培養(yǎng)例談函數(shù)定義域在數(shù)學思維品質(zhì)上的培養(yǎng)

王鵬

【摘要】思維品質(zhì)是指個體思維活動特殊性的外部表現(xiàn).它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質(zhì).函數(shù)作為高中數(shù)學的主線，貫穿于整個高中數(shù)學的始終.在解函數(shù)題中強調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對提高學生的數(shù)學思維品質(zhì)是十分有益的.

【關鍵詞】高中數(shù)學；函數(shù)的定義域；思維品質(zhì)；培養(yǎng)

函數(shù)的定義域是構成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.為此，筆者從函數(shù)的定義域入手，探討了如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì).

一、函數(shù)之解析式與定義域

函數(shù)關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數(shù)的關系式時必須要考慮所求函數(shù)關系式的定義域，否則所求函數(shù)關系式可能是錯誤的.例如，某單位計劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為100 m，求矩形的面積S與矩形長x的函數(shù)關系式.

解 設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）.

故函數(shù)關系式為：S=x（50-x）.

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就是說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數(shù)或不小于50的數(shù)時，S的值是負數(shù)，即矩形的面積為負數(shù)，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0 即函數(shù)關系式為：S=x（50-x），（0 這個例子說明，在用函數(shù)方法解決實際問題時，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現(xiàn)出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現(xiàn)出較好的思維嚴密性.

二、函數(shù)之最值問題與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（?。┲档膯栴}.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.例如，求函數(shù)y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最值.

解 ∵y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，

∴當x=1時，ymin=-4.

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化.這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學生思維缺乏靈活性.

其實以上結(jié)論只是對二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間[p，q]上，它的最值應分如下情況：

（1）當-b2a （2）當-b2a>q時，y=f（x）在[p，q]上是單調(diào)遞減函數(shù)，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；

（3）當p≤-b2a≤q時，y=f（x）在[p，q]上的最值情況是：

f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.

故本題還要繼續(xù)做下去：

∵-2≤1≤5，∴f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，f（5）=52-2×5-3=12.

∴f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12.

∴函數(shù)y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最小值是-4，最大值是12.

這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學生思維的靈活性.

三、函數(shù)之值域問題與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當定義域和對應法則確定，函數(shù)值也隨之而定.因此在求函數(shù)值域時，應注意函數(shù)定義域.例如，求函數(shù)y=4x-5+2x-3的值域.

錯解 令t=2x-3，則2x=t2+3，

∴y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78.

故所求的函數(shù)值域是78，+∞.

剖析 經(jīng)換元后，應有t≥0，而函數(shù)y=2t2+t+1在＼[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當t=0時，ymin=1.

故所求的函數(shù)值域是＼[1，+∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性.

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關系式、最值（值域）等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學生質(zhì)疑辨析的能力，有利于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性.

【參考文獻】

[1]王岳庭主編.數(shù)學教師的素質(zhì)與中學生數(shù)學素質(zhì)的培養(yǎng)論文集.北京海洋出版社，1998.

[2]田萬海主編.數(shù)學教育學.杭州：浙江教育出版社，1993.

[3]莊亞棟主編.高中數(shù)學教與學（99.2、99.6）.揚州：中學數(shù)學教與學編輯部出版，1999.