計(jì)算教學(xué)中估算和精算的再思考

一直以來，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，計(jì)算教學(xué)都是一個(gè)令數(shù)學(xué)教者不斷探索與研究的課題。而對于計(jì)算領(lǐng)域中估算與精算的研究與探索更是從未間斷。

談到估算與精算，我們不妨比較一下二者的區(qū)別：

據(jù)研究，估算在實(shí)際生活中的存在比精算更早，且應(yīng)用的場合同樣極為廣泛。它的意義和作用絲毫不比精算遜色。它與精算成為小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算領(lǐng)域中互補(bǔ)互助的“伙伴”；在生產(chǎn)、生活、科技等領(lǐng)域成為公認(rèn)的“黃金搭檔”。

估算是近兩年才被請進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的新內(nèi)容。我們在教學(xué)視導(dǎo)中了解到：許多老師在估算教學(xué)中存在著一些問題?，F(xiàn)在，我就根據(jù)這些問題涉及到的內(nèi)容談?wù)勛约簩浪愕囊稽c(diǎn)認(rèn)識和思考。通過分析，我發(fā)現(xiàn)，老師們在教學(xué)中面臨的諸多問題，主要集中于一點(diǎn)：用精算的觀點(diǎn)看待估算。因此，將估算與精算作一番比較，或許能啟發(fā)老師們對估算產(chǎn)生一些新的認(rèn)識。

一、精算與估算的基本概念

1. 精算，主要是指依靠數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，遵循一定的運(yùn)算規(guī)則，按照一定的演算步驟，得到“準(zhǔn)確”的結(jié)果或“比較精確”的近似值。

2. 估算，就是利用一些估算策略，通過觀察、比較、判斷、推理等計(jì)算過程，獲得一種概略化的結(jié)果。簡單地說，估算就是“大致推算”。

根據(jù)精算和估算的基本概念，從“計(jì)算過程”和所得“結(jié)果”的特點(diǎn)來考察現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的計(jì)算內(nèi)容可知，精算的外延主要有三種表現(xiàn)形式：

（1）準(zhǔn)確計(jì)算得到的結(jié)果是準(zhǔn)確數(shù)；

（2）準(zhǔn)確計(jì)算得到的結(jié)果是近似數(shù)；

（3）近似計(jì)算得到的結(jié)果是近似數(shù)。

而估算外延的表現(xiàn)形式則比較單一——“簡略推算得到的結(jié)果是概略數(shù)”，通俗地說是“大致推算得到大致結(jié)果”。

下面，我們就用實(shí)例從兩者外延的表現(xiàn)形式上來作些探討。

二、實(shí)例對比

（1）準(zhǔn)確計(jì)算得到準(zhǔn)確數(shù)：（為方便計(jì)，例題一般先精算后估算）

例1，計(jì)算：96×18=1728（這是精算）。

若作估算，則可能有如下策略：i>96×18≈100×18=1800

或：ii>96×18≈95×20=1900

或：iii>96×18≈100×20=2000

例2，簡便計(jì)算：302+593-407

=300+600-400+2-7-7

=488（簡便計(jì)算屬于精算）

方法二：原式=302+59-5-400-7

=900-400-5-7

=500-12=488（仍然是精算）

若作估算：原式≈300+600-400=500

……

例1、例2屬于“可精亦可估”的計(jì)算題。值得一提的是，在“準(zhǔn)確計(jì)算獲得準(zhǔn)確結(jié)果”的情形下，“需精不需估”也是常見的。如，計(jì)算3+2、（18—6）×7……

（2）準(zhǔn)確計(jì)算得到近似數(shù)：

例3，計(jì)算：3155÷48≈65.729（保留三位小數(shù)）

若作估算：i>3155÷48≈3200÷50=64

或： ii>3155÷48≈3000÷50=60

或： iii>3155÷48≈3150÷50=63

……

（3）近似計(jì)算得到近似數(shù)：

例4，已知圓形花園的直徑為10.5米，求面積。

解：S=πr2≈3.14×（10.5÷2）2

≈3.14×（10.5÷2）2≈85.44（保留兩位小數(shù)）

若作估算：i>S= πr2≈3×（10÷2）2≈3×25=75

或：ii>S=πr2≈3.2×（10÷2）2≈3.2×25=80

我們早已知道，精算的算法也是多樣的，但結(jié)果總是“唯一、確定”的（如例2）。

從例3、例4可以看出，精算的結(jié)果是近似數(shù)時(shí)，必須有“精確度”的要求；而估算沒有“精確度”的要求。估算的策略不同，得到的結(jié)果也不同。既然允許有不同的估算策略，只要各種策略都是合理的，也就應(yīng)當(dāng)承認(rèn)各種結(jié)果的合理性。這說明估算的結(jié)果不具有“唯一、確定”性。對于精算習(xí)慣了的或精算入了迷的人來說，也不必?fù)?dān)心：“估算的結(jié)果誤差太大，怎么得了？”

其實(shí)，數(shù)學(xué)也是研究生活、研究世界、研究自然的，當(dāng)數(shù)學(xué)的規(guī)則還未達(dá)到與自然界的規(guī)則完全一致的時(shí)候，拒絕誤差、否認(rèn)誤差至少是一種僵化和片面的觀念。

我們還可發(fā)現(xiàn)，在例3、例4中的精算與估算中，雖然都使用了“≈”這一符號，但兩處含義有很顯著的區(qū)別。精算時(shí)，“≈”表示的結(jié)果都有明確的“精確度”，而估算時(shí)，“≈”卻不得有“精確度”的要求。

特別是需要指出的是，除了前述“需精不需估”和“可精亦可估”的類型外，還存在“需估不需精”和“可估不可精”兩種類型：

如，“蘋果每千克3.2元，小紅的媽媽準(zhǔn)備去買17千克蘋果，需帶多少錢？”這就屬于“需估不需精的情形，（用“4×20”、“5×20”……來估算都是合理的；并不需要用3.2×17=54.4來作精算。

三、對估算的新認(rèn)識

總結(jié)前面的對比探討，我們能夠獲得對估算的幾點(diǎn)新的認(rèn)識：

（1） 估算的作用。估算和精算都是提升到數(shù)學(xué)領(lǐng)域的計(jì)算策略。在處理或解決計(jì)算問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際的需要和可能，當(dāng)精則精，當(dāng)估則估。尤其是在那些“需估不需精”以及“可估不可精”的場合，估算發(fā)揮著精算不可代替的巨大作用。這就是估算最大的應(yīng)用價(jià)值之所在。

（2）估算策略的實(shí)質(zhì)。對于同一個(gè)問題的估算，不同的人可運(yùn)用不同的估算策略，可能得到不同的結(jié)果。盡管估算的策略各有不同，但估算策略的“哲學(xué)精神”在于：“抓大頭，看主流，不計(jì)小流和零頭?！边@也許是估算最大的教育價(jià)值之所在?！氨阌诤喖s性口算”可能是估算策略的基本方針。

（3）對估算結(jié)果的判定。對于同一個(gè)問題，不同的人可能得到不同的結(jié)果。只要各自的估算策略合理，就應(yīng)當(dāng)承認(rèn)各種不同的結(jié)果均具有合理性。估算的結(jié)果不具有“唯一、確定”性。

而且，各種不同的合理估算的結(jié)果沒有正確與錯(cuò)誤之分，只有誤差大小的不同而已。特別有趣的是：“在估算中，越精確并不意味著越好”。有時(shí)甚至是：“越精確反而越失真”。如“計(jì)算地球的表面積”，一般是估算為5.1億平方千米；假如有人把結(jié)果精確到了1平方厘米的程度，你能說這是最真實(shí)的結(jié)果嗎？顯然不是。這也是估算與精算最顯著的區(qū)別之一。

（4）估算的運(yùn)算規(guī)則。估算的運(yùn)算規(guī)則與精算的運(yùn)算規(guī)則相同。依據(jù)的算法意義一樣，在進(jìn)行加、減、乘、除等各種計(jì)算時(shí)是不能改變算法意義的。

（5）兩者在使用“四舍五入法”時(shí)，既有聯(lián)系又有區(qū)別。精算在近似計(jì)算或取得近似結(jié)果時(shí)，主要運(yùn)用“四舍五入法”。但估算就比較靈活，它除了使用“四舍五入法”之外，還可以用“收尾法”、“去尾法”，有時(shí)甚至要作適當(dāng)?shù)摹白栽溉∩帷?，以便于口算且快速簡便地獲得大致結(jié)果。

（6）估算與精算中使用“≈”的區(qū)別：精算時(shí)使用“≈”有精確度的要求，而估算時(shí)沒有“精確度”的要求。

（7）估算與猜測不同。估算是一個(gè)觀察、比較、判斷、推理的過程，有計(jì)算過程。猜測是一種想象或臆斷，沒有計(jì)算過程。

作者簡介：李淑君，吉林省四平市第一實(shí)驗(yàn)小學(xué)校教學(xué)副主任，小學(xué)高級。