基于嵌套Archimedean Copula的金融資產(chǎn)相關(guān)性研究

杜子平　張雪峰

摘 要：Copula能將單個邊緣分布和多元聯(lián)合分布聯(lián)系起來，已被廣泛用于金融資產(chǎn)相關(guān)性研究。本文利用E-GARCH（1，1）模型來擬合各個外匯市場的日收益率序列，通過構(gòu)建嵌套Archimedean Copula聯(lián)合分布函數(shù)，分析美元、港幣、歐元波動相關(guān)關(guān)系。實證研究表明：嵌套Archimedean Copula能夠很好地捕獲非對稱結(jié)構(gòu)下尾相關(guān)性，及較好地刻畫外匯市場的協(xié)同波動效應(yīng)，并且簡化計算量，具有直觀的描述性，有利于進行資產(chǎn)的風(fēng)險管理。

關(guān)鍵詞：E-GARCH；嵌套；Archimedean Copula；協(xié)同波動

中圖分類號：F822.0 文獻標(biāo)識碼：A〓 文章編號：1003-9031（2013）08-0009-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.02

一、引言

在當(dāng)前全球經(jīng)濟一體化和近兩年國內(nèi)股市低迷的宏觀背景下，外匯投資備受關(guān)注。任何金融產(chǎn)品投資都有風(fēng)險，而匯率風(fēng)險是雙刃劍，其風(fēng)險源自不確定性，它既可能使企業(yè)受損，也可能使其獲益。越來越多的散戶投資者及企業(yè)開始進入外匯市場，可以充分利用分析外匯市場的波動來獲取收益。尤其對于出口企業(yè)，如何利用風(fēng)險分析減少外匯風(fēng)險更為重要，同時還可與政府相關(guān)部門、銀行、信用保險部門保持溝通，及時獲知風(fēng)險預(yù)警信息，提高防范外匯風(fēng)險能力。相關(guān)性分析是多變量金融分析中的一個中心問題，資產(chǎn)定價、投資組合、波動的傳導(dǎo)和溢出、風(fēng)險管理等問題都涉及相關(guān)性分析。但是傳統(tǒng)的線性相關(guān)系數(shù)具有一定局限性。如它要求變量間是線性的，且方差存在，但是金融市場中出現(xiàn)的不少數(shù)據(jù)往往是尖峰厚尾分布，方差通常為異方差性，有時并不存在。傳統(tǒng)的金融建模工具無法較好地擬合這類建模需求。

Sklar（1959年）提出的Copula理論解決了傳統(tǒng)金融分析中的建模問題，同時可以很好地刻畫變量間的非線性、非對稱性及金融數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出的尾部相關(guān)關(guān)系[1]。Copula是把多個隨機變量的聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布相連接起來的函數(shù)，能夠?qū)⒍嘣?lián)合分布分解為多個邊緣分布和一個Copula乘積的形式，通過聯(lián)合函數(shù)來捕捉多元變量間的相關(guān)性，隨著近些年理論的不斷發(fā)展，已經(jīng)成了資產(chǎn)相關(guān)性分析的重要工具。

Marius Hofert and Matthias Scherer通過嵌套阿基米德Copula建模，對債務(wù)抵押債券定價問題進行了研究，表明嵌套阿基米德Copula建模的相比可交換類Copula的優(yōu)勢，并實例分析了債務(wù)抵押債券的資產(chǎn)組合定價問題，也充分證明了該模型的優(yōu)勢[2]。Nelson、Daniel（1991）也首次提出了非對稱波動性的E-GARCH模型[3]。由于金融市場的波動特性——尖峰厚尾非對稱性等，并且就外匯市場而言其對政策的不確定性極其敏感性，這一點通過傳統(tǒng)的正態(tài)假設(shè)定量建模工具難以刻畫說明。李秀敏、史道濟（2007）實證研究了金融資產(chǎn)的尾部通常呈現(xiàn)不對稱相關(guān)性，而Copula函數(shù)較好反映這類資產(chǎn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)[4]。文忠橋、馮德海（2010）通過分析中國股市的非對稱效應(yīng)也充分證明這點[5]。王昭偉以BEKK-MGARCH模型檢驗了中日韓三國的匯率波動，指出了其具有正向協(xié)同波動關(guān)系，其聯(lián)合干預(yù)對匯率協(xié)同波動有顯著的政策效應(yīng)[6]。因此本文引入嵌套阿基米德Copula模型，實證研究外匯市場之間的匯率協(xié)同波動相關(guān)性。

二、相關(guān)理論知識

（一）E-GARCH模型

GARCH模型能夠描述金融序列異方差性，但由于GARCH模型中，正和負(fù)沖擊對條件方差的影響是對稱的，因此GARCH模型不能刻畫收益率條件方差波動的非對稱性，Nelson（1991）提出E-GARCH可較好地擬合非對稱波動模型，該模型（Exponential GARCH Model）由均值方程、條件方差方程組成，形式如下：

Rt=f（t，xt-1，xt-2，…）+？著t？著t=？滓tztLn（？滓■■）=？琢0+■？琢ig（zt-i）+■？酌jln（？滓■■）（1）

文忠橋、馮德海在《金融危機下我國股票市場波動非對稱性的實證研究》文中，充分證明了該模型對非對稱金融數(shù)據(jù)的擬合效果。

（二）Archimedean copulas理論

阿基米德生成元（簡稱生成元）是一連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)遞減下凸的函數(shù)？漬，滿足？漬（0）=1，？漬（∞）：=limt→∞？漬（t）=0。阿基米德的N維copula函數(shù)形式如下：

C（？滋；？漬）=？漬（？漬-1（？滋1）+…+？漬-1（？滋d）），？滋？綴[0，1]d（2）

McNeil AJ （2009）已經(jīng)證明了定義高維阿基米德生成元的單調(diào)性。其中？漬-1為？漬的逆，形式如下：

（？漬-1）（t）=■（3）

（三）嵌套阿基米德

嵌套阿基米德分為全嵌套阿基米德Copula（fully nested Archimedean copula）和部分嵌套阿基米德Copula（partially nested Archimedean copula），它能由隨機變量間的尾部相關(guān)性對數(shù)據(jù)進行初始分類，兩兩組合，逐步構(gòu)造二元Copula來實現(xiàn)高維Copula建模。這種方法把握住了隨機變量間的主要關(guān)系，極大地減少了計算量，使高維建模變得簡單。然而，這種建模方法只適用于阿基米德族Copula函數(shù)，同時要求各層間的相關(guān)系數(shù)逐漸變小。全網(wǎng)絡(luò)法和部分網(wǎng)絡(luò)法結(jié)構(gòu)圖如圖1、圖2所示：

阿基米德Copula由一個完全單調(diào)的算子形成，所包含的函數(shù)種類繁多。金融資產(chǎn)發(fā)生波動時，我們對其某一資產(chǎn)收益率隨另一個資產(chǎn)收益率下跌的情況比較關(guān)注，即對金融市場間的下尾相關(guān)系數(shù)比較關(guān)注。因此我們采用阿基米德Copula函數(shù)族中能夠很好地描述下尾相關(guān)性的Clayton Copula來建模[7]，其函數(shù)表達式如下：

其中，θ為Clayton Copula 系數(shù)。

對于隨機變量U=（？滋t，…，？滋n），其對應(yīng)的多元聯(lián)合密度函數(shù)f為

Joe（1996）給出用于構(gòu)建Pair-Copula的條件邊際分布：

定義h函數(shù)：

其中，？專為u和v的聯(lián)合Copula分布函數(shù)的參數(shù)集。

三、分層條件Copula構(gòu)造方法

（一）由于E-GARCH模型對金融收益率的尖峰后尾特性能夠較好地擬合，本文用E-GARCH系列模型對邊緣分布建模，并提取標(biāo)準(zhǔn)化殘差；

（二）檢驗各標(biāo)準(zhǔn)殘差序列，并概率積分變換計算，（0，1）區(qū)間內(nèi)的均勻分布；

（三）進行Copula模型似合估計，得出兩兩金融序列的相關(guān)系數(shù)；

（四）以上一步為基礎(chǔ)，遞歸循環(huán)通過h函數(shù)（11）式，建立嵌套Copula模型，研究金融市場間波動相關(guān)性。

四、實證研究

（一）樣本選擇與描述性統(tǒng)計

匯率市場的國際化，其波動直接影響到國內(nèi)進出口、物價、資本流動等，分析其波動的相關(guān)性尤為重要。有利于金融機構(gòu)對匯率風(fēng)險準(zhǔn)確測度。本文選取了以人民幣為中間價的人民幣對美元、人民幣對港幣、人民幣對歐元的日收益率作為研究對象，日收益率為Rt=100×ln（Pt/Pt-1）。

以2005年1月4日至2012年11月20日作為樣本期間，通過Copula函數(shù)來分析3個外匯市場間上下尾相關(guān)系數(shù)的變化。所有數(shù)據(jù)來源于中國貨幣網(wǎng)。

通過對序列描述性統(tǒng)計性特征分析可以發(fā)現(xiàn)，三個序列的收益率偏度、峰度和JB檢驗量均表示市場的收益率不服從正態(tài)分布，表明無法使用傳統(tǒng)的正態(tài)假設(shè)建立模型。三個時期股指日收益率統(tǒng)計性特征分別如下圖所示：

（二）邊際分布建模

大量金融實證研究表明，金融數(shù)據(jù)具有尖峰厚尾特性及ARCH效應(yīng)。E-GARCH模型可以很好地刻畫ARCH效應(yīng)，也能對非對稱尖峰厚尾數(shù)據(jù)很好描述。Glosten、Jagannathan與Runkel（1989）提出了GJR模型，來衡量收益率波動的非對稱性，在條件方差方程加入負(fù)沖擊的杠桿效應(yīng)，但仍采用正態(tài)分布假設(shè)。Nelson（1991）提出了E-GARCH模型。Glosten、Jagannathan與Runkel（1993）分析比較了各種GARCH-M模型，指出不同的模型設(shè)定會導(dǎo)致條件方差對收益率產(chǎn)生正或負(fù)的不同影響。本文通過對幾類GARCH建模及檢驗比較選擇，采用E-GARCH（1，1）模型來擬合收益率序列，其參數(shù)估計及檢驗結(jié)果如下：

從幾類GARCH建模及檢驗結(jié)果來看，E-GARCH（1，1）模型對數(shù)據(jù)擬合效果好。

（三）嵌套阿基米德條件Copula建模

提取標(biāo)準(zhǔn)殘差序列進行概率積分變換，轉(zhuǎn)換成獨立同分布的（0，1）區(qū)間上的均勻分布，并進行Copula建模。從散點圖（圖4-2）中可以看出兩兩之間有較強的相關(guān)性，其kendal，spearman系數(shù)表2、表3如下所示：

在阿基米德Copula函數(shù)族中，已有研究表明Clayton Copula函數(shù)能夠較好描述下尾相關(guān)性，所以本文采用Clayton Copula函數(shù)進行分析，通過所建模型對三種外匯市場數(shù)據(jù)兩兩分析得到下尾相關(guān)性系數(shù)，條件Copula下的下尾相關(guān)系數(shù)表如下。

由表5可知美元與港幣的相關(guān)性較強，而歐元由于其特殊區(qū)域性，與美元港元的波動通過此模型并未表現(xiàn)明顯關(guān)聯(lián)波動。由此可進一步判斷出外匯市場下尾波動的協(xié)同性，也可以通過類似的分析方法來判斷外匯市場之間風(fēng)險傳染的路徑。如上分析數(shù)據(jù)我們可以得到美元在下尾的波動會直接對歐元港幣有影響，而歐元的下尾波動并沒有對美元及港幣的波動有明顯相關(guān)性。通過該模型分析，可以有助于減少人們在外匯市場上的操作風(fēng)險，并能分析出風(fēng)險的傳遞路徑。

五、結(jié)論與展望

嵌套阿基米德Copula是一個靈活有擴展研究的高維建模工具，而通常使用的Copula如T-copua，高斯Copula等工具的限制條件較多，計算工作量較大，本文通過嵌套阿基米德Copula高維建模，分析2005年1月4日至2012年11月20日作為樣本期間的金融外匯資產(chǎn)相關(guān)性，主要考察其下尾波動協(xié)同影響。實證研究結(jié)果表明外匯市場下尾波動有一定的相關(guān)性，并可推斷出其波動傳遞性，通過本文的研究成果對外匯市場波動傳染效應(yīng)有較大的參考價值。由本文可看出嵌套阿基米德Copula有很高的靈活性、適用性，與其他類Copula相比有減少了大量的計算、宜于構(gòu)建高維模型等特點，但本文目前只進行了三維建模，未來可以進行更高維的建模及進一步對金融資產(chǎn)風(fēng)險的實證分析等工作，擴展阿基米德族函數(shù)，從而促進該模型更加適用。■

（責(zé)任編輯：王艷）

參考文獻：

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Quantitative Finance，2004（4）： 339-352.

[2]Marius Hofert，Matthias Scherer： CDO pricing with

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[3]Nelson，D.B.Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns： a New Approach[J]. Econometrica， 1991（59）： 347-70.

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[5]文忠橋，馮德海.金融危機下我國股票市場波動非對稱性的實證研究[J].大慶師范學(xué)院學(xué)報.2010，（2）：31-35.

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[7]韋艷華，張世英.Copula技術(shù)及其在金融時間序列分析上的應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程，2003（增刊）：41-45.