帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的一類臨界問題

商廣宇

解決此類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)臨界點(diǎn)，審題應(yīng)抓住題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”“剛好”等詞語作為突破口，挖掘隱含條件，分析可能的情況，如有必要則畫出幾個不同半徑相應(yīng)的軌跡圖，從而分析出臨界條件。尋找臨界點(diǎn)有兩種有效方法：

1.軌跡圓的縮放：當(dāng)粒子的入射方向不變而速度大小可以變時，粒子做圓周運(yùn)動的軌跡圓心一定在入射點(diǎn)所受洛倫茲力所表示的射線上，但位置不確定，用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圓，從圓的動態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”。

2.軌跡圓的旋轉(zhuǎn)：當(dāng)粒子的速度大小確定而方向不確定時，所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的，只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，從定圓的動態(tài)旋轉(zhuǎn)中也容易發(fā)現(xiàn)“臨界點(diǎn)”。

例1：一足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，矩形區(qū)域的左邊界ad長為L，現(xiàn)從ad中點(diǎn)O垂直磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°，大小為v0的帶正電粒子（如圖所示），已知粒子電荷量為q，質(zhì)量為m（重力不計(jì)）。

（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v0應(yīng)滿足什么條件？

（2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，粒子應(yīng)從哪一邊界處射出，出射點(diǎn)位于該邊界上何處？最長時間是多少？

解析：

（1）粒子從ab邊射出的兩邊界軌跡如圖線Ⅰ與Ⅱ，

對圖線Ⅰ，由幾何關(guān)系知R+Rsin30°=L/2

得R=L/3

又qvB=m

得v=

對圖線Ⅱ，由幾何關(guān)系知R=Rsin30°+L/2

得R=L

又qvB=m

得v=

故粒子從ab邊射出

（2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，粒子應(yīng)ad邊射出，由幾何關(guān)系知，出射點(diǎn)離O點(diǎn)的距離d=R=v=且R≤L/3.

時間t=T=

例2：如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于圖中紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T，磁場內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×10m/s，已知α粒子的電荷與質(zhì)量之比=5.0×10C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長度。

解析：α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，用R表示軌道半徑，有

qvB=m

由此得R=

代入數(shù)值得R=10cm，可見2R>l>R

因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌道都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為確定P點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過Q點(diǎn)作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P，由圖中幾何關(guān)系得

NP=

再考慮N的右側(cè)，任何α粒子在運(yùn)動過程中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑，S為圓心作圓，交于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。

由圖中幾何關(guān)系得NP=

所求長度為PP=NP+NP

代入數(shù)值PP=20cm