數(shù)學(xué)“基本活動經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)探究

王惠

2011年12月《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》正式頒布，與2001版《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相比，“基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”作為新增內(nèi)容納入數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之中，使 “雙基”課標(biāo)擴(kuò)展成為“四基”課標(biāo).新版課程標(biāo)準(zhǔn)還特別強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)準(zhǔn).幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果.”充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能，只有通過一定的“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)”才能內(nèi)化成為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，使之成為學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課題.

一、“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”及其意義

作為數(shù)學(xué)教師，要使課堂教學(xué)體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，讓學(xué)生在課堂教學(xué)的過程中不斷積累“活動經(jīng)驗(yàn)”，就要對“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”有一個(gè)清晰的認(rèn)識和全面的理解.本人查閱了許多關(guān)于“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)” 的相關(guān)論述，摘錄了部分經(jīng)典論述如下：

“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動的過程中所形成的感性的知識、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識.”

“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)是建立在人們的感覺基礎(chǔ)上的，又是在活動過程中具體體現(xiàn)的，與形式化的數(shù)學(xué)知識相比，它沒有明確的邏輯起點(diǎn)，也沒有明顯的邏輯結(jié)構(gòu)，是動態(tài)的、隱性的和個(gè)人化的.”

“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，專指對具體、形象的事物進(jìn)行具體操作所獲得的經(jīng)驗(yàn)，以區(qū)別于廣義的數(shù)學(xué)思維所獲得的經(jīng)驗(yàn).”

“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)有兩個(gè)層面.從靜態(tài)上看，它是一種從屬于學(xué)生自己的‘主觀性知識，學(xué)生經(jīng)過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后對整個(gè)數(shù)學(xué)活動過程產(chǎn)生的認(rèn)識，包括體驗(yàn)、感悟、經(jīng)驗(yàn)等，雖然這只是學(xué)習(xí)個(gè)體主觀上粗淺的、感性的認(rèn)識，或者是不那么嚴(yán)格的隱性認(rèn)識，但這種經(jīng)驗(yàn)是有意義有價(jià)值的.從動態(tài)上看，它是過程，是經(jīng)歷.積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)更關(guān)注過程的教學(xué)，‘經(jīng)歷過程不僅僅是讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程、知識的呈現(xiàn)方式，更是探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程等等，從而積累觀察、操作、猜想、歸納推廣等活動經(jīng)驗(yàn).”

雖然這些論述各有不同，但目標(biāo)指向是一致的，我們還看到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，形成創(chuàng)新能力，就需要學(xué)生積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)活動的目的，就是讓學(xué)生逐步達(dá)到對數(shù)學(xué)知識的意會、感悟，積累解決問題和分析問題的基本經(jīng)驗(yàn)，將這些經(jīng)驗(yàn)遷移到后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.

二、設(shè)計(jì)適合學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)活動，獲取有效的“基本活動經(jīng)驗(yàn)”

在教學(xué)中設(shè)計(jì)適合學(xué)生的有效的數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生從已有的經(jīng)驗(yàn)和豐富的直觀案例開始，在經(jīng)歷思考的過程中，積累有效的活動經(jīng)驗(yàn)，感受到數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的本質(zhì)，從而理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)的理性精神.

1.在閱讀思考中豐富學(xué)生的理性知識

數(shù)學(xué)課本是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的文本工具，讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真讀書、用心思考、仔細(xì)體會的習(xí)慣，是學(xué)生獨(dú)立獲取知識的主要途徑，也是學(xué)生直觀感悟數(shù)學(xué)知識的重要手段.

課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，一定要根據(jù)授課內(nèi)容有選擇性地進(jìn)行.例如，對于數(shù)學(xué)教材中的公式、法則、性質(zhì)、概念等，要求學(xué)生沿著教材所揭示的知識發(fā)生、發(fā)展順序追根溯源，循著知識脈絡(luò)閱讀.又如，針對教材中的重點(diǎn)內(nèi)容精讀時(shí)，要依著數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)和推理的依據(jù)，在逐字逐句閱讀的基礎(chǔ)上注重要點(diǎn)、把握精髓，使學(xué)生在復(fù)雜的事實(shí)中，發(fā)現(xiàn)事物的細(xì)微變化及本質(zhì)特征，在充分感知的基礎(chǔ)上，思考和發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而上升為理性認(rèn)識.

2.在合作探究中提高學(xué)生的情緒體驗(yàn)

數(shù)學(xué)活動是經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生的源泉，離開了數(shù)學(xué)活動，就不會形成有意義的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究、合作交流的過程，也是學(xué)生體驗(yàn)“活動”的過程，面對新的情境和問題，學(xué)生需要調(diào)動自己已有的經(jīng)驗(yàn)去同化這個(gè)新的情境和問題，并在學(xué)習(xí)的過程中與原有的知識進(jìn)行融合，這個(gè)過程本身又是一個(gè)積極主動的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)過程.

通過對已有知識的概括和對已有經(jīng)驗(yàn)的拓展，不斷用原有知識解決新的問題，使學(xué)生積累如何去發(fā)現(xiàn)問題、如何去研究問題的經(jīng)驗(yàn)，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力的重要途徑.

3.在演繹證明中升華學(xué)生的推理能力

推理能力的提高和升華不同于知識和技能的掌握，需要一個(gè)長期緩慢的過程，在學(xué)習(xí)中，學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的過程等都是經(jīng)驗(yàn)的形成的過程，教師在教學(xué)中，把學(xué)生的這種推理能力融合在教與學(xué)的過程之中，將已有的推理經(jīng)驗(yàn)作為推理教學(xué)的再生資源，通過演繹證明為學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)，為拓展學(xué)生的思維提供了條件.

例如：“三角形內(nèi)角和定理”的學(xué)習(xí)是在小學(xué)已經(jīng)得出的“三角形內(nèi)角和為180度”的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在定理的證明上，其中難點(diǎn)是輔助線的導(dǎo)出.在教學(xué)中通常是讓學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)紙質(zhì)三角形，將其中兩個(gè)角剪下與第三個(gè)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和為180度”，從而使學(xué)生得出作平行線這一方法達(dá)到證明的目的（如圖3）.

在這個(gè)問題的教學(xué)中，如果以剛學(xué)過的“兩平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補(bǔ)”作鋪墊，將其中一條直線繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在動態(tài)演示過程中，將“兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)”轉(zhuǎn)化為“三角形內(nèi)角和為180度”的方法，不僅揭示了定理的形成過程，而且使學(xué)生明白三角形內(nèi)角和與平行線性質(zhì)間的關(guān)系，自然地添加輔助線使定理得到證明，這樣設(shè)計(jì)更能深化學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的推理能力（如圖4）.

4.在抽象概括中培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力

在課堂教學(xué)中，要?dú)w納總結(jié)的知識有很多，作為教師除了對書本知識的歸納總結(jié)外，更要善于對分析問題的方法進(jìn)行歸納與總結(jié).將常用解題方法、易錯(cuò)易混知識點(diǎn)，尤其是數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系歸納好，學(xué)習(xí)能力就會得到顯著提高.

例如：（握手問題）若每兩個(gè)人握手1次，則3個(gè)人共握手幾次？4個(gè)人共握手幾次？……n個(gè)人共握手幾次？

圖5對于初中學(xué)生來說，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律并不容易，教學(xué)時(shí)可借助圖形的直觀簡明地分析問題.如果把“人”抽象成“點(diǎn)”，“兩個(gè)人握手1次”抽象成“兩點(diǎn)之間連接一條線段”（如圖5），對于n個(gè)點(diǎn)中的任何一個(gè)點(diǎn)，它與其他的（n-1）個(gè)點(diǎn)可以連接（n-1）條線段，因而n個(gè)點(diǎn)可共連接n（n-1）條線段.因?yàn)閮牲c(diǎn)之間有且只有一條線段，所以可共連接n（n-1）2條線段.

有了這樣的認(rèn)識后，運(yùn)用歸納的方法列表探索如下規(guī)律：

握手問題變式：一列火車往返于兩個(gè)城市之間，每次運(yùn)行停靠n站（包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站），鐵路部門應(yīng)發(fā)售多少種不同的車票？顯然，這個(gè)問題與握手問題有差異，如果把車票看成“線段”，這里的線段是有向的，結(jié)論就為n（n-1）.

在問題解決的過程中，將獲得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思提煉，使學(xué)生通過抽象概括的活動過程，為以后類似問題的解決提供了范例.

5.在課題研究中強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐能力

與《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相比，《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》在“綜合與實(shí)踐”課程的設(shè)置上突出了“經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程”的研究課題.例如：八年級教材安排的研究課題“一元一次不等式與一元一次方程、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用”，就是通過從現(xiàn)實(shí)生活或具體情景中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的“一次模型”的案例，對這個(gè)小課題的研究結(jié)果，不僅有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用能力，還為九年級學(xué)習(xí)“一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用”提供了問題研究的方法，使“基本活動經(jīng)驗(yàn)”轉(zhuǎn)化融入到新的學(xué)習(xí)之中.

在教學(xué)中教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際指導(dǎo)學(xué)生開展小課題活動，體現(xiàn)了“綜合與實(shí)踐”有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識與方法，有助于正確認(rèn)識數(shù)學(xué)，有助于促進(jìn)學(xué)生的一般發(fā)展具有較高的課程教育價(jià)值.

三、獲取“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”的教學(xué)中應(yīng)注意的問題

1.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要有明確的教學(xué)活動目標(biāo).進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的目的是讓學(xué)生通過探究、預(yù)測、推理、概括、總結(jié)、反思等過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，逐步達(dá)

到對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，因此每節(jié)課都應(yīng)有明確的目標(biāo)，以形成一個(gè)嚴(yán)密的推進(jìn)過程.

2.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要重視活動近期效果和遠(yuǎn)期學(xué)生收獲.不能只重形式，走過場，為了活動而活動，使活動失去意義.

3.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合.通過對數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識、數(shù)學(xué)材料的具體操作和形象探究活動等親身體驗(yàn)，使學(xué)生在各種活動中積累知識和技能.

數(shù)學(xué)教學(xué)需要讓學(xué)生親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，從而獲得最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價(jià)值的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).在教學(xué)中既不要希望學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)通過一二次活動就練成，要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累，又要對學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)積累有堅(jiān)定的信心，因?yàn)橹挥蟹e累到一定的量，才會有質(zhì)的飛躍.要讓學(xué)生在親歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中累積，要讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.