淺談初中階段的因式分解

魏宏

摘 要：對(duì)初中階段的因式分解中學(xué)生易錯(cuò)的類(lèi)型進(jìn)行了歸納總結(jié)，剖析了學(xué)生是錯(cuò)的地方和原因，從而也剖析了因式分解的難點(diǎn)之處，并通過(guò)典型例題介紹了多種方法、技巧，從而幫助學(xué)生徹底掌握因式分解，形成方法的系統(tǒng)化、知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化，提高了學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：因式分解；概念；錯(cuò)誤；方法；步驟；注意

我們知道，多項(xiàng)式的因式分解是初等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，它是學(xué)好代數(shù)的鑰匙。那么，什么叫因式分解呢？把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，就叫做多項(xiàng)式的因式分解。而我們的學(xué)生經(jīng)常把因式分解和整式乘法混淆起來(lái)。下面我就從學(xué)生對(duì)因式分解的“誤區(qū)”和正確因式分解的幾種方法、步驟來(lái)談一下我對(duì)因式分解的理解。

一、易犯錯(cuò)誤

可能受小學(xué)數(shù)學(xué)的影響，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，只追求解題，以為只要會(huì)計(jì)算，會(huì)解題才是學(xué)數(shù)學(xué)的“真本領(lǐng)”。再則數(shù)學(xué)學(xué)科的概念本身就抽象，所以他們認(rèn)為，這么枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)概念學(xué)與不學(xué)是一個(gè)樣，沒(méi)有什么關(guān)系的。有了這種想法，致使他們?cè)诮忸}時(shí)往往容易出錯(cuò)，因?yàn)樗麄儾涣私鈹?shù)學(xué)概念是解題的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)推理的依據(jù)。如果沒(méi)有掌握概念而去解題，就如不拿鑰匙去開(kāi)鎖一樣，只會(huì)胡搬亂套，結(jié)果導(dǎo)致錯(cuò)誤百出。

◆錯(cuò)誤之一：只進(jìn)行了部分分解，結(jié)果沒(méi)有化成積的形式

例1-1：因式分解：a2-2ab+b2-1

錯(cuò)解：原式=（a-b）2-1

分析：錯(cuò)解的根本是在只把原式的部分進(jìn)行了分解成積的形式，沒(méi)有將原整式化成積的形式。

◆錯(cuò)誤之二：分解結(jié)果不徹底，還有因式可以分解

例1-2：因式分解：（x2+2）2-（2x+1）2

錯(cuò)解：原式=（x2+2+2x+1）（x2+2-2x-1）

=（x2+2x+3）（x2-2x+1）

分析：上面的第二個(gè)因式（x2-2x+1）還可以因式分解為（x-1）2，至使分解不徹底。

◆錯(cuò)誤之三：分解時(shí)因沒(méi)有看范圍而出錯(cuò)

例1-3：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：a4-4

錯(cuò)解：原式=（a2+2）（a2-2）

分析：因題目要求是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，因此對(duì)第二個(gè)因式還可以繼續(xù)再分解（a+■）（a-■）。

◆錯(cuò)誤之四：分解時(shí)變形不恒等，與方程的變形混淆

例1-4：因式分解：■x2-xy+■y2

錯(cuò)解：原式=x2-2xy+y2

=（x-y）2

分析：在因式分解時(shí)，將恒等式的變形與方程的變形混在一起，錯(cuò)誤地將分?jǐn)?shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為整系數(shù)，從而破壞了因式分解的恒等變形這個(gè)原則。

學(xué)生正確理解因式分解的概念，是學(xué)好因式分解的前提，如果對(duì)以上的四個(gè)經(jīng)典“易錯(cuò)題”能掌握，那么在解因式分解的習(xí)題時(shí)就能舉一反三，融會(huì)貫通。當(dāng)然，理解了因式分解的概念以后，我們也一定要掌握因式分解的方法和步驟。

二、因式分解的方法

我們所做的因式分解的基本方法，一般有四種，即提取公因式、公式法、十字相乘法、分組分解法。它們既是四種方法也是我們分解因式的順序與步驟。但是，其實(shí)方法不止這幾種?，F(xiàn)將我所做的幾種方法歸納如下：

1.提取公因式

我們把多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都含有的相同因式，稱(chēng)之為公因式。公因式是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪的積。把公因式提取出來(lái)，叫做提取公因式。用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵是正確求出公因式。公因式通常有這樣兩種情況：（1）公因式是單項(xiàng)式；（2）公因式是多項(xiàng)式。其中，單項(xiàng)式分次數(shù)為數(shù)字和字母兩種情況；多項(xiàng)式又分為相同項(xiàng)和可化為相同項(xiàng)的公因項(xiàng)。當(dāng)公因式是單項(xiàng)式時(shí)，比較容易求得，如果是多項(xiàng)式時(shí)，要注意符號(hào)，并充分利用偶次冪、奇次冪的性質(zhì)：即（b-a）2n=（a-b）2n，（b-a）2n+1=-（a-b）2n+1（n為正整數(shù)）。

例2-1：分解因式（a-b）2x+1-（a-c）（a-b）2x+2（b-a）2x（b-c）

解：原式=（a-b）2x+1-（a-c）（a-b）2x+2（b-a）2x（b-c）

=（a-b）2x[（a-b）-（a-c）+（b-c）]

=（a-b）2x（a-b-a+c+2b-2c）

=（a-b）2x（b-c）

在這里易錯(cuò)的是公因式難找，有些是整體思想在內(nèi)，學(xué)生容易混淆。

2.運(yùn)用公式

因式分解中的公式法可謂是靈活多變，技巧性非常強(qiáng)。往往一道因式分解不止用一個(gè)公式。做此類(lèi)題必須理清因式分解的多項(xiàng)式本身的特殊性。

常見(jiàn)的公式：

（1）a2-b2=（a-b）（a+b）

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2

（3）a3±b3=（a±b）（a2±ab+b2）

靈活復(fù)雜一點(diǎn)的公式：

（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2

（2）a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3

（3）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc）

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a3+b3+c3=3abc

利用公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，必須緊扣公式特點(diǎn)，結(jié)合給出的多項(xiàng)式，全面考慮，選擇合適的公式。

例2-2：（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3

解：原式=（a+2b+c）3+（-a-b）3+（-b-c）3

又∵（a+2b+c）+（-a-b）+（-b-c）=0

∴原式=3（a+2b+c）（-a-b）（-b-c）

=3（a+2b+c）（a+b）（b+c）

提取完公因式以后，要看式子本身的特殊性，如果是兩項(xiàng)的就 考慮用平方差或立方和、立方差公式；如果是三項(xiàng)的就考慮用完全平方公式。

3.十字相乘

十字相乘主要是針對(duì)不能用完全平方公式的二次三項(xiàng)式的，也就是多項(xiàng)式具備的特征往往是含三項(xiàng)。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解時(shí)，形如：x2+px+q=（x+a）（x+b），其中p=a+b，q=ab。另外通過(guò)解題我們還可以發(fā)現(xiàn)，在x2+px+q=（x+a）（x+b）中，當(dāng)q>0時(shí)，a、b兩數(shù)同號(hào)。若p>0，則a、b同正；若p<0，則a、b同負(fù)。當(dāng)q<0時(shí)，a、b兩數(shù)異號(hào)。若p>0，則a、b中正數(shù)的絕對(duì)值較大；若p<0，則a、b中負(fù)數(shù)的絕對(duì)值較大。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式因式分解，其形式一般為：abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）符號(hào)討論情況較復(fù)雜，這里就不再展開(kāi)。但無(wú)論二次項(xiàng)系數(shù)為1還是不為1，十字相乘法對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解是十分簡(jiǎn)單而實(shí)用的方法。

例2-3：分解因式：x2+2（x+1）2+3（x2+x）

解：原式=x2+3x（x+1）+2（x+1）2

=（x+2x+2）（2x+1）

=（3x+2）（2x+1）

4.分組分解

如果一個(gè)多項(xiàng)式有四項(xiàng)或四項(xiàng)以上，且無(wú)公因式可提，一般應(yīng)考慮分組分解法。分組分解的目的是為了提取公因式、應(yīng)用公因式等。主要是為其他方法創(chuàng)造條件，以便達(dá)到分解因式的目的。分組分解法分組后應(yīng)遵循三條原則：①組與組之間應(yīng)有公因式可提；②組與組之間構(gòu)成因式分解公式；③組與組之間可構(gòu)成二次三項(xiàng)式的因式分解。分組過(guò)程中至于分多少組，每組有幾項(xiàng)都無(wú)關(guān)緊要，關(guān)鍵的是分組后能否繼續(xù)分解。不能分解的分組是合理的分組，必須重新分組。

例2-4：分解因式：4xy+x2-1+4y2

解：原式=（4xy+x2+4y2）-1

=（x+2y+1）（x+2y-1）

5.拆項(xiàng)和添項(xiàng)

在分解因式時(shí)，常要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其能分組分解。添項(xiàng)和拆項(xiàng)是兩種重要的變形技巧。所謂添項(xiàng)，就是在要分解的多項(xiàng)式中加上僅僅符號(hào)相反的兩項(xiàng)的和（實(shí)際上是加上0，并不改變?cè)囗?xiàng)式的值），如把a(bǔ)4+4添上4a2+（-4a），得到a4+4=（a4+4a2+4）-4a2=（a2+2）2-（2a）2，從而可以將原多項(xiàng)式分解因式。拆項(xiàng)是把多項(xiàng)式中某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的代數(shù)和（相當(dāng)于整式加法中合并同類(lèi)項(xiàng)的逆運(yùn)算），再通過(guò)適當(dāng)分組，達(dá)到分解因式的目的。

例2-5：分解因式x4+4x+3

解：原式=x4-1+1+4x+3

=（x2+1）（x+1）（x-1）+4（x+1）

=（x+1）（x3-x2+x-1+4）

=（x+1）（x3-x2+x+3）

=（x+1）（x3-x2-2x2-2x+3x+3）

=（x+1）[x2（x+1）-2x（x+1）+3（x+1）]

=（x+1）2（x2-2x+3）

6.換元法

有些復(fù)雜的多項(xiàng)式，如果把其中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元）不僅使原式得到簡(jiǎn)化，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，這樣先進(jìn)行換元，再將含“新字母”的多項(xiàng)式分解因式，最后將“新字母”用原換的式子代回去，得到原多項(xiàng)式的因式分解結(jié)果。這種方法就是因式分解中的換元法，或者說(shuō)是換元法在因式分解中的應(yīng)用。

例2-6：（a+b）3+2ab（1-a-b）-1

解：原式=（a+b）3+2ab[1-（a+b）]-1

令a+b=x ab=y

則原式=x3+2y·（1-x）-1

=x3+2y-2xy-1

=（x3-1）-2y（x-1）

=（x-1）（x2+x+1-2y）

=（a+b-1）[（a+b）2+（a+b）+1-2ab]

=（a+b-1）（a2+b2+a+b+1）

7.待定系數(shù)法

有的多項(xiàng)式雖不能直接分解因式，但可由式子的最高次數(shù)與系數(shù)的特點(diǎn)斷定其分解結(jié)果的因式形式。如只含一個(gè)字母的三次多項(xiàng)式分解的結(jié)果可能是一個(gè)一次二項(xiàng)式乘以一個(gè)二次三項(xiàng)式，也可能是三個(gè)一次因式的積。于是，我們可以先假設(shè)要分解因式的多項(xiàng)式等于幾個(gè)因式的積，再根據(jù)恒等式的性質(zhì)列出方程（組），進(jìn)而確定其中的系數(shù)，得到分解結(jié)果，這種方法就稱(chēng)為待定系數(shù)法。

用待定系數(shù)法分解因式時(shí)需要利用恒等式的如下重要性質(zhì)：

如果anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0≡bnxn+bn-1xn-1+…+b1x+b0，那么，an=bn，an-1=bn-1，…a1=b1，a0=b0，即恒等式同次項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系數(shù)一定相等。這里，“≡”表示“恒等于”，即對(duì)于任何x的值，等式左邊的值都等于右邊的值。

例2-7：分解因式6x2+xy-2y2+2x-8y-8

分析：要分解的式子是二元二次多項(xiàng)式，且二次項(xiàng)

6x2+xy-2y2=（3x+2y）（2x-y），從而可斷定原式分解的結(jié)果形式為（3x+2y+a）（2x-y+b），于是可用待定系數(shù)發(fā)分解。

解：設(shè)原式=（3x+2y+a）（2x-y+b），將右邊展開(kāi)得6x2+xy-2y2+2x-8y-8=6x2+xy-2y2+（2a+3b）x+（-a+2b）y+ab，由恒等式的性質(zhì)，比較兩邊的系數(shù)，得到

2a+3b=2 ①

-a+2b=-8 ②

ab=-8 ③

由①②可解得a=4，b=-2。將a=4，b=-2代入③，③也成立。

所以原式=（3x+2y+4）（2x-y-2）。

8.利用因式定理分解

因式定理：如果x=a時(shí)，多項(xiàng)式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值為0，那么x-a是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式。

對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，如果x=■（p，q是互質(zhì)的整數(shù)）時(shí)，該多項(xiàng)式的值為0，也就是x-■是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式時(shí)，一定有p是an的約數(shù)，q是a0的約數(shù)。

對(duì)于an=1的特殊系數(shù)多項(xiàng)式（即系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式），如果x-q是它的一個(gè)因式，那么，q一定是常數(shù)項(xiàng)的約數(shù)。

有了上述定理，我們可以通過(guò)分解整系數(shù)多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)和最低次項(xiàng)系數(shù)的因數(shù)，組成一些分?jǐn)?shù)，并逐個(gè)試驗(yàn)，找出整系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)或幾個(gè)因式，然后再用多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的辦法逐步分解。

例2-8：分解因式：x4+2x3-9x2-2x+8

分析：本題可以用拆項(xiàng)分組或待定系數(shù)法分解，也可利用因式定理分解。因?yàn)槭醉?xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為8，8的約數(shù)有±1，±2，±3，±4，所以，如果原多項(xiàng)式有因式x-a，那么a的可能取值在這8個(gè)數(shù)中，通過(guò)逐個(gè)代入檢驗(yàn)，即可找出使原多項(xiàng)式值為0的因數(shù)。

解：因?yàn)?的約數(shù)有±1，±2，±3，±4，逐個(gè)代入原多項(xiàng)式求值，解得x=1，-1，2，-4時(shí)，原多項(xiàng)式的值都為零。這說(shuō)明x-1，x+1，

x-2，x+4都是原多項(xiàng)式的因式。

又由于原多項(xiàng)式的次數(shù)是4，最高次項(xiàng)的系數(shù)是1，所以，原式=（x-1）（x+1）（x-2）（x+4）

說(shuō)明：如果一元多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為0，那么，x-1是這個(gè)多項(xiàng)式的因式；如果一元多項(xiàng)式中所有奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于所以偶次項(xiàng)系數(shù)的和，那么，x+1是這個(gè)多項(xiàng)式的因式。本題可由這個(gè)結(jié)論求得原式有因式（x-1）（x+1）。

例2-9：分解因式：7x4+20x3+11x2+40x-6

解：因?yàn)樵街凶罡叽雾?xiàng)的系數(shù)為7，它的約數(shù)有±1，±7；常數(shù)項(xiàng)為-6，它的約數(shù)有±1，±2，±3，±6。如果x-■是多項(xiàng)式的因式，那么，■的值只可能是±1、±2、±3、±6、±■、±■、±■、±■。

將上述各可能值代入原多項(xiàng)式的x，可得x=-3和x=■時(shí)，原多項(xiàng)式的值為0。由因式定理知（x+3）（x-■）是原多項(xiàng)式的因式，從而（x+3）（7x-1）也是原多項(xiàng)式的因式。

下面用多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的辦法求出其余的因式。

因?yàn)椋▁+3）（7x-1）=7x2+20x-3，由：

■

所以，原式=（x+3）（7x-1）（x2+2）。

說(shuō)明：在試驗(yàn)出x+3是原多項(xiàng)式的因式時(shí)，即可用原多項(xiàng)式除以x+3，得出商式后再分解。

三、因式分解的一般步驟

1.如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式的，那么，先提公因式；

2.如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式的，那么，可以嘗試運(yùn)用公式、十字相乘來(lái)分解；

3.如果用上述方法都不能分解，那么，可以嘗試用分組分解、拆項(xiàng)和添項(xiàng)的方法來(lái)分解；

4.分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話(huà)來(lái)概括：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適?！?/p>

四、注意點(diǎn)

因式分解中的四個(gè)注意點(diǎn)，可用四句話(huà)概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”。

由此可見(jiàn)，因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的基本方法中，與因式分解的步驟的四句話(huà)“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等式一脈相承的。

（作者單位 江蘇省常熟市莫城中學(xué)）