規(guī)劃求解0—1模型在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用

摘 要：隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，企業(yè)對(duì)財(cái)務(wù)管理的要求越來(lái)越高，隨之而來(lái)的是規(guī)劃求解模型在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。本文針對(duì)excel的規(guī)劃求解工具中的0-1模型在資本預(yù)算和人力資源管理中的應(yīng)用進(jìn)行了初步探討，從其模型構(gòu)建原理的分析到模型的具體建立過(guò)程展開(kāi)較為詳盡的闡述，以期使規(guī)劃求解這一靈活方便的決策輔助工具能在日常企業(yè)經(jīng)濟(jì)管理中能夠得到充分深入的應(yīng)用。

關(guān)鍵字：規(guī)劃求解 0-1模型 資本預(yù)算 人力資源管理

經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中人們經(jīng)常面臨如何在有限條件下實(shí)現(xiàn)資源最優(yōu)配置以獲取最佳經(jīng)濟(jì)效益的問(wèn)題，如：在資金有限的情況下確定實(shí)施哪些項(xiàng)目才能獲得最大投資回報(bào)；在既定機(jī)器工時(shí)的前提下如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn)；如何進(jìn)行倉(cāng)庫(kù)選址、如何進(jìn)行貨物配送才能使貨運(yùn)成本最低，等等。這些都需要進(jìn)行認(rèn)真的規(guī)劃分析才能找到最優(yōu)方案，這些問(wèn)題中通常要涉及到諸多關(guān)聯(lián)因素和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等方法是研究和解決該類(lèi)問(wèn)題的有效數(shù)學(xué)方法，但數(shù)學(xué)模型求解過(guò)程的復(fù)雜計(jì)算往往令管理者望而卻步。其實(shí)，在EXCEL軟件中有規(guī)劃求解工具可以幫助我們解答這些最優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)建立規(guī)劃模型可以使諸多復(fù)雜問(wèn)題迎刃而解。

一、規(guī)劃求解概述

下面先讓我們來(lái)簡(jiǎn)單了解一下構(gòu)建優(yōu)化模型的幾個(gè)關(guān)鍵要素：

1. 確定目標(biāo)函數(shù)方程

目標(biāo)函數(shù)方程就是我們?cè)诮?jīng)濟(jì)問(wèn)題中要達(dá)到的目標(biāo)與各種影響因素間變化關(guān)系的數(shù)學(xué)描述。這個(gè)目標(biāo)方程要通過(guò)公式的形式存放在一個(gè)單元格中，并且要明確這個(gè)目標(biāo)的值要達(dá)到最大、最小或者等于一個(gè)確定的值，以便在規(guī)劃求解時(shí)求解實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)的最優(yōu)方案。在規(guī)劃求解器中該單元格被稱之為目標(biāo)單元格。

2. 明確決策變量

決策變量即在目標(biāo)方程中通過(guò)自身的變化可以改變或調(diào)整目標(biāo)單元格的值以達(dá)到最終目標(biāo)的因素。它通常存放在一個(gè)或多個(gè)單元格區(qū)域中，在規(guī)劃求解器中被稱為可變單元格。規(guī)劃求解器求解的結(jié)果就是要得到能實(shí)現(xiàn)最終目標(biāo)的可變單元格的值，即目標(biāo)方程諸多可能解中的最優(yōu)解。

3. 約束條件

各種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)都是在諸多限制條件下進(jìn)行的，構(gòu)建優(yōu)化模型的另一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是給出求解目標(biāo)值的約束條件，它們通?？梢员硎鰹橐唤M關(guān)系表達(dá)式。需要注意的是在進(jìn)行規(guī)劃求解時(shí)往往有一些隱形條件容易被忽視，如決策變量必須為整數(shù)單位、不能為負(fù)數(shù)等。全面而合理的約束條件設(shè)定是得到正確結(jié)果的關(guān)鍵所在。

4. 0-1模型

有些問(wèn)題是典型的0-1模型問(wèn)題。即決策變量中的一個(gè)因素只有兩種存在狀態(tài)，其取值非此即彼，就像電源開(kāi)關(guān)一樣非開(kāi)即關(guān)。如在限額條件下的項(xiàng)目選擇問(wèn)題，每個(gè)項(xiàng)目最終只有被選中或沒(méi)被選中兩種結(jié)果；選址問(wèn)題中最終要明確每個(gè)備選地選中或沒(méi)被選中；人員排班中的在崗或不在崗，等等。這類(lèi)問(wèn)題都可歸類(lèi)于0-1模型（二進(jìn)制）的解決范疇。

下面，通過(guò)兩個(gè)典型案例分析來(lái)討論0-1模型規(guī)劃求解的應(yīng)用

二、0-1模型在資本預(yù)算中的應(yīng)用

（一）問(wèn)題的提出

每年在各個(gè)公司的投資決策中都會(huì)面臨這樣的選擇：如某藥業(yè)集團(tuán)股份有限公司會(huì)考慮開(kāi)發(fā)研制哪些新藥品；軟件開(kāi)發(fā)公司正在決策應(yīng)該投資30個(gè)軟件項(xiàng)目中的哪些個(gè)；手表生產(chǎn)商正在決定研發(fā)哪些款式的手表等等。大多數(shù)企業(yè)都希望實(shí)施那些在資本有限的情況下可以貢獻(xiàn)最大凈現(xiàn)值的項(xiàng)目。到底該如何確定最優(yōu)的投資項(xiàng)目組合呢？通過(guò)建立0-1規(guī)劃模型并利用規(guī)劃求解工具進(jìn)行求解是最恰當(dāng)不過(guò)的。

案例描述：某公司有10個(gè)可供實(shí)施的備選項(xiàng)目，高層管理人員正在考慮從中選擇哪些項(xiàng)目最為恰當(dāng)。表1列示了基本預(yù)算情況，包括每個(gè)項(xiàng)目可貢獻(xiàn)的凈現(xiàn)值和需要的投資額度（以萬(wàn)位單位）。例如：項(xiàng)目2預(yù)計(jì)第1年投資400萬(wàn)元，第2年投資20萬(wàn)元，該項(xiàng)目可獲得260萬(wàn)元的凈現(xiàn)值。該企業(yè)在第1年和第2年的資金使用限額分別為1400萬(wàn)和260萬(wàn)元。要求建立一個(gè)選擇最優(yōu)項(xiàng)目組合的模型

（二）構(gòu)建最優(yōu)模型

1. 模型構(gòu)建原理分析

在有重多投資項(xiàng)目可供選擇而資金又有限的前提下，該公司必須決定是否應(yīng)該實(shí)施每個(gè)項(xiàng)目。在決定做和不做某一個(gè)事情的情形下，有效的建模方式是使用一系列二元可變單元格來(lái)反映每個(gè)項(xiàng)目的最終決策結(jié)果，該系列單元格的值只有0或1兩種狀態(tài)，當(dāng)對(duì)應(yīng)某一個(gè)項(xiàng)目的二元可變單元格內(nèi)的值為1時(shí)，表示實(shí)施該項(xiàng)目，當(dāng)對(duì)應(yīng)某一個(gè)項(xiàng)目的二元可變單元格內(nèi)的值為0時(shí)，表示不實(shí)施即放棄該項(xiàng)目。建模基本原理分析如下：

假設(shè)有n個(gè)獨(dú)立的項(xiàng)目，其初始投資額和凈現(xiàn)值分別為 和NPV （j=1，2，…，n），資金限額為 。決策變量為 ，當(dāng) =0時(shí)表示j項(xiàng)目不會(huì)實(shí)施被放棄，當(dāng) =1時(shí)表示j項(xiàng)目會(huì)實(shí)施已被選中。同時(shí)我們假設(shè)不能實(shí)施一個(gè)項(xiàng)目中的某一個(gè)部分，即如果只分配了某項(xiàng)目需求資金的一部分，得到的是一個(gè)不會(huì)帶來(lái)任何收益的無(wú)效項(xiàng)目。我們的目標(biāo)是要使選中的項(xiàng)目產(chǎn)生凈現(xiàn)值最大化。目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的限制條件是不超出資金限額。則以上分析用數(shù)學(xué)函數(shù)表示如下：

目標(biāo)方程：max{NPV}=max{

決策變量： =1或0

約束條件：

2. 建立模型

首先在工作表B2：E14區(qū)域內(nèi)把給定的已知條件表示出來(lái)。其次設(shè)定決策變量，為了解決問(wèn)題我們?cè)O(shè)定10個(gè)決策變量存放在G4：G13區(qū)域內(nèi)，分別表示10個(gè)項(xiàng)目的選擇結(jié)果，如果選中對(duì)應(yīng)單元格的值為1，如果未被選上對(duì)應(yīng)單元格為0，這10個(gè)單元格初值都為0。模型求解的目標(biāo)是使得最優(yōu)項(xiàng)目組合的凈現(xiàn)值之和最大，為此將求解目標(biāo)即組合凈現(xiàn)值之和表述在G15單元格內(nèi)，其公式表示為：G15=SUMPRODUCT（C4：C13，G4：G13）。該模型的限制條件為最優(yōu)組合項(xiàng)目各年所需的投資額度不超過(guò)相應(yīng)年度的資金限額，為此分別在單元格C19和D19內(nèi)輸入公式表述約束條件，C19=SUMPRODUCT（D4：D13，G4：G13），D19=SUMPRODUCT（E4：E13，G4：G13）。另外，為了便于決策者查看決策結(jié)果，在H4：H13區(qū)域內(nèi)分別輸入公式使得當(dāng)某一個(gè)項(xiàng)目被選中時(shí)該項(xiàng)目名稱在相應(yīng)的單元格內(nèi)顯示出來(lái)。先在H4單元格內(nèi)輸入公式H4=IF（ROUND（G4）=1，B4，\"\"），然后拖拽填充句柄將公式依次復(fù)制至H13。至此，建立最優(yōu)模型已經(jīng)在工作表中表述完畢，如圖1所示。

圖1：資本預(yù)算模型

（三）規(guī)劃求解

執(zhí)行“工具——規(guī)劃求解”命令，打開(kāi)設(shè)置規(guī)劃求解參數(shù)界面，

圖2 規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置界面

其中目標(biāo)單元格為$G$15，即所有最佳項(xiàng)目組合的凈現(xiàn)值之和，目標(biāo)為“等于最大值”；可變單元格為$G$4：$G$13，即每個(gè)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)決策變量的取值，應(yīng)為0或1，初值均為0（注：0未顯示）；約束條件有兩個(gè)：第一，$C$19：$D$19<=$D$14：$E$14，即求解得到的最優(yōu)項(xiàng)目組合所需的前兩年的投資分別不能超過(guò)對(duì)應(yīng)年度公司可提供的資金限額；第二，$G$4：$G$13=二進(jìn)制，即每個(gè)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)求解變量的取值只能為1或0。其中第二的條件的添加界面如圖3所示。

同時(shí)，在“規(guī)劃求解選項(xiàng)”中設(shè)定“采用線性模型”。完成上述設(shè)置后單擊“確定”按鈕，規(guī)劃求解器即計(jì)算得出結(jié)果，如圖4所示。從模型求解結(jié)果可知，最優(yōu)項(xiàng)目組合為：項(xiàng)目1、3、5、6、7、8、9，共需要企業(yè)第1年投入資金1380萬(wàn)元，第2年投入資金240萬(wàn)元，預(yù)計(jì)可給企業(yè)帶來(lái)1465萬(wàn)元的凈現(xiàn)值。

圖4 最優(yōu)項(xiàng)目組合資本預(yù)算結(jié)果

（四）問(wèn)題的延伸

在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題操作過(guò)程中可能面臨著較為復(fù)雜的情況。比如：有些項(xiàng)目間有互依或互斥等關(guān)系，解決這類(lèi)問(wèn)題就需要添加新的約束條件使得上面所述的求解模型進(jìn)一步完善。下面就幾個(gè)有代表性的假設(shè)案例來(lái)分析。

1. 如果實(shí)施項(xiàng)目3必須先實(shí)施項(xiàng)目2。

對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們先來(lái)分析一下，它對(duì)應(yīng)著一下幾種情況：（1）如果項(xiàng)目3被選入最優(yōu)項(xiàng)目組合則項(xiàng)目2也一定被選入，即兩者的對(duì)應(yīng)決策變量同時(shí)為1；（2）如果不實(shí)施項(xiàng)目3對(duì)于項(xiàng)目2沒(méi)有影響，也就是項(xiàng)目2可能實(shí)施也可能不實(shí)施，即項(xiàng)目3的對(duì)應(yīng)決策變量如果取0，則項(xiàng)目2的決策變量可能取1也可能取0。綜上所述可以確定項(xiàng)目3的決策變量取值不會(huì)超過(guò)項(xiàng)目2的決策變量值，因此該限定條件的公式表述為：G5-G6>=0。

2. 項(xiàng)目6和項(xiàng)目7互依

兩個(gè)項(xiàng)目互依就意味著這兩個(gè)項(xiàng)目要么同時(shí)實(shí)施，要么兩個(gè)都不實(shí)施，也就是兩個(gè)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)的決策變量要么同時(shí)為1，要么同時(shí)為0。因此這個(gè)限定條件的公式表述可以是：G9-G10=0。

3. 項(xiàng)目1和項(xiàng)目5互斥

兩個(gè)項(xiàng)目互斥的意思是兩個(gè)項(xiàng)目不能同時(shí)并存。即實(shí)施項(xiàng)目1就不能實(shí)施項(xiàng)目3，反之亦然，但可以都不實(shí)施。因此該限定條件的公式表述為：G4+G8<=1

4. 項(xiàng)目7、8和9三項(xiàng)目必選且只能選一

即三個(gè)項(xiàng)目的對(duì)應(yīng)決策變量一定有且只有一個(gè)為1，其余為0，可將該限定條件的公式表述為：G10+G11+G12=1。

將上述分析的結(jié)果在工作表中的規(guī)劃模型中表述出來(lái)，在區(qū)域$B21：$F$25填寫(xiě)如圖5所示的內(nèi)容。

然后在規(guī)劃求解工具中添加新的約束條件并進(jìn)行求解計(jì)算，得到結(jié)果如圖6所示。在新的約束條件下最優(yōu)項(xiàng)目組合為項(xiàng)目1、2、3、4、8，可獲得1260萬(wàn)元的預(yù)計(jì)凈現(xiàn)值。

三、0-1模型在人力資源管理中的應(yīng)用

（一）問(wèn)題的提出

有許多生產(chǎn)和服務(wù)單位如鋼鐵、煤碳、石油天然氣生產(chǎn)企業(yè)、銀行、飯店、移動(dòng)通訊服務(wù)等需要全年365天無(wú)休息式連續(xù)經(jīng)營(yíng)，如何高效地安排勞動(dòng)力以滿足經(jīng)營(yíng)需求是這些機(jī)構(gòu)經(jīng)常面臨的問(wèn)題，而這些問(wèn)題經(jīng)常使管理者頭痛不已。其實(shí)，可以使用excel規(guī)劃求解器來(lái)輕松解決這一問(wèn)題。

案例描述：某移動(dòng)通信服務(wù)商的客戶服務(wù)部門(mén)需要一天24小時(shí)有人接聽(tīng)客戶的電話，每位接線員6小時(shí)輪班工作：早上8點(diǎn)至下午2點(diǎn)，下午2點(diǎn)至晚上8點(diǎn)，晚上8點(diǎn)至凌晨2點(diǎn)，陵晨2點(diǎn)至早上8點(diǎn)。經(jīng)預(yù)測(cè)分析一天中的各時(shí)段打入的咨詢電話數(shù)量不同，因而需要的電話接線員數(shù)量不同，

那么，在滿足各時(shí)段接聽(tīng)任務(wù)量需求的前提下，客戶服務(wù)部門(mén)每天最少需要多少接線員？請(qǐng)構(gòu)建最優(yōu)模型來(lái)解決問(wèn)題。

（二）構(gòu)建最優(yōu)模型

1. 模型構(gòu)建原理

建立0-1規(guī)劃模型的基本原理如下所述：

設(shè)有n各班次，每班次所需人數(shù)為Xi，

目標(biāo)函數(shù)：MIN{X}=MIN{ } 求解各班次人數(shù)之和的最小值就是客服部需要的最少接線員數(shù)量。

決策變量：Xi分別代表每班次人數(shù)

其中：Am*n=

N為每天安排的班次數(shù)

M為一天24小時(shí)的整點(diǎn)數(shù)

A矩陣存放各班次人員在一天中每個(gè)整點(diǎn)時(shí)的在崗狀態(tài)，在崗為1，不在崗為0。即amn=0或1。

C為每個(gè)時(shí)間段實(shí)際在崗的接線員數(shù)量。

限制條件：Xi為非負(fù)整數(shù)，C大于等于每個(gè)時(shí)間段所需的接線員數(shù)量。

2. 建立模型

（1）為滿足各時(shí)段業(yè)務(wù)量對(duì)接線員的需求，需要跟蹤每一時(shí)段在崗的接線員數(shù)量。首先，在工作表區(qū)域B3：E26每個(gè)單元格中輸入1或0，單元格值為1代表該單元格所在列的那個(gè)班次的接線員在該單元格所在行的那個(gè)時(shí)間點(diǎn)在崗工作。例如：?jiǎn)卧馛10內(nèi)的值為1說(shuō)明班次2即下午14點(diǎn)到晚上8點(diǎn)班次的接線員在下午3點(diǎn)時(shí)在崗工作。單元格E10內(nèi)的值為0說(shuō)明班次4即凌晨2點(diǎn)到早上8點(diǎn)班次的接線員在下午3點(diǎn)時(shí)已經(jīng)不在崗工作了。

（2）單元格區(qū)域B27：E27用來(lái)存儲(chǔ)決策變量，即每個(gè)班次的人數(shù)。

（3）單元格區(qū)域F3：F26用來(lái)存儲(chǔ)各時(shí)點(diǎn)所有班次在崗工作的人數(shù)之和，每個(gè)時(shí)間段實(shí)際在崗的接線員數(shù)量。在單元格F3中輸入公式=SUMPRODUCT（$B$27：$E$27，B3：E3），該公式相當(dāng)于=B3*$B$27+C3*$C$27+D3*$D$27+E3*$E$27，并復(fù)制到F4：F26單元格內(nèi)。在H列輸入每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上需要的在崗人數(shù)，這樣，F(xiàn)3：H26區(qū)域就表明了實(shí)際在崗工作人數(shù)與需求人數(shù)之間的關(guān)系。

（4）在單元格H27中輸入公式=SUM（B27：E27）用來(lái)存儲(chǔ)各個(gè)班次總?cè)藬?shù)，即優(yōu)化模型最終要求解的客服部門(mén)的每天需要的接線員總數(shù)。以上模型設(shè)計(jì)見(jiàn)圖7所示。

（三） 規(guī)劃求解

執(zhí)行“工具——加載宏”菜單命令，在“加載宏”界面選擇“規(guī)劃求解”復(fù)選框后按“確定”按鈕退出。然后執(zhí)行“工具——規(guī)劃求解”命令，打開(kāi)如圖8所示的規(guī)劃求解參數(shù)設(shè)置界面，并在其中設(shè)置目標(biāo)單元格為$H$27，即個(gè)班次接線員人數(shù)之和，目標(biāo)為“等于最小值”；可變單元格為$B$27：$E$27，即每個(gè)班次的接線員數(shù)量；約束條件有兩個(gè)：第一，$B$27：$E$27為整數(shù)；第二，$F$3：$F$26>=$H$3：$H$26，即每個(gè)時(shí)間段上在崗人數(shù)大于等于預(yù)測(cè)需要的人數(shù)。同時(shí)，在“規(guī)劃求解選項(xiàng)”中設(shè)定“采用線性模型”和“假定非負(fù)”。完成上述設(shè)置后單擊“確定”按鈕，規(guī)劃求解器即計(jì)算得出結(jié)果，如圖9所示。每個(gè)班次的接線員數(shù)分別為35、33、28和22，客戶服務(wù)部門(mén)所需雇傭的人員數(shù)為118人。

（四）問(wèn)題的延伸

前面通過(guò)0-1模型對(duì)勞動(dòng)力的安排進(jìn)行了規(guī)劃，其實(shí)這類(lèi)問(wèn)題延伸下去有很多，如假設(shè)該移動(dòng)通信服務(wù)商某個(gè)營(yíng)業(yè)廳需要一周7天的提供面對(duì)客戶的坐席服務(wù)，經(jīng)測(cè)算周一至周日每天需要的坐席服務(wù)人員由于每天業(yè)務(wù)量不同而不同。如果每位坐席服務(wù)員連續(xù)工作5天休息2天，那么該營(yíng)業(yè)廳一共需要多少雇員？怎樣安排她們的工作時(shí)間才能保證有最多的周末休息日？如果加班工資是平時(shí)工資的雙倍，該如何安排坐席服務(wù)員的工作時(shí)間才能保證人力成本最低？這類(lèi)問(wèn)題的解決需要添加更多的現(xiàn)值條件，方法與前面類(lèi)似，這里筆者就不在贅述。

四、結(jié) 語(yǔ)

EXCEL是微軟公司開(kāi)發(fā)的通用電子表格軟件，集表格、數(shù)據(jù)管理、圖表分析于一體，其函數(shù)和專(zhuān)業(yè)分析工具的數(shù)據(jù)分析功能十分強(qiáng)大，充分應(yīng)用其各項(xiàng)功能可以對(duì)企業(yè)的各項(xiàng)日常工作和財(cái)務(wù)管理帶來(lái)極大的方便，可以極大第提高工作效率并減少簡(jiǎn)單人為判斷的誤差，筆者在這里拋磚引玉希望有更多的企業(yè)管理人員能充分認(rèn)識(shí)它并及時(shí)運(yùn)用到工作當(dāng)中去。

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