小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想的實踐性思考

王海靜

[摘 要] 2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想”的建立. 在小學(xué)階段，正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義，這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時明確了數(shù)學(xué)模型思想的構(gòu)建尚存缺憾.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)模型思想；思考缺失；實踐性思考

在豐富的數(shù)學(xué)世界里，蘊(yùn)涵著變化多樣的數(shù)學(xué)模型. 數(shù)學(xué)教學(xué)過程就是把復(fù)雜的情境進(jìn)行分析、簡化，從而得出簡約的數(shù)學(xué)模型，去實現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值. 數(shù)學(xué)建模就是將一些零散的、凌亂的、具體的、形象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行抽象歸納，形成整體的、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，將數(shù)學(xué)與外部事物相聯(lián)系，促使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 長此以來，因受各種管理制度、考評政策、教師自身專業(yè)素養(yǎng)的束縛，教師缺乏對數(shù)學(xué)模型思想的深入思考，也缺乏對學(xué)生模型思想構(gòu)建過程的指引，會致使課堂中體現(xiàn)出對模型思想滲透較少，或者根本毫無體現(xiàn).

課堂中學(xué)生缺乏參與建模的過程

在平時的教學(xué)中，我們常會聽到教師的抱怨：某某學(xué)生上課表現(xiàn)挺好的，積極性挺高，當(dāng)堂課的練習(xí)正確率也行，可是一到考試就不抓分. 仔細(xì)分析，我們會發(fā)現(xiàn)，該類學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)只是一種假象，實際上他們對數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過程沒有清晰、深刻的理解，僅僅停留在操作表面及表象的概括水平上，不能脫離具體表象形成抽象的概念，自然也無法擺脫局部事實的片面性而把握數(shù)學(xué)的模型本質(zhì)，究其原因，還是我們教師在課堂上模型思想滲透較少.

例如教學(xué)“覆蓋的規(guī)律”，有位教師是這樣處理課堂教學(xué)的：教師出示例1，直接提出數(shù)學(xué)問題“一共可以得到多少種不同的和”，安排學(xué)生獨立思考，并在小組內(nèi)交流自己的想法. 事實上，學(xué)生對于覆蓋是什么、怎么覆蓋還不了解，根本不知從何著手，幾分鐘后，學(xué)生無動于衷，于是教師給出了模型“總數(shù)-每次覆蓋的個數(shù)+1=不同和的個數(shù)”，接下來學(xué)生按照老師給的模型解決了第一個問題，即“總數(shù)為10，每次覆蓋2個，可以得到多少個不同的和”，很順利，結(jié)果也很準(zhǔn)確. 教師又出示“如果連續(xù)覆蓋3個呢？4個呢”，學(xué)生一一解答，無一錯誤. 從整節(jié)課來看，雖然教師想要滲透數(shù)學(xué)模型思想，但缺乏引領(lǐng)學(xué)生主動探索模型的形成過程，而學(xué)生則無法經(jīng)歷模型構(gòu)建的過程. 乍一看，學(xué)生會解決問題了，可是脫離教師本節(jié)課的教學(xué)情境，學(xué)生很難運(yùn)用這個模型去解決問題. 數(shù)學(xué)模型變成僵化的、僅供學(xué)生機(jī)械記憶的材料，學(xué)生未經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的探究、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗證等過程，所以不能深入理解，更難以形成自己的知識加以儲備.

教師缺乏對模型思想的深入思考

應(yīng)試教育使我們急功近利，往往只關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，而對學(xué)生模型思想的形成過程不夠重視，對教材中隱含的模型思想未做深入挖掘，這就造成了教師對數(shù)學(xué)模型思想的思考缺失，于是我們的課堂過于形式化，不具備更深刻的品質(zhì).

教師缺乏對模型思想的思考，只是簡單地設(shè)計教學(xué)過程，目的只是教給學(xué)生解決問題的技巧，這對學(xué)生的成長不利.

教師首先要學(xué)會縱向分析教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)模型透徹理解，并能融會貫通. 如教學(xué)“認(rèn)識位置”，學(xué)生接觸了“第幾排第幾個”，滲透的是在二維空間上確定位置的模型，也是五年級教學(xué)“數(shù)對”的基礎(chǔ). 從低年級的直接形象思維，五年級的學(xué)生已能抽象出二維坐標(biāo)模型的雛形了. 如果教師不能縱向把握這些教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，就很難實現(xiàn)對學(xué)生模型思想的構(gòu)建.

教師也要學(xué)會橫向把握教材教學(xué)內(nèi)容，如教學(xué)五年級的“方程”時，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是“用字母表示數(shù)”. 認(rèn)識方程的含義、能列方程解決實際問題是學(xué)生的最終學(xué)習(xí)結(jié)果. 而同在一冊教材中的“覆蓋的規(guī)律”，學(xué)生通過研究能獲得“總數(shù)-每次覆蓋的個數(shù)+1=不同和的個數(shù)”這樣一個方程模型.

眼界決定境界，一個教師是否具有模型的眼光和模型意識，往往決定著他的教學(xué)深刻性和課堂教學(xué)的品質(zhì). 而教師的模型眼光和模型意識一般是在教學(xué)行為實施前形成的，所以對教學(xué)內(nèi)容的研究不止體現(xiàn)了教師的專業(yè)能力，也是模型構(gòu)建的必經(jīng)過程.

從布魯納的認(rèn)知發(fā)展理論角度講，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)識過程，在這個過程中，個體的學(xué)習(xí)總是要通過對信息進(jìn)行整理、加工，以一種易于掌握的形式加以儲存. 含混不清的信息會對新知識產(chǎn)生嚴(yán)重的干擾，會給理解、記憶數(shù)學(xué)思維及應(yīng)用造成極大困難.

小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想實踐策略

數(shù)學(xué)模型的形成體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的簡約美，它是一個發(fā)現(xiàn)與發(fā)展的過程，也是一個應(yīng)用的過程. 伴隨著數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)模型也隨即產(chǎn)生和發(fā)展.

（一）教師引導(dǎo)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想從具體到抽象的轉(zhuǎn)變

鄭毓信教授在《數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書談到：“就數(shù)學(xué)在古埃及、古巴比倫等地的早期發(fā)展而言，人們主要是通過觀察或?qū)嶒?，并依靠對于?jīng)驗事實的歸納獲得了關(guān)于真實事物或現(xiàn)象量性屬性的某些認(rèn)識；但是，從現(xiàn)今的觀點看，這些只能說是一種經(jīng)驗的知識，而不能被看成真正的數(shù)學(xué)知識，因為，真正的數(shù)學(xué)知識應(yīng)當(dāng)是關(guān)于抽象對象的研究. ”所以，數(shù)學(xué)本身就是對現(xiàn)實生活情境的一種抽象，而數(shù)學(xué)模型更是經(jīng)歷了多次抽象后的結(jié)果，將抽象的模型形成一種數(shù)學(xué)思想，這與小學(xué)生較為形象的思維表象有一定距離.

1. 從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)“用字母表示數(shù)”時，許多教師都是用一首有節(jié)奏的兒歌引入，在這首兒歌中，有青蛙的嘴，還有眼睛和腿，又要跳下水，一直念下去，于是在具體的情境中抽象出規(guī)律，并且用簡單的字母表示. 這個過程就是數(shù)學(xué)模型的抽象過程，在數(shù)學(xué)模型的抽象過程中，感受數(shù)學(xué)模型思想. 作為教師，在教學(xué)中只有努力尋求縮小“形象思維”和“模型思想”之間的距離，才能使數(shù)學(xué)模型對學(xué)生的發(fā)展有真正意義的促進(jìn).

2. 數(shù)學(xué)模型實驗幫助學(xué)生理解

數(shù)學(xué)模型是問題解決中借助模型處理各類問題的方法，是將數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于理論問題和實踐問題的實驗. 教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義，■=c（a不能為0），對于a為什么不能為0，大部分教師會直接告訴學(xué)生記住a為0沒有意義就可以了，稍認(rèn)真的教師會聯(lián)系除法的意義進(jìn)行講解，而學(xué)生只是簡單地記住了這個知識，并沒有理解. 我們可以將這個抽象的字母公式還原成事物原型，如創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型實驗，海水的含鹽率=■，如果海水的重量為0，則不存在海水，更談不上含鹽率，所以是沒有意義的. 這樣一個實際的數(shù)學(xué)模型，會給學(xué)生留下深刻而直觀的認(rèn)識，便于學(xué)生理解與接受.

（二）學(xué)生自主探索，實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型思想從零散到系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變

數(shù)學(xué)模型的建立，最終還是依靠學(xué)生的自主探索. 猜想和驗證是實現(xiàn)模型建立不可或缺的思維能力.

1. 用猜想搭起數(shù)學(xué)到模型的橋梁

猜想是比較高級的思維方式，在探索與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程中，猜想也是一種被經(jīng)常運(yùn)用的思維方法. 尤其是在教學(xué)幾何與圖形的相關(guān)內(nèi)容時，在教學(xué)生一些數(shù)學(xué)公式之前，我們可以鼓勵學(xué)生根據(jù)已有的知識大膽地進(jìn)行猜想.

例如，學(xué)生掌握了長方形、正方形、平行四邊形等平面圖形面積計算的推導(dǎo)過程以及計算方法之后，在教學(xué)“圓的面積計算”時，我首先安排學(xué)生大膽地猜想它的面積計算可能會和誰有關(guān)，根據(jù)以往所學(xué)的知識，學(xué)生會想到轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，推測出可能會與長方形的面積計算有關(guān)，再通過教師提供的學(xué)具，學(xué)生操作、研究，并展開具體地分析，從而找出它們的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，最終得出將圓通過剪拼得到近似的長方形，而這個長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑，而長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr2.

2. 運(yùn)用驗證促成數(shù)學(xué)模型生成

學(xué)生在初步猜想的基礎(chǔ)上得出結(jié)論，這個結(jié)論還要組織學(xué)生進(jìn)行充分地驗證，在驗證的過程中可能會有新的發(fā)現(xiàn)，同時在解決新問題的過程中，能進(jìn)一步完善自己的猜想，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出具體數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用這個結(jié)論解決更多的實際問題. 對于學(xué)生來說，這是一個主動學(xué)習(xí)的過程，更是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、創(chuàng)新學(xué)習(xí)的過程.

例如教學(xué)“覆蓋的規(guī)律”，對于總共10個數(shù)，每次覆蓋兩個，可以得到多少個不同的和，可出示以下表格，組織學(xué)生操作、填表：

學(xué)生通過前三次操作，會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而抽象出數(shù)學(xué)模型的雛形. 面對“10個數(shù)，每次覆蓋7個，有多少種不同的選擇”，學(xué)生會輕而易舉地得出結(jié)論，那么這個結(jié)論是否正確，學(xué)生通過再次的操作進(jìn)行驗證，會證明自己發(fā)現(xiàn)的正確性.

任何數(shù)學(xué)模型的建立過程，不是單憑一種數(shù)學(xué)思維方式就能完成，往往需要多種數(shù)學(xué)思維方式的綜合運(yùn)用. 同時，數(shù)學(xué)模型的價值體現(xiàn)在建立過程以及以此去解決實際問題的過程之中，不是數(shù)學(xué)模型簡單、機(jī)械的模仿運(yùn)用，不能簡單地把所有的概念或問題都裝上一個數(shù)學(xué)模型，這樣會把一個完整的數(shù)學(xué)體系變成用不同的數(shù)學(xué)模型驅(qū)動的支離破碎的混合體. 數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用之間的橋梁，建立模型更為重要的是學(xué)生能體會到從實際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)、獲得再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的濃厚興趣，在建立模型形成新的數(shù)學(xué)知識的過程中，學(xué)生更能體會到數(shù)學(xué)與大自然和社會的天然聯(lián)系.