微積分思想在保險精算課程教學(xué)中的應(yīng)用

姚俊

(常州工學(xué)院教學(xué)質(zhì)量評估中心，江蘇常州213032)

微積分思想在保險精算課程教學(xué)中的應(yīng)用

姚俊

(常州工學(xué)院教學(xué)質(zhì)量評估中心，江蘇常州213032)

在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的課程體系中設(shè)置保險精算課程，既有助于精算教育的推廣，也符合學(xué)生多樣化發(fā)展的需求。為提高課程目標(biāo)達成度，將微積分思想融入保險精算的教學(xué)過程，從導(dǎo)數(shù)定義的角度闡述了利息強度和死力兩個概念的本質(zhì)內(nèi)涵，用微元法重新推導(dǎo)了連續(xù)條件下人壽保險的一些精算公式。

保險精算；導(dǎo)數(shù)；微元法；精算現(xiàn)值

0 引言

保險精算學(xué)是依據(jù)經(jīng)濟學(xué)的基本原理和知識，利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法，對各種保險經(jīng)濟活動未來的財務(wù)風(fēng)險進行分析、估價和管理的一門綜合性應(yīng)用科學(xué)。例如研究保險事故的出險規(guī)律、保險事故損失額的分布規(guī)律、保險人承擔(dān)風(fēng)險的平均損失及其分布規(guī)律、保險費率和責(zé)任準(zhǔn)備金、保險公司償付能力等保險具體問題。

自從1988年北美精算協(xié)會與南開大學(xué)聯(lián)合招收了我國第一批精算學(xué)碩士研究生以來，我國精算教育呈現(xiàn)多元化趨勢，不僅知名高等學(xué)府紛紛加入了精算教育隊伍，許多地方本科院校也根據(jù)社會發(fā)展和人才培養(yǎng)的需要嘗試將保險精算課程納入統(tǒng)計學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等專業(yè)的課程體系之中。我國高等教育學(xué)會副會長張德祥教授認為：專業(yè)就其本質(zhì)來說，是圍繞人才培養(yǎng)目標(biāo)形成的課程組合。一個專業(yè)總有一定的培養(yǎng)目標(biāo)，圍繞這個培養(yǎng)目標(biāo)設(shè)計一系列的課程，這樣專業(yè)就形成了[1]。因此，課程的適切性問題始終是高等學(xué)校在設(shè)計課程時繞不開的話題，在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等非精算專業(yè)或方向開設(shè)保險精算課程亦是如此。國內(nèi)精算教育工作者對保險精算課程內(nèi)容的適切性[2-3]、課程組織的適切性[4-5]、課程結(jié)構(gòu)的適切性[6-7]以及課程選擇的適切性[8]等方面進行了許多有益的探索和思考，但是大多圍繞保險精算課程教學(xué)的宏觀層面，而對教學(xué)過程的微觀層面探討甚少，例如課堂教學(xué)中如何體現(xiàn)專業(yè)背景和主專業(yè)知識結(jié)構(gòu)對保險精算知識模塊的支撐。因此，文章基于數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的優(yōu)勢背景，將微積分思想引入保險精算課程的課堂教學(xué)之中，以供精算教育工作者在實踐中參考。

1 微分思想在保險精算教學(xué)中的應(yīng)用

用導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)方法研究非均勻變化的變量的變化率問題是“以勻代變，無限逼近”微積分思想的一個體現(xiàn)。保險精算理論借助導(dǎo)數(shù)符號分別定義了利息強度和死力這兩個概念，但是一般教材上都以函數(shù)相對變化率的形式直接給出，初學(xué)者會覺得很突兀。而利息強度、死力是保險精算基礎(chǔ)中的重要概念，后期的精算數(shù)理中很多精算公式都要用到這兩個量來表達，因此在教學(xué)過程中有必要從導(dǎo)數(shù)定義的角度剖析這兩個概念的本質(zhì)內(nèi)涵及其作用。

1.1 利息強度的微分解釋

在利息理論中，利息強度(或利息力)是指某一時點處利息大小的度量。任意時點t處的利息強度被定義為

(1)

式中a(t)為積累函數(shù)[9]10。

上述推導(dǎo)過程表明：利息強度在數(shù)學(xué)上是“Δt時間內(nèi)平均利息的極限”，即一單位本金在t時的變化率，其大小反映了一單位本金在瞬間產(chǎn)生利息的能力。

進一步，還可以利用導(dǎo)數(shù)的定義得到每年計息m次的年名義利率i(m)、年名義貼現(xiàn)率d(m)與利息強度之間的關(guān)系(見文獻[10])。特別地，若某時間區(qū)間上利息強度δt恒為常數(shù)δ，則有

而

從而有

(2)

又因為

所以

代入(2)式，得

(3)

式(2)、(3)表明，時間區(qū)間上恒為常數(shù)的利息強度就是每年計息“無窮多次”的年名義利率或年名義貼現(xiàn)率。

1.2 死力的微分解釋

在生命表基礎(chǔ)中，新生嬰兒在任意年齡x處的死力(或死亡力)被定義為

(4)

式中，s(x)為生存函數(shù)[9]36。

(5)

式(5)表明，死力在數(shù)學(xué)上是存活人數(shù)在x歲時的變化率。

2 積分思想在保險精算教學(xué)中的應(yīng)用

用定積分?jǐn)?shù)學(xué)方法研究非均勻變化的變量的累積問題是“以勻代變，無限逼近”微積分思想的另一個體現(xiàn)。而定積分解決實際問題的關(guān)鍵是微元法(元素法)確定積分表達式，該方法包含了另一個微積分思想“非線性函數(shù)局部線性化”。在研究人壽保險的躉繳純保費、責(zé)任準(zhǔn)備金等精算問題時，教材一般都采用“余命隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望”這一思路。但是注意到離散條件下人壽保險的各種精算公式都是求和的形式，這說明躉繳純保費、責(zé)任準(zhǔn)備金等本質(zhì)上是累積問題，因此我們有理由用微元法來推導(dǎo)連續(xù)條件下人壽保險的各種精算公式。

2.1 微元法計算連續(xù)年金的現(xiàn)值和終值

連續(xù)付款n個計息期，每個計息期付款額之和為1的連續(xù)年金的現(xiàn)值為

(6)

式中，ν為折現(xiàn)因子[9]29。

式(6)可由微元法推導(dǎo)而得。連續(xù)年金的現(xiàn)值與付款時間t有關(guān)，且t∈[0,n]，從中任取一子區(qū)間[t,t+dt]。因為每個計息期付款總額為1，所以dt時間內(nèi)付款dt=Δt單位。若時刻t支付這Δt單位，在時刻0的現(xiàn)值為νt·Δt；若時刻t+dt支付，在時刻0的現(xiàn)值為νt+Δt·Δt。這樣，連續(xù)年金在[t,t+dt]上的現(xiàn)值增量Δa滿足

νt+Δt·Δt≤Δa≤νt·Δt，且

根據(jù)文獻[11]可知，連續(xù)年金的現(xiàn)值微元為

da=νtdt

(7)

對微元式(7)在區(qū)間[0,n]上積分，即得連續(xù)年金的現(xiàn)值公式(6)。

連續(xù)付款n個計息期，每個計息期付款額之和為1的連續(xù)年金的終值[9]29為

(8)

若時刻t支付這Δt單位，在時刻n的終值為(1+i)n-t·Δt；若時刻t+dt支付，在時刻n的終值為(1+i)n-t-Δt·Δt。這樣，連續(xù)年金在[t,t+dt]上的終值增量Δs滿足

(1+i)n-t-Δt·Δt≤Δs≤(1+i)n-t·Δt，且

由文獻[11]可知，連續(xù)年金的終值微元為

ds=(1+i)n-tdt

(9)

對微元式(9)在區(qū)間[0,n]上積分，并令r=n-t作積分變換即得連續(xù)年金的終值公式(8)。

2.2 微元法計算生存年金的精算現(xiàn)值

以連續(xù)方式每年給付一單位的n年定期生存年金的精算現(xiàn)值為

(10)

式中，ν為折現(xiàn)因子，tpx為x歲的人能活滿n年的概率[9]72。

式(10)可由微元法推導(dǎo)而得。顯然連續(xù)型生存年金的精算現(xiàn)值與被保險人的存活時間t有關(guān)，且t∈[0,n]，從中任取一子區(qū)間[t,t+dt]。因為每年支付一單位生存保險金，所以dt時間內(nèi)給付Δt單位生存保險金。若時刻t支付這Δt單位，在保險簽單時的精算現(xiàn)值為tEx·Δt；若時刻t+Δt支付，在保險簽單時的精算現(xiàn)值為t+ΔtEx·Δt，這樣，連續(xù)型生存年金在子區(qū)間[t,t+Δt]上的精算現(xiàn)值增量Δa滿足

t+ΔtEx·Δt≤Δa≤tEx·Δt，且

根據(jù)文獻[11]可知，一單位連續(xù)型n年定期生存年金的精算現(xiàn)值微元為

da=tEx·dt=νt·tpxdt

(11)

對微元式(11)在區(qū)間[0,n]上積分，即得一單位連續(xù)型n年定期生存年金的精算現(xiàn)值公式(10)。

2.3 微元法計算人壽保險的精算現(xiàn)值

死亡立即支付一單位保險金的n年定期壽險的精算現(xiàn)值為

(12)

式中，fT(t)是x歲人的余命T的概率密度函數(shù)[9]48。

式(12)可由微元法推導(dǎo)而得。顯然死亡給付的人壽保險的精算現(xiàn)值與被保險人的死亡時間t有關(guān)，且t∈[0,n]，從中任取一子區(qū)間[t,t+dt]。假設(shè)被保險人在時刻t+dt死亡，保險人立即支付的一單位死亡保險金在投保時的精算現(xiàn)值為νt+Δt·t|Δtqx，也即死亡即付一單位保險金的n年定期壽險在區(qū)間[t,t+dt]上的精算現(xiàn)值部分量ΔA=νt+Δt·t|Δtqx。因為

所以死亡即付一單位保險金的n年定期壽險的精算現(xiàn)值微元為

dA=νt·fT(t)dt

(13)

2.4 微元法計算人壽保險的責(zé)任準(zhǔn)備金

全連續(xù)型全期繳費的n年定期壽險在x+t歲時的責(zé)任準(zhǔn)備金未來法公式[9]121為

(14)

(15)

式中fU(u)為x+t歲的人的余命U的密度函數(shù)。對微元(15)式在區(qū)間[0,n-t]上積分，有

這剛好是全連續(xù)型全期繳費的n年定期壽險在x+t歲時的責(zé)任準(zhǔn)備金未來法公式(14)。

3 結(jié)語

專業(yè)是大學(xué)人才培養(yǎng)的基本單位，課程是高等學(xué)校教學(xué)的基本單元，是高校教學(xué)的核心內(nèi)容。將保險精算課程納入數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的課程體系，能夠充實專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，優(yōu)化學(xué)生專業(yè)知識結(jié)構(gòu)，拓展學(xué)生金融應(yīng)用能力，順應(yīng)金融經(jīng)濟發(fā)展潮流，符合學(xué)生多樣化發(fā)展的需求。

本文基于“以勻代變，無限逼近”的微積分基本思想，一方面通過導(dǎo)數(shù)思想方法進一步闡述了利息強度和死力兩個概念的本質(zhì)內(nèi)涵及其作用，另一方面通過微元法重新推導(dǎo)了固定年金的現(xiàn)值和終值公式、生存年金的精算現(xiàn)值公式、人壽保險的躉繳純保費公式以及責(zé)任準(zhǔn)備金的未來法公式，這種方法避免了厘定各種極易混淆的現(xiàn)金流的現(xiàn)值隨機變量。實踐表明，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的優(yōu)勢背景，將微積分思想貫穿于保險精算的教學(xué)過程，有助于初學(xué)者準(zhǔn)確把握精算概念，深刻理解現(xiàn)金流的動態(tài)折現(xiàn)或積累過程，從而逐漸形成精算數(shù)學(xué)思維，有效提高課程目標(biāo)達成度。

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責(zé)任編輯：周澤民

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Applications of Calculus Thought in Teaching ″Actuarial Science″ Course

YAO Jun

(Teaching Quality Evaluation Center，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213032)

Incorporating the course of actuarial science in the curriculum system for mathematics and applied mathematics specialty helps popularize actuarial education and meets students′ demand for diversified development.In order to better fulfill the course objective,calculus thought was integrated into the teaching process of actuarial science.The connotations of force of interest and fierce of mortality were elaborated from the angle of derivative definition.Some actuarial formulas of life insurance under continuous conditions were rederived by the infinitesimal method.

actuarial science；derivative； infinitesimal method； actuarial present value

10.3969/j.issn.1671- 0436.2017.02.017

2017- 03- 20

常州工學(xué)院課程建設(shè)項目(A3-4401-14-035)

姚俊(1979— )，男，碩士，講師。

G642.0

B

1671- 0436(2017)02- 0082- 05