數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力

張網(wǎng)軍

摘 要：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一. 要有創(chuàng)新意識，就必須擁有創(chuàng)造性思維，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力？通過閱讀李嘉曾《創(chuàng)造魅力》一書，并結(jié)合自己平時教學(xué)案例，筆者發(fā)現(xiàn)采用一題多解、多題一解和一題多變的教學(xué)方式，有助于產(chǎn)生創(chuàng)造性思維成果.

關(guān)鍵詞：思維；創(chuàng)造性；數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，是訓(xùn)練思維、增長智慧的，是聰明學(xué). 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識. 要有創(chuàng)新意識，就必須擁有創(chuàng)造性思維，那么何為創(chuàng)造性思維？展開怎樣的思路，運用怎樣的思想方法，才有助于大量產(chǎn)生創(chuàng)造性的思維成果呢？這些問題值得每位教者認(rèn)真思考.

李嘉曾的《創(chuàng)造的魅力》一書中指出：“人的思維有三種基本形式，它們是抽象思維、形象思維和靈感思維.” 而創(chuàng)造性思維是指能夠產(chǎn)生前所未有的新結(jié)果，達到新的認(rèn)識水平的思維. 創(chuàng)造性思維具有新穎性、非重復(fù)性和超越性等本質(zhì)屬性. 因此任何一種思維的基本形式都可能產(chǎn)生創(chuàng)造性思維的結(jié)果，創(chuàng)造性是對思維內(nèi)容的評價. 根據(jù)創(chuàng)造性的基本原理和許多成功者的經(jīng)驗總結(jié)，發(fā)散思維與集中思維結(jié)合、求同思維與求異思維結(jié)合、正向思維與逆向思維結(jié)合等對立統(tǒng)一的辯證思路，是開展創(chuàng)造性思維的有效途徑. 這里筆者結(jié)合數(shù)學(xué)實例談?wù)勗谄綍r教學(xué)中如何采用以上三種思維來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，從而讓學(xué)生逐步形成創(chuàng)新意識.

[?] 發(fā)散思維與集中思維結(jié)合

“條條大路通羅馬”形象地說明了一種有效的思維方法：發(fā)散思維. 發(fā)散思維是從一點出發(fā)，向各個不同方向輻射，產(chǎn)生大量不同設(shè)想的思維. 發(fā)散思維具有多方向、多渠道、多層次的開放性特征，亦稱擴散思維或輻射思維.

點評：方法1從結(jié)論出發(fā)，將條件兩邊平方，然后比較+與1的大小，采用作差法，考慮問題直接，思路也自然. 方法2在sinα與cosα的影響下，注意到“1”的變換，也是我們平常所強調(diào)的重要轉(zhuǎn)化方法. 方法3直接從基本不等式出發(fā)，巧妙地證明. 方法4從三角的角度利用輔助角公式asinθ+bcosθ=·sin（θ+φ）及三角函數(shù)的有界性巧妙地加以證明. 方法5數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想，看到代數(shù)式能聯(lián)想到其幾何意義，從解析幾何角度找到解決問題的突破口. 方法6利用柯西不等式直接加以證明，激發(fā)學(xué)習(xí)選修的興趣. 一道證明題通過發(fā)散思維作用，竟然想出六種不同的方法，很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，相信你一定感覺到了發(fā)散思維的奇妙之處了吧！

集中思維是指在分析、綜合、對比等的基礎(chǔ)上推理判斷，從并列因素中作出最佳選擇的思維方式. 在數(shù)學(xué)解題過程中經(jīng)常會碰到這樣的情況.

案例2：已知函數(shù)f（x）=log3，x∈（0，+∞），是否存在實數(shù)a，b，使f（x）同時滿足下列兩個條件：①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)；②f（x）有最小值1. 若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

點評：這一問題許多學(xué)生首先考慮到用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，但又不敢往下做，主要是因為函數(shù)表達式有些復(fù)雜，求導(dǎo)不方便，于是就卡住了. 但仔細想想，研究函數(shù)的單調(diào)性除導(dǎo)數(shù)外，還有定義法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法、圖象法等，解析1就是用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法.然而，細品味導(dǎo)數(shù)法就繁嗎？解析2看上去明顯比解析1要簡潔，不因為看上去復(fù)雜就不動筆做，堅持做下去才有收獲. 解決函數(shù)單調(diào)性方法很多，經(jīng)過多角度、全方位的分析思考，最終還是通性通法——導(dǎo)數(shù)法最簡潔.

[?] 求同思維與求異思維結(jié)合

世間事物是千變?nèi)f化的，也是相互聯(lián)系的.有變化就有異，有聯(lián)系就有同.同和異是對立統(tǒng)一的一組矛盾. 同中有異，異中有同，求同思維與求異思維相結(jié)合將幫助我們排憂解難，不斷有所突破，有所創(chuàng)新.

求同思維是指在不同事物（現(xiàn)象）之間尋找相同之處的思維方法，也就是透過現(xiàn)象看出事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，并且利用這種本質(zhì)聯(lián)系獲取新的認(rèn)識，產(chǎn)生創(chuàng)造性的思維成果.

案例3：觀察如下一組試題：

點評：以上三個問題背景雖不同（函數(shù)、三角、解幾），高三教師在復(fù)習(xí)時都有很多的解題方法，但仔細品味，其實它們都涉及對二次三項式的處理. 抓住了這一點，就能從本質(zhì)上掌握這一類問題的解決方法. 將一些“相似”甚至看似“聯(lián)系不大”的不同領(lǐng)域（如函數(shù)、三角、解幾、不等式等）的題目進行簡化、抽象，并對其進行系統(tǒng)地歸納、概括，從中抽出具有共性即共同的解題規(guī)律性的東西，并進一步提升，形成分析、解決問題統(tǒng)一的思維模式——求同思維.

求異思維是從同類事物（現(xiàn)象）中尋找差異的思維方法，在此基礎(chǔ)上通過不同的方向、不同的角度，多途徑地探索客觀真理和問題的答案.

案例4：對等差數(shù)列前n項的和Sn=的認(rèn)識.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會碰到許多公式，如果教師在公式學(xué)習(xí)和使用上不能講解到位，往往給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來很大的障礙. 對于一個公式，我們要做到正用、逆用和活用，這樣才能說真正理解到位. 等差數(shù)列前n項的和Sn形式很多，如：

Sn====n·a中，

點評：這一組問題針對等差數(shù)列前n項和Sn各種不同形式而設(shè)計，可以多角度、深刻地理解和掌握等差數(shù)列前n項和的公式.

[?] 正向思維與逆向思維結(jié)合

思維的方向是一個形象化的比喻.思維并不是矢量，當(dāng)然談不上方向的概念. 然而，為了便于討論和研究，我們把人開展思維時的趨勢或思路比作方向，以此來探討內(nèi)在的規(guī)律和有效的方法.

正向思維即分析解決問題的思維策略模式的探索與構(gòu)建，是直接的，正方向的，盡情地，發(fā)散的，而且往往是針對一個具體問題的.

案例5：已知兩點A（3，0），B（0，3），拋物線C的方程是y=-x2+mx+1，拋物線C與線段AB有且只有一個公共交點，試求實數(shù)m的取值范圍.

解析1：拋物線C與線段AB有且只有一個公共交點

當(dāng)正向思維的思路和方法均難奏效，直接證法達不到目的時，可考慮逆向思維. 逆向思維是不按常規(guī)思路，與正常思路相反，或與問題常見解法相違的思維特征，往往同正向思維相反，是一種非常規(guī)思維方式. 數(shù)學(xué)中的反證法、補集法和變換主元法均是常見的逆向思維解題方法.

案例6：若下列方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：該問題若正向思考，包括如下三類情況：①只有一個方程有實根，有3種情況；②只有兩個方程有實根，有3種情況；③三個方程都有實根，有1種情況. 因而，問題就顯得較為復(fù)雜，不易弄清. 若逆向思考，“三個方程中至少有一個方程有實根”的否定是“三個方程都無實根”，則問題一下子就解決了，這就是正難則反的思想.

解析：若三個方程都無實根，則