Lyapunov函數(shù)在一類二階系統(tǒng)中的應用研究

摘要：穩(wěn)定性是一個系統(tǒng)正常運行的首要條件，設計和分析系統(tǒng)的一個關(guān)鍵就是對該系統(tǒng)進行判穩(wěn)。Lyapunov穩(wěn)定性理論對現(xiàn)代控制做出了貢獻，而應用該理論時，一個關(guān)鍵問題就是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。本文基于Lyapunov穩(wěn)定定理，介紹了一種二階系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法，并列舉了兩個例子，通過實例證明了本文所提出的方法的有效性。

關(guān)鍵詞：Lyapunov函數(shù)；穩(wěn)定性；應用研究

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）09-0091-03

一、引言

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件，它描述初始條件作用下系統(tǒng)方程的解是否具有收斂性，與輸入作用無關(guān)。當系統(tǒng)采用狀態(tài)空間描述后，俄國學者Lyapunov在19世紀末提出的穩(wěn)定性理論，不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，還適于多變量、非線性、時變系統(tǒng)，在現(xiàn)代控制系統(tǒng)的發(fā)展及應用中不斷得到發(fā)展。

應用Lyapunov方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其關(guān)鍵在于構(gòu)造Lyapunov函數(shù)。文獻[2]研究了一類常系數(shù)三階線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造問題，給出了構(gòu)造條件及構(gòu)造方法，文獻[3]和[4]在基于文獻[2]的基礎上，討論了關(guān)于三階非線性系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造問題，不同的是，文獻[3]探討的是關(guān)于系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，而文獻[4]研究的是部分變元的漸進穩(wěn)定性穩(wěn)定。關(guān)于常見的二階系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造問題很少涉及，一般情況下均是依據(jù)設計人的經(jīng)驗，經(jīng)過多次嘗試后得到的，而并沒有一般的原則與方法，本文在此方面做了一定的研究，針對一類特殊的二階系統(tǒng)給出了一個簡潔而有效的構(gòu)造方法。

二、一類二階系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造

穩(wěn)定性的物理意義是指一個系統(tǒng)的響應是否有界，這就是Lyapunov穩(wěn)定性數(shù)學概念的基礎。它規(guī)定了三種情況，對于系統(tǒng)初值的一個擾動，如果系統(tǒng)響應的幅值是有界的，那么這個系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，反之就是不穩(wěn)定。另外，如果系統(tǒng)的響應最終回到初始狀態(tài)，則這個系統(tǒng)就叫漸近穩(wěn)定的。因此，穩(wěn)定、漸進穩(wěn)定和不穩(wěn)定，就是Lyapunov定義的三種情況。

作者在文獻[7，8]中針對一類特殊的二階系統(tǒng)，提出一種構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的方法。由于大部分實際系統(tǒng)在一定條件下可以近似等效為一個二階系統(tǒng)，所以研究二階系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法是具有現(xiàn)實意義的。

三、算法驗證

四、結(jié)語

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出了一種構(gòu)造一類特定二階系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)方法，只要系統(tǒng)滿足本文所給出的幾種條件，則應用本文的方法來確定其Lyapunov函數(shù)是方便的。文中通過兩個實例對算法的可行性進行了驗證。當然，本文所提出的方法仍然有較大的局限性，依然需要不斷的探索與研究。

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基金項目：重慶郵電大學博士啟動基金（A2012-26）

作者簡介：李永福（1984-），男，博士，講師，主要研究CPS，控制理論與應用等。