函數(shù)構(gòu)造在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

王躍超，張聰，于一丁

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130103)

函數(shù)構(gòu)造在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

王躍超，張聰，于一丁

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130103)

針對(duì)數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的思想方法——函數(shù)構(gòu)造法,從定義、方法以及應(yīng)用三個(gè)方面進(jìn)行討論,歸納出多種構(gòu)造函數(shù)的方法，同時(shí)列舉出應(yīng)用函數(shù)構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)分析中一些典型問題的實(shí)例,對(duì)其構(gòu)造方法進(jìn)行了總結(jié)。

函數(shù)構(gòu)造;初等函數(shù);解析函數(shù);中值定理;積分上限函數(shù)

0 引言

函數(shù)構(gòu)造在數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)與解題過程中有著重要的作用,也為其他后繼課程的學(xué)習(xí)與理解提供了一種基本的思路和方法。函數(shù)構(gòu)造是高等數(shù)學(xué)研究中一種十分重要的思想方法。函數(shù)構(gòu)造的具體方法比較開放,沒有固定的模式。因此，熟練掌握其方法并且靈活應(yīng)用也有一定的難度。本文從數(shù)學(xué)分析研究過程中出現(xiàn)的一些相對(duì)典型并且比較常見的題目出發(fā),給出函數(shù)構(gòu)造的概念并對(duì)函數(shù)構(gòu)造的方法進(jìn)行了歸納與總結(jié)，將函數(shù)構(gòu)造法分為初等方法和解析方法分別進(jìn)行研究。再針對(duì)數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)中最典型的兩類問題，給出了函數(shù)構(gòu)造在解題過程中的具體思路。

2006年,張劍鋒、胡亞紅[1]對(duì)函數(shù)構(gòu)造在中值定理相關(guān)問題中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。2010年,鄒應(yīng)奇[2]對(duì)多種構(gòu)造法在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用進(jìn)行了分析和比較。2014年,王建軍[3]對(duì)函數(shù)構(gòu)造法的教學(xué)技巧進(jìn)行了探討。本文從學(xué)習(xí)者的角度出發(fā),針對(duì)數(shù)學(xué)分析中更基本更廣泛的問題,用函數(shù)構(gòu)造法進(jìn)行了研究,突出了函數(shù)構(gòu)造法的作用,探討的內(nèi)容更加全面。

1 函數(shù)構(gòu)造

構(gòu)造函數(shù)也常被稱為輔助函數(shù)法,即在解決數(shù)學(xué)分析的有關(guān)問題時(shí)，根據(jù)題意的需要,在不違背題意的前提下,構(gòu)造出能夠解決問題的函數(shù)。

例1 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可微,f′(x)>0(0

證明：令F(x)=f(1-x)f(x),

由于f(0)=0,則有

f(0)=F(1)=0。

由羅爾定理,存在λ∈(0,1),使

F′(λ)=0,

即

f′(λ)f(1-λ)-f(λ)f′(1-λ)=0。

令μ=1-λ,即有

f′(λ)f(μ)-f(λ)f′(μ)=0。由于f′(x)>0(0

故

f(x)>f(0)=0(0

則有

f(λ)f(μ)≠0。

因此，可解得

在上面的例子中,我們通過構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)將題中所給條件與要證明的結(jié)論聯(lián)系了起來,從而將問題解決。這就是我們構(gòu)造輔助函數(shù)的主要目的和意義。

2 函數(shù)構(gòu)造的常用方法

2.1 初等方法

利用初等方法構(gòu)造函數(shù)，是指根據(jù)題意通過構(gòu)造一個(gè)初等函數(shù)來解決具體問題,主要包括構(gòu)造復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)等。這些方法在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中就已經(jīng)開始接觸,在數(shù)學(xué)分析解題的過程中還會(huì)經(jīng)常用到。

則

(1)

又設(shè)

所以有

故F(x)單調(diào)增加,當(dāng)x≥1時(shí),有

F(x)≥F(1)>0

(2)

由式(1)、(2)可知，當(dāng)x≥1時(shí),

f′(x)>0,f(x)也單調(diào)增加。

當(dāng)x≥1時(shí)，有

f(x)≥f(1)=0,

即

故有

2.2 解析方法

利用解析方法構(gòu)造函數(shù)，是指根據(jù)題意通過構(gòu)造一個(gè)解析函數(shù)來解決具體問題,主要包括構(gòu)造函數(shù)列和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),隱函數(shù),積分上、下限函數(shù),以及構(gòu)造含參量的正常積分和非正常積分等。而想要通過構(gòu)造解析函數(shù)來解決數(shù)學(xué)分析中的具體問題,就要熟練掌握這些函數(shù)的性質(zhì),尤其是解析性質(zhì)。這是數(shù)學(xué)分析研究過程中的一個(gè)重要部分。

由題設(shè)可以驗(yàn)證F(t)在[0,1]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件,因此?ξ∈[0,1],使F′(ξ)=0。

即

ξf(ξ)-2ξf(ξ)-ξ2f′(ξ)=0。

由此可解得

3 函數(shù)構(gòu)造在數(shù)學(xué)分析解題中的典型應(yīng)用

3.1 定積分中有關(guān)不等式的證明

在對(duì)定積分中的不等式進(jìn)行證明時(shí),我們通常會(huì)構(gòu)造一個(gè)積分上限函數(shù),并利用其性質(zhì)解決實(shí)際問題。

例4 設(shè)f(x)、g(x)和它們的平方在[a,b]上可積,證明不等式

則當(dāng)t≥a時(shí),有

由此可知F(t)單調(diào)不減,又F(a)=0,所以F(b)≥0,即證

3.2 方程根的有關(guān)證明

在對(duì)方程的根的存在性進(jìn)行證明時(shí)所采用的函數(shù)構(gòu)造方法相對(duì)較靈活,主要根據(jù)題中所給條件以及所要證明的結(jié)論等特點(diǎn)來構(gòu)造輔助函數(shù),達(dá)到解題目的。

例5 證明：若f(x)在[a,b]上可微,f(x)=0的相鄰兩個(gè)根為α、β(a<α<β

證明：設(shè)F(x)=e-xf(x)，

則F(x)在[α,β]上連續(xù)并可微,且

F(α)=F(β)=0。根據(jù)羅爾中值定理,?ξ∈(α,β)，使得F′(ξ)=0。

而

F′(ξ)=e-ξ[f′(ξ)-f(ξ)]

即

e-ξ[f′(ξ)-f(ξ)]=0。

故有

f′(ξ)-f(ξ)=0。

即ξ為f(x)-f′(x)=0的根,命題得證。

4 結(jié)語

本文對(duì)函數(shù)構(gòu)造在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用進(jìn)行了初步探究與總結(jié)。通過對(duì)一些具體實(shí)例的分析給出了兩種基本的函數(shù)構(gòu)造方法,即初等方法和解析方法。同時(shí)給出了這兩種方法在定積分中有關(guān)不等式的證明和在方程的根的有關(guān)證明中的具體應(yīng)用,為相關(guān)問題的解決提供了基本的思路。

[1]張劍鋒,胡亞紅.淺談構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].麗水學(xué)院學(xué)報(bào),2006,28(2)：71-74.

[2]鄒應(yīng)奇.淺談構(gòu)造思想方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J].新課程學(xué)習(xí)(學(xué)術(shù)教育),2010(5)：31.

[3]王建軍.從函數(shù)構(gòu)造的整體觀點(diǎn)談數(shù)學(xué)分析教學(xué)[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào),2014,30(5)：15-30.

[4]王少英,王淑云.積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008,30(6)：20-22.

[5]錢吉林.數(shù)學(xué)分析解題精粹[M].武漢:崇文書局,2009.

[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.

責(zé)任編輯：周澤民

Application of Function Construction in Mathematical Analysis

WANG Yuechao，ZHANG Cong，YU Yiding

(College of Mathematics,Jilin Normal University,Changchun 130103)

Function construction,an important way of thinking in mathematical analysis,was discussed from the aspects of definition,method and application.Methods of making constructors were summed up.Examples of typical problems in mathematical analysis were enumerated and the construction method was summarized.

function construction;elementary function;analytic function;mean value theorem;integral upper limit function

10.3969/j.issn.1671- 0436.2017.02.018

2017- 01- 09

王躍超(1992— )，女，碩士研究生。

O174.4

B

1671- 0436(2017)02- 0087- 03