析微元法在江蘇高考中的考查

摘要： 微元法是解決物理問題的基本思想方法之一，它貫穿于整個(gè)高中物理知識體系，也是大學(xué)普通物理常用方法。本文通過江蘇高考壓軸題的分析，意在歸納應(yīng)用微元法處理電磁感應(yīng)問題的方法和突破技巧。

關(guān)鍵詞： 高考； 壓軸題；微元法；方法突破

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1006-5962（2013）05-0320-02

高考命題以能力測試為主導(dǎo)，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握程度和運(yùn)用所學(xué)知識分析、解決問題的能力。微元法是解決物理問題的基本思想方法之一，它貫穿于整個(gè)高中物理知識體系，也是大學(xué)普通物理常用方法。在2006年至2009年江蘇高考連續(xù)四年的壓軸題，如出一轍地重點(diǎn)考查了用微元法解決電磁感應(yīng)背景下的實(shí)際問題，考題靈活多變，能力要求很高。雖然題目有點(diǎn)難，但還是有規(guī)律可尋的。本文通過江蘇高考題的分析，意在歸納用微元法處理電磁感應(yīng)問題的方法突破，以期給您有所啟發(fā)。

1 考題分析

1.1 （06年江蘇高考19題第④問）如圖1所示，頂角θ=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下以恒定的速度v0沿導(dǎo)軌MON向右運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長度的電阻均為r.導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌的接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸.t=0θ時(shí)，導(dǎo)體棒位于頂角O處，若在t0時(shí)刻將外力撤去，求導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x.

【分法突破】t0時(shí)刻撤去外力后，導(dǎo)體棒的速度在不斷變化，導(dǎo)體棒的有效長度也在不斷變化，受力在變化，導(dǎo)體棒做變減速運(yùn)動(dòng)，用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求位移顯然不行。只能想到微元法來處理。設(shè)任意時(shí)刻t導(dǎo)體棒的坐標(biāo)為x，速度為v，取很短時(shí)間Δt，研究過程為t-t+Δt ，在Δt 內(nèi)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)當(dāng)作勻速運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒的有效長度、回路中的電動(dòng)勢、電阻、電流等均視為一定，把微元過程中回路變化的梯形面積視為矩形面積，再對這些矩形元求和。

【點(diǎn)評】本題進(jìn)行了微元轉(zhuǎn)化，由時(shí)間微元通過物理量的巧妙結(jié)合，轉(zhuǎn)換為面積微元，面積又與三角形邊長（位移）有關(guān)，從而使得位置坐標(biāo)可求。

1.2 （07江蘇高考18題第③問）如圖3所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場，豎直方向磁場區(qū)域足夠長，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，每一條形磁場區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v0=7m/s的初速從左側(cè)磁場邊緣水平進(jìn)入磁場，求線框能穿過的完整條形磁場區(qū)域的個(gè)數(shù)n。

【分法突破】求線框能穿過的完整條形磁場區(qū)域的個(gè)數(shù)n，實(shí)質(zhì)上就是求線框在水平方向上運(yùn)動(dòng)的最大位移，若求位移，必須知道線框的運(yùn)動(dòng)情況.經(jīng)分析可知，線框豎直方向受到安培力的合力為零而作自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向受變化的安培力作變減速運(yùn)動(dòng)，所以只能用微元法處理。

【點(diǎn)評】對題中變化的物理量取微元從根本上分為時(shí)間微元和空間微元。解法一中依據(jù)題目所求物理量直接取位移微元，用動(dòng)能定理建立微觀量與宏觀量之間的關(guān)系，但必須清楚在△x位移里是勻速運(yùn)動(dòng)， ，否則將無法進(jìn)行下去。解法二中取最為常見的時(shí)間微元，但要換元才能得到要求的位移。

3.（08江蘇高考18題第③問）如圖4所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì).場強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場區(qū)域的寬度為d1，間距為d2.兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直.（設(shè)重力加速度為g）

（2）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場區(qū)域時(shí)，b恰好離開第1個(gè)磁場區(qū)域，此后a離開第2個(gè)磁場區(qū)域時(shí)，b 又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場區(qū)域且a 、b在任意一個(gè)磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等.求b穿過第2個(gè)磁場區(qū)域過程中，兩導(dǎo)體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q.

（3）對于第（2）問所述的運(yùn)動(dòng)情況，求a穿出第k個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速率v.

【分法突破】要求a穿出第k個(gè)磁場區(qū)域時(shí)的速率v ，必須搞清楚a棒在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況。a棒在無磁場區(qū)域作加速度a=gsin θ的勻加速運(yùn)動(dòng)，在磁場中運(yùn)動(dòng)除受重力、支持力外，還要受到變化的安培力作用，而做非勻變速運(yùn)動(dòng)，不可能用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度，再結(jié)合題中所給時(shí)間關(guān)系，應(yīng)該想到時(shí)間微元法。

【點(diǎn)評】此題情景較為復(fù)雜，不僅有兩個(gè)棒，多個(gè)有無磁場區(qū)域交替出現(xiàn)，而且整個(gè)裝置傾斜放置，考生看到圖形，心里發(fā)毛而無心作答。其實(shí)只要靜心有耐心讀完題目，按照常規(guī)的分析方法和思路進(jìn)行，并不是高不可攀。依據(jù)題中所給速度及時(shí)間關(guān)系，若腦中有"處理非勻變速運(yùn)動(dòng)想到時(shí)間微元法"這樣的穩(wěn)定認(rèn)知結(jié)構(gòu)，此題還是可以一試的。某種程度上本題是在考查考生的心理承受能力。

4.[2009江蘇高考15題第②問] 如圖5所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、 足夠長且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為 ，條形勻強(qiáng)磁場的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直.長度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成" "型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上.導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出）.線框的邊長為d（d < l），電阻為R，下邊與磁場區(qū)域上邊界重合.將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場區(qū)域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直.重力加速度為g.求：線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時(shí)間t1.

【分法突破】本題要求的是線框第一次穿越磁場區(qū)域所需的時(shí)間t1.當(dāng)然需要知道線框在磁場是怎么運(yùn)動(dòng)的。經(jīng)分析不難發(fā)現(xiàn)線框穿過磁場的過程是一個(gè)加速度不斷變化的運(yùn)動(dòng)，要想得出線框第一次穿越所需時(shí)間，我們可以運(yùn)用微元法，將整個(gè)穿越過程分為許多元過程，運(yùn)用每個(gè)元過程都適用的牛頓第二定律，選取其中一個(gè)元過程，列出表達(dá)式，然后累積求和，即可解決問題。

【解答】（2）設(shè)線框剛離開磁場下邊界時(shí)的速度為v1 ，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d 棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場下邊界速度減為零開始返回，此過程由動(dòng)能定理得。線框在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)裝置受到的合力F=mgsina-F' ，感應(yīng)電動(dòng)勢 E=Bdv，感應(yīng)電流 I'=E/R ，安培力F' =BI'd =，由牛頓第二定律可得，線框在磁場中，t時(shí)刻速度為v，在t到t+△t 時(shí)間內(nèi)△v=△t ，則

【點(diǎn)評】此題是高考命題中常用的組合法。命題者巧妙地把電磁感應(yīng)中兩個(gè)常見又典型的模型結(jié)合

在一起：一個(gè)是桿與框架模型，另一個(gè)是線框進(jìn)出勻強(qiáng)磁場模型。變?yōu)榻Y(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的框架結(jié)構(gòu)，而且還是一個(gè)多過程問題.但我們只要牢牢抓住受力分析和運(yùn)動(dòng)過程分析這一基本分析思路，掌握處理問題的基本方法，相信這類綜合問題還是可以迎刃而解的。

總結(jié)：由以上四道高考壓軸題可以看出，微元法用在物體由于受到變化的安培力作用而使物體在磁場中做非勻變速運(yùn)動(dòng)過程，要求其運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量，用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律無能為力，只能取此過程中的一小段時(shí)間或位移，列出牛頓第二定律的表達(dá)式（或動(dòng)量定理，極少用動(dòng)能定理），然后求和即可，注意物理量結(jié)合在一起時(shí)的換元。

2 方法提煉

2.1 微元法是"化變?yōu)椴蛔?、"化曲為直"的重要手段。在電磁感應(yīng)問題中，常常遇到非勻變速運(yùn)動(dòng)過程中求時(shí)間、速度、位移、電量，能量等問題，靈活運(yùn)用微元的思想，把整體變化過程轉(zhuǎn)化為微小不變過程來處理，從而更深刻的理解物理過程和規(guī)律內(nèi)涵。此法要求考生能把宏觀過程和微觀過程有機(jī)地統(tǒng)一起來。

2.2 利用微元法解決問題，要求考生具備熟練構(gòu)建微元，合理地運(yùn)用已有的物理公式建立微觀量與宏觀量，微觀過程與宏觀過程的有機(jī)聯(lián)系，同時(shí)對取微元后涉及到的物理量變與不變要有辯證的理解，如勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，在時(shí)間微元 內(nèi)可認(rèn)為速度是不變的，但位移是變化的，如求非恒定電流的電量時(shí)，在時(shí)間微元 內(nèi)可認(rèn)為電流是不變的，但電量是變化的等等。

2.3 微元法從根本上來說只有時(shí)間微元和空間微元兩種，只不過在實(shí)際問題中常常要進(jìn)行換"元"，具有一定的靈活性。如（1）時(shí)間元與空間元的相互代換；（2）線元與面元、體元的相互轉(zhuǎn)換；（3）線元與角元的相互轉(zhuǎn)換；（4）孤立元與組合元間的相互代換。在力電磁綜合題中經(jīng)常用到的換元有：v·△t→△x，L·△x→△S， I·△t→△q， R△θ→△L等，使式子向題中所求的結(jié)論或結(jié)果方向組合，這一點(diǎn)往往是整個(gè)題中的難點(diǎn)所在。

3 佳題演練

3.1 如圖6所示，兩根相距為d足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xOy平面內(nèi)，導(dǎo)軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻.在x>0的一側(cè)存在豎直向下的磁場，金屬棒質(zhì)量為m，電阻為r，與金屬導(dǎo)軌垂直放置，且接觸良好.開始時(shí)，金屬棒位于x=0處，現(xiàn)給金屬棒一大小為v0、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導(dǎo)軌滑動(dòng)，金屬導(dǎo)軌電阻可忽略不計(jì).問：

（1） 若導(dǎo)軌間的磁場是勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo) x1；

（2）若導(dǎo)軌間的磁場是非勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿x軸正方向增加，且大小滿足 ，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo) x2.

3.2 如圖7所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的勻強(qiáng)磁場分布在寬度為L的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一個(gè)邊長為a（a

作者簡介：

卞志榮，男，（1962-2），江蘇句容人，工作單位：江蘇省天一中學(xué)（無錫），職稱：正高（江蘇省教授級中學(xué)高級教師），江蘇省物理特級教師。有多年畢業(yè)班、競賽輔導(dǎo)、班主任工作經(jīng)歷，現(xiàn)仍在一線從事高中物理教學(xué)工作，主持或參與多個(gè)國家、省市級課題研究工作，研究方向主要是高中物理課堂教學(xué)、實(shí)驗(yàn)教學(xué)、校本課程開發(fā)研究?，F(xiàn)已在正規(guī)期刊公開發(fā)表論文或文章100余篇，其中核心期刊50多篇。