審視教材背后的數(shù)學(xué)思想方法

2011版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。”由此看來(lái)，數(shù)學(xué)思想既是課程的目標(biāo)，也是重要的教學(xué)內(nèi)容。我們都知道教材研讀是備課的重中之重，帶著時(shí)代的氣息，探索的目光，我從數(shù)學(xué)思想方法上對(duì)人教版《雞兔同籠》的內(nèi)容進(jìn)行了新的解讀。

一、人教版“雞兔同籠”的主要內(nèi)容

大約1500年前，我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)趣題，這就是著名的“雞兔同籠”問(wèn)題。

這道題的意思就是：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35只個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳，雞和兔各有幾只？

二、“雞兔同籠”蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法

1. 轉(zhuǎn)化的思想方法。用容易探究的小數(shù)量（8個(gè)頭、26只腳）替代《孫子算經(jīng)》原題中大數(shù)量（35個(gè)頭、94只腳）的“替換法”解決問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化的思想和方法。學(xué)生一旦有了這種替換的意識(shí)，掌握了這種轉(zhuǎn)化的方法，將大大提高其探究的能力及探究活動(dòng)的實(shí)效性。教材114頁(yè)的“閱讀材料”中介紹的解法也用到了轉(zhuǎn)化。又一次的情境轉(zhuǎn)化中滲透著一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。

2. 列舉的思想方法。經(jīng)歷無(wú)序猜測(cè)的混亂之后，教材引導(dǎo)學(xué)生按順序列表（逐一列舉法），通過(guò)對(duì)比，有序思考的優(yōu)點(diǎn)顯而易見(jiàn)。逐一列表、有序思考既有利于學(xué)生條理性思維能力的發(fā)展，又有利于良好的思維習(xí)慣的養(yǎng)成。北師版的《雞兔同籠》還呈現(xiàn)了跳躍列舉和折中列舉，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多次嘗試與調(diào)整最終得出答案，邁的步子很大。列舉法一般適用于少量條件的列舉，當(dāng)元素過(guò)多時(shí)列舉過(guò)程比較繁瑣，有較大的局限性。

3. 函數(shù)的思想方法。觀察表格會(huì)發(fā)現(xiàn)雞與兔只數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及總腳數(shù)隨著雞、兔只數(shù)這兩個(gè)變量的變化而出現(xiàn)遞減變化的規(guī)律（雞只數(shù)減1，兔只數(shù)增1，雞兔總腳數(shù)就會(huì)增2）。如果數(shù)目稍多些，完全可以運(yùn)用這個(gè)規(guī)律快速將表格補(bǔ)充完整。學(xué)生會(huì)再次體驗(yàn)探索的樂(lè)趣與發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，這個(gè)規(guī)律也為接下來(lái)的的假設(shè)法做了鋪墊。

4. 假設(shè)和替換的思想方法。將兩個(gè)未知條件（雞兔各多少只）中的某一個(gè)假設(shè)成已知條件（假設(shè)8只全是雞或8只全是兔，也可以假設(shè)雞或兔為0～8之間的任意整數(shù)），再和其他兩個(gè)已知條件配合，進(jìn)而找到解題思路。

假設(shè)法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種常用思想方法，根據(jù)已知條件和問(wèn)題做出某種假設(shè)，然后進(jìn)行推算，再根據(jù)出現(xiàn)的矛盾加以調(diào)整，最終找出答案。

5. 模型的思想方法。假設(shè)法之后，教材呈現(xiàn)的是列方程解答的方法。從雞兔同籠的具體情境中抽出數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立方程表示雞兔只數(shù)與它們總腳數(shù)之間的等量關(guān)系。它有利于學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。這個(gè)關(guān)系本身就是一種模型，它思路清晰，不用逆向思維，便于理解，同時(shí)又沒(méi)有列表的局限性，因而它具是比較優(yōu)化的一種模型。模型思想是2011版數(shù)學(xué)新課標(biāo)的10個(gè)核心詞之一，在小學(xué)階段應(yīng)用也十分廣泛，同時(shí)它也是學(xué)生進(jìn)入下一學(xué)段必備的一個(gè)知識(shí)與能力的儲(chǔ)備。

在方程解法之后，教材提出“你能試著用上面的方法解決前面雞兔同籠”（即前面選自《孫子算經(jīng)》的原題）的問(wèn)題嗎？這又體現(xiàn)了“問(wèn)題情境——建立模型——解釋與應(yīng)用”的模式。

總之，做任何事都存在方法問(wèn)題，掌握方法比掌握知識(shí)更重要。完善的思想方法猶如夜空中的北極星，引領(lǐng)思維的方向。數(shù)學(xué)課一定要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維方式，數(shù)學(xué)知識(shí)是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個(gè)載體。當(dāng)你忘掉這些知識(shí)時(shí)，剩下的就是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式、科學(xué)的預(yù)測(cè)和對(duì)奧秘探究的興趣。作為教師，只有在備課時(shí)研讀教材，審視教學(xué)知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，并把沉睡的方法喚醒，使隱含的思想清晰起來(lái)，才能在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生更好地感受、體驗(yàn)、領(lǐng)會(huì)一些基本的思想方法，從而為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展奠基。

作者簡(jiǎn)介：高興輝，女，吉林省遼源市實(shí)驗(yàn)小學(xué)，小學(xué)高級(jí)。