淺談圓錐曲線概念的教學(xué)

周紅芳

摘 要：本文以圓錐曲線的概念教學(xué)為例，從提供豐富的感性材料，幫助學(xué)生形成概念；引導(dǎo)學(xué)生揭示事物的本質(zhì)，幫助學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵；充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)，幫助學(xué)生同化概念；強(qiáng)調(diào)概念間的聯(lián)系和區(qū)別，幫助學(xué)生把握概念的外延；充分利用例題和習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和深化概念五個(gè)方面探討了有效概念教學(xué)的注意事項(xiàng)，以期提高教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；概念教學(xué)；教學(xué)感悟

中圖分類號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2013）05-079-2

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論、理解數(shù)學(xué)基本原理、掌握數(shù)學(xué)規(guī)律、培養(yǎng)學(xué)生能力的先決條件，也是發(fā)展學(xué)生智力的重要因素。數(shù)學(xué)概念的教學(xué)向來為中學(xué)數(shù)學(xué)教師所重視，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法很多，其宗旨都是讓學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用概念，下面我就中學(xué)數(shù)學(xué)圓錐曲線的概念教學(xué)談些個(gè)人的認(rèn)知。

一、提供豐富的感性材料，幫助學(xué)生形成概念

概念的形成是要有豐富的感性材料的，而學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的一個(gè)心理障礙就是覺得抽象。鑒于學(xué)生缺乏豐富的感性材料，教師的責(zé)任就是要為學(xué)生提供豐富的感性材料并引導(dǎo)學(xué)生去分析思考。感性材料可以是直接進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，也可以是引用課本知識(shí)，還可以借助圖表模型、多媒體等現(xiàn)代化教學(xué)手段等，不一定要補(bǔ)充大量的內(nèi)容，只需要對(duì)教材做恰當(dāng)?shù)奶幚砭托?。學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，歸根到底是由學(xué)生通過自己的思維逐步建立起來的，但教師完全可以發(fā)揮教學(xué)中的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維聯(lián)系，幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高知識(shí)結(jié)構(gòu)的層次，培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、綜合等能力。

例如，學(xué)習(xí)圓錐曲線的定義時(shí)，教師可以借助圓錐面這一模型，讓學(xué)生去自主探究，通過不同的截法得到三種不同的圓錐曲線。導(dǎo)入：若用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，當(dāng)平面經(jīng)過圓錐面的頂點(diǎn)時(shí)，可得到兩條相交直線；當(dāng)平面與圓錐面的軸垂直時(shí)，截線（平面與圓錐面的交線）是一個(gè)圓。當(dāng)改變截面與圓錐面的軸的相對(duì)位置時(shí)，觀察截線的變化情況，并思考：（1）用平面截圓錐面還能得到哪些曲線？（2）若設(shè)圓錐面的母線與軸所成的角為θ，截面與軸所成的角為α.通過觀察去發(fā)現(xiàn)，當(dāng)θ<α<π2，0≤α<θ，α=θ時(shí)，我們可以得到哪三種不同形狀的曲線？（3）這些曲線具有哪些幾何特征？在以上探究過程中，注重了知識(shí)的發(fā)生與形成過程，既能使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，更能使其從整體上認(rèn)識(shí)三種圓錐曲線的內(nèi)在關(guān)系。這一過程是建立在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)上的形式化的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

美國(guó)著名教育家布盧姆在他的名著《教育目標(biāo)分類學(xué)》中寫道：“把具體的知識(shí)與一般的抽象知識(shí)聯(lián)系起來學(xué)，在這種聯(lián)系中可以最有效地記憶或保持具體的知識(shí)。按照這種方式進(jìn)行學(xué)習(xí)、記憶的人，就能比較容易地掌握概念所屬的那些具體知識(shí)，另一方面，概括的或抽象的知識(shí)是比較難學(xué)習(xí)的，除非把它們與恰當(dāng)?shù)木唧w現(xiàn)象聯(lián)系起來，反過來說，如果把概念與它所包括的各種現(xiàn)象割裂開來，那么這種概念就既難學(xué)又難記?！辈急R姆在這里不僅提出了學(xué)習(xí)概念的最佳方法，也指出了保持記憶的最佳方法。把抽象的概念以鮮明的實(shí)驗(yàn)事實(shí)展現(xiàn)給學(xué)生，既符合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，也有利于學(xué)生更深刻地理解概念。

二、引導(dǎo)學(xué)生揭示事物的本質(zhì)，幫助學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵

所謂概念的內(nèi)涵，就是概念所反映的客觀事物的本質(zhì)。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中初步形成概念時(shí)，往往是朦朦朧朧的。有些概念教材上雖然給出了定義，但學(xué)生對(duì)定義的理解往往是片面的，即使把定義背得滾瓜爛熟，也并不能說明學(xué)生已經(jīng)掌握了概念，要使學(xué)生真正掌握概念，就必須揭示概念所反映的客觀事物的本質(zhì)。

例如，如在學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí)，學(xué)生可以用一段繩子畫橢圓，教師可以利用多媒體呈現(xiàn)滿足橢圓定義的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，并鼓勵(lì)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探求橢圓的定義。學(xué)生對(duì)未知領(lǐng)域的探索有天然的好奇心，思維的積極性被激發(fā)，紛紛根據(jù)前面的知識(shí)做出如下猜測(cè)：到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。然后教師在多媒體演示中從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)。首先將運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)移動(dòng)到橢圓平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”。這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)<|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”。這樣就由學(xué)生在觀察和猜想中完整的得到了橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。整個(gè)過程中，學(xué)生的思維結(jié)果一一被肯定，獲得一種小小的成就感，從而更激起了主動(dòng)探索的欲望。

眾所周知，教科書上對(duì)概念的敘述都是很精辟的，為了克服學(xué)生對(duì)基本概念死記硬背、不能靈活運(yùn)用的弱點(diǎn)，教師在講概念時(shí)，著重分析概念中的關(guān)鍵字、詞，充分揭示概念的本質(zhì)特征，使學(xué)生確切理解所學(xué)的概念。經(jīng)常這樣訓(xùn)練學(xué)生，能提高學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確理解，養(yǎng)成善于推敲、分析的習(xí)慣。

三、充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)，幫助學(xué)生同化概念

當(dāng)新概念形成的時(shí)候，人的大腦中要進(jìn)行把新概念同已有知識(shí)相比較、相聯(lián)系的過程，為新概念在大腦里已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中尋找到合適位置時(shí)，新概念就被聯(lián)結(jié)拼合上去，成為大腦知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分，被消化吸收，這就是同化。中學(xué)生大腦里的知識(shí)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，同化新概念的能力不強(qiáng)，這就要求教師努力調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)，調(diào)整學(xué)生頭腦里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生加強(qiáng)新概念與舊知識(shí)之間的聯(lián)系，同化新概念。教學(xué)中經(jīng)常采用比喻、類比等方法，就是調(diào)動(dòng)學(xué)生已有知識(shí)的有效方法。

例如，在學(xué)習(xí)雙曲線定義時(shí)，讓學(xué)生聯(lián)系和類比橢圓的定義，會(huì)起到比較好的引導(dǎo)和啟發(fā)的作用。平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。那么平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是什么？讓學(xué)生把事先準(zhǔn)備好的一條拉鏈，打開一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點(diǎn)就畫出一條曲線，這條曲線就是雙曲線的一支。定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距。師生共同探討以下問題：1.若常數(shù)要等于|F1F2|，則圖形是什么？2.若常數(shù)要大于|F1F2|，能畫出圖形嗎？3.定點(diǎn)F1，F(xiàn)2與動(dòng)點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？4.|MF1|與|MF2|哪個(gè)大？（當(dāng)M在雙曲線右支上時(shí)，|MF1|>|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線左支上時(shí)，|MF1|<|MF2|）5.點(diǎn)M與定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的差是否就是|MF1|-|MF2|？通過探究，培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解決問題的能力。

通過橢圓與雙曲線的聯(lián)系和類比，能調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)，使學(xué)生用熟悉的知識(shí)去聯(lián)系、類比不熟悉的知識(shí)，從已有知識(shí)中獲得對(duì)新知識(shí)的啟示，達(dá)到同化新知識(shí)的目的，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。事實(shí)上，新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)總是有的，關(guān)鍵在于教師能否找到它，并利用它。充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有知識(shí)是教師的職責(zé)，也是一門藝術(shù)。

四、強(qiáng)調(diào)概念間的聯(lián)系和區(qū)別，幫助學(xué)生把握概念的外延

所謂概念的外延，就是指概念的適用對(duì)象、條件、范圍等。數(shù)學(xué)基本概念往往是成對(duì)的或成群的。它們之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，弄清概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，既有助于掌握概念的內(nèi)涵，更有助于把握概念的外延，澄清對(duì)概念的模糊認(rèn)識(shí)，還有助于使概念聯(lián)成體系，擴(kuò)展學(xué)生頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，學(xué)習(xí)圓錐曲線的第二定義時(shí)，先讓學(xué)生把一根直尺固定在圖板上直線l位置，把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細(xì)繩的一端固定在三角板的另一條直角邊的頂點(diǎn)A，取繩長(zhǎng)等于點(diǎn)A到直角邊頂點(diǎn)C的長(zhǎng)（即點(diǎn)A到直線l的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F，用鉛筆尖扣著繩子，使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，筆尖就在圖板上描出了一條曲線。

給出定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線。當(dāng)這個(gè)比值是一個(gè)不等于1的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡又是什么曲線呢？通過師生共同探討，得到圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡。當(dāng)01時(shí)，它表示雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，它表示拋物線。其中e是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線。

第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系。至此，通過層次教學(xué)，揭示了圓錐曲線統(tǒng)一定義的本質(zhì)，達(dá)到全面而深刻地理解概念的目的。概念是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，如果忽視概念的產(chǎn)生過程，過早地進(jìn)行功利性運(yùn)用，那么概念就會(huì)成為機(jī)械的表述，而學(xué)生薄弱的抽象思維能力又加劇了這一現(xiàn)象。所以教師在講解概念時(shí)，應(yīng)該循序漸進(jìn)、由淺入深、由表及里，使學(xué)生對(duì)概念的理解既全面又深刻。

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為，大腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)在很大程度上決定人的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，決定著人的認(rèn)識(shí)能力。知識(shí)的結(jié)構(gòu)層次愈高，人的認(rèn)識(shí)能力愈強(qiáng)。學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，歸根到底是由學(xué)生通過自己的思維逐步建立起來的，但教師完全可以發(fā)揮教學(xué)中的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維聯(lián)系，幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高知識(shí)結(jié)構(gòu)的層次，培養(yǎng)學(xué)生比較、分析、綜合等能力。

五、充分利用例題和習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固和深化概念

對(duì)中學(xué)生來說，許多概念的建立是不可能一下子完成的，學(xué)生對(duì)它的理解和掌握也需要有一個(gè)過程。因此，已經(jīng)形成的概念還需要不斷地鞏固和深化，而充分利用練習(xí)和習(xí)題，是鞏固和深化的好方法，這種方法既靈活，又不多占用課堂教學(xué)時(shí)間，還能提高學(xué)生的思維能力。練習(xí)和習(xí)題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必然要有的，這里所講的充分利用練習(xí)和習(xí)題，主要是要注意增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用練習(xí)和習(xí)題鞏固概念的自覺性。在每學(xué)習(xí)一個(gè)新概念之后，固然需要有一定量的練習(xí)和習(xí)題，但更要注意在以后學(xué)習(xí)的不同階段，安排適當(dāng)?shù)木毩?xí)和習(xí)題，運(yùn)用以后所學(xué)到的知識(shí)對(duì)以前所學(xué)的概念進(jìn)行鞏固和深化。

例題.如果橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離等于7，那么P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是

簡(jiǎn)析：由橢圓的第一定義可知P點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離等于3，設(shè)P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離是d，再由橢圓的第二定義可知3d=e，所以d=5。此題充分利用雙曲線第一定義和第二定義將問題迎刃而解。

總之，一個(gè)概念往往要從多個(gè)方面去認(rèn)識(shí)它，要提高數(shù)學(xué)概念的教學(xué)質(zhì)量，必須在教學(xué)過程中，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)，不斷改進(jìn)教學(xué)方法，總結(jié)和探討數(shù)學(xué)概念的教學(xué)規(guī)律，使數(shù)學(xué)概念的教學(xué)質(zhì)量得到進(jìn)一步提高。練習(xí)或習(xí)題能提供從多方面去認(rèn)識(shí)概念的機(jī)會(huì)，能引起對(duì)概念的深入思考，通過分析可使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)達(dá)到較高的層次。