)范圍較廣，深度較大，表面上數(shù)學(xué)題目與學(xué)生所學(xué)知識(shí)關(guān)聯(lián)性不大，但是細(xì)心挖掘可以通過間接的、隱藏的關(guān)聯(lián)找出最快速的解決方法[2]。

例如：如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0成立，證明2y=x+z。一般的解題思路是通過因式分解來進(jìn)行推論，但是這種思維方式解題較慢。如果注意觀察，能夠發(fā)現(xiàn)已知條件的左側(cè)與學(xué)生熟知的一元二次方程的判別式形式一致，通過聯(lián)想，借助一元二次方程的相關(guān)知識(shí)來解決問題就變得簡單多了。

（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x-y≠0）可以被看做是一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程（z-x）t2-（z-x）t+（y-z） =0的兩根相等，進(jìn)一步觀察后可以得到這個(gè)方程的兩個(gè)相等實(shí)根是1，根據(jù)韋達(dá)定理可以得到：=1，也就可以得到2y=x+z。反之，在x=0的情況下直接得出2y=x+z。可以簡單快速得出題目結(jié)論。

最后，數(shù)學(xué)解題需要具有善于轉(zhuǎn)化問題的思維特征。國內(nèi)外數(shù)學(xué)研究相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道都指出，數(shù)學(xué)解題就是命題的連續(xù)變換過程，解題是通過轉(zhuǎn)化問題而得出結(jié)論的[3]。通俗地說就是將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為若干簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)的過程[4]。

例如：已知a+b+c=++=1，求證a、b、c中至少有一個(gè)為1。一般地，學(xué)生遇到這種結(jié)論并未直接用數(shù)學(xué)式子表示的數(shù)學(xué)題比較頭疼。因此需要采用將復(fù)雜題目轉(zhuǎn)化為容易解決的明顯題目的轉(zhuǎn)化問題思維。

由題目可知a、b、c中至少有一個(gè)為1，則（a-1）、（b-1）、（c-1）中至少有一個(gè)為0，也就是（a-1）×（b-1）×（c-1）=0。由題目a+b+c=++=1可以得到abc-（ab+ac+bc-1）+（a+b+c）=0，那么（a-1）（b-1）（c-1）=abc-（ab+ac+bc-1）+（a+b+c）=0，則可以得出a、b、c中至少有一個(gè)為1。

許多學(xué)生只能夠想到在已知條件上進(jìn)行各種各樣的變化，卻忽視了將文字形式的結(jié)論轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式的數(shù)學(xué)式子。學(xué)會(huì)這種靈活轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，就能夠輕松構(gòu)建解題策略。

總之，數(shù)學(xué)解題思維具有變通性，學(xué)生不能夠形成思維定勢(shì)，限制解題的靈活性。記類型、套公式、記方法都是不可取的，它是學(xué)生發(fā)散思維，提高多元化解題能力的主要障礙[5]。

二、數(shù)學(xué)解題思維過程分析

數(shù)學(xué)解題的思維過程一般包括理解問題、探索思路、轉(zhuǎn)化問題和解決問題幾個(gè)環(huán)節(jié)，通?？梢园凑者@幾個(gè)環(huán)節(jié)分階段進(jìn)行解題策略構(gòu)建。

首先是審題，審題過程中需要細(xì)致觀察題目的條件和要求，深入挖掘條件中的關(guān)聯(lián)元素，從所學(xué)知識(shí)中找出符合的內(nèi)容，在思維中構(gòu)建解題條件和知識(shí)間的關(guān)系[6]。也就是這一環(huán)節(jié)的解題思維重心在問題的理解上。其次是探索解題方法。通過有目的的嘗試不同知識(shí)的組合，盡可能將未知的復(fù)雜題目轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的簡單內(nèi)容，選擇最佳的解題方案，構(gòu)建解題策略[7]。這一環(huán)節(jié)的思維重心則是問題的轉(zhuǎn)換，通過探索和嘗試確定解題策略，調(diào)整解題計(jì)劃。第三是解題策略的實(shí)施過程，也就是將已經(jīng)成熟的解題策略完整的展現(xiàn)，書寫解答過程。這一環(huán)節(jié)是解題思維中最重要的，包含了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能通過思維的靈活運(yùn)用和具體表達(dá)。最后是檢查與反思。數(shù)學(xué)題目解答完畢后需要對(duì)最終結(jié)果進(jìn)行檢查和分析，及時(shí)發(fā)現(xiàn)思維漏洞進(jìn)行補(bǔ)充。當(dāng)然，這個(gè)環(huán)節(jié)往往得不到學(xué)生的重視，通過問題的反思不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生較為成熟的數(shù)學(xué)解題思維，還可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)知識(shí)的漏洞，在思維中進(jìn)行系統(tǒng)化整理[8]。

三、數(shù)學(xué)解題策略構(gòu)建技巧

數(shù)學(xué)解題策略的核心就是變換，將復(fù)雜的問題變化為幾個(gè)簡單的知識(shí)點(diǎn)，通過將幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)起來找到解題的正確思路。這就需要學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)解題思維，熟悉解題策略構(gòu)建。通常數(shù)學(xué)解題策略構(gòu)建的技巧包括熟悉題型、知識(shí)和輔助元素的使用，問題的繁簡轉(zhuǎn)化，問題的直觀化轉(zhuǎn)化，問題的一般與特殊轉(zhuǎn)化，從局部到整體，由直接變間接等幾種[9]。

1.熟悉題型、知識(shí)和輔助元素主要是指熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)、解題模式，積累解題經(jīng)驗(yàn)，遇到陌生題目時(shí)可以聯(lián)系以往做過的相似題型進(jìn)行解題策略的借鑒。不能借鑒的可以從結(jié)構(gòu)上進(jìn)行分析，以自身對(duì)題目結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)和理解為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行解題。當(dāng)然必要的輔助元素，如點(diǎn)、線、面的輔助作圖，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等，都是必不可少的[10]。通過全方位分析題意，充分利用所學(xué)知識(shí)構(gòu)建解題策略。

2.問題的繁簡轉(zhuǎn)化主要是將結(jié)構(gòu)和內(nèi)容較為復(fù)雜，讓人感覺無從下手的題目轉(zhuǎn)化為一道或幾道較為簡單的題目，通過啟發(fā)思路，由簡入繁，推出復(fù)雜問題的解題策略[11]。由簡入繁其實(shí)也是熟悉題型、知識(shí)和輔助元素的補(bǔ)充和發(fā)揮。

3.問題的直觀化轉(zhuǎn)化通俗地說就是將抽象的、難以入手的問題轉(zhuǎn)化為具體、直觀的，便于學(xué)生理解和解答的問題，以便找到解題思路。問題的直觀化轉(zhuǎn)化方法較多，可以構(gòu)建圖形，直觀顯示題目中的各個(gè)條件，以便分析各條件之間的關(guān)聯(lián)性；也可以構(gòu)建圖表，將數(shù)據(jù)的增減具象化；也可以采用繪制圖象進(jìn)行函數(shù)變化直觀體現(xiàn)。這都可以幫助學(xué)生巧妙構(gòu)建解題策略，延伸做題思路[12]。

4.問題的一般與特殊轉(zhuǎn)化是雙向的。當(dāng)學(xué)生遇到難以入手的一般性題目時(shí)，可以采用引入特殊數(shù)值或者特殊條件得出題目某一特殊情況下的結(jié)論，以此為突破口，找尋解題的規(guī)律，最終發(fā)現(xiàn)原題目的解題思路。另一方面，遇到內(nèi)容較為復(fù)雜，各項(xiàng)條件關(guān)聯(lián)并不明顯的特殊題目時(shí)，可以由特殊數(shù)值或特殊條件延伸到一般規(guī)律，引申到學(xué)生熟知和掌握的一般知識(shí)，揭示出事物的所屬本質(zhì)，幫助學(xué)生迅速作出判斷，構(gòu)建正確解題策略[13]。

5.從局部到整體主要是指在解題過程中某一局部處理過程受到阻礙時(shí)可以切換視角，從整體入手，全面分析問題，從整體的特性中找到解決局部問題的突破口。

6.由直接變間接則是當(dāng)學(xué)生遇到正面難以解決的問題時(shí)，采取迂回的策略，采取間接的方式來得出需要的結(jié)論。這就需要學(xué)生靈活轉(zhuǎn)變思維方向，不要陷入思維定式，這樣反而更容易得出正確的解題方法。

結(jié)束語

總之，數(shù)學(xué)解題思維是構(gòu)建有效解題策略的重要基礎(chǔ)，研究數(shù)學(xué)解題思維的特征與構(gòu)建解題策略的方法，對(duì)開展教學(xué)活動(dòng)具有重要指導(dǎo)意義，也能夠提高老師對(duì)數(shù)學(xué)解題思維及構(gòu)建解題策略技巧的掌握性。

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