淺談三角板在初中數(shù)學(xué)解題中的作用

張建懷

從小學(xué)到中學(xué)，一副小小的三角板幾乎是每個(gè)人上學(xué)必備的最簡(jiǎn)單、實(shí)用的學(xué)習(xí)用具.作為工具，三角板可以進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何作圖，可以進(jìn)行基本的測(cè)量，而更多的則是作為命題的載體出現(xiàn)在我們的面前.充分認(rèn)識(shí)三角板，掌握三角板本身具有的數(shù)與形的特點(diǎn)，將會(huì)給我們的解題帶來(lái)極大的幫助.本文將以中考題為例加以說(shuō)明.

一、利用三角板的三邊關(guān)系，解決三角函數(shù)問(wèn)題

在一副三角板中，含45°銳角的三角板三邊之比為1∶1∶2，含30°銳角的三角板三邊之比為1∶3∶2，利用這個(gè)結(jié)果，可以很快“看出”題目的答案.

例1（2009，廣東中山）如圖1所示，A、B兩城市相距100km. 現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi). 請(qǐng)問(wèn)：計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)， 為什么？（參考數(shù)據(jù)：3≈1732，2≈1414）

分析：過(guò)點(diǎn)P作AB邊上的高PC，得到的Rt△APC和Rt△BPC剛好就相當(dāng)于一副三角板，利用三邊關(guān)系，可設(shè)AC=x，則PC=BC=3x，再利用AC+BC=AB=100，列出方程求解即可.

答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū).

二、通過(guò)三角板的操作實(shí)踐，解決幾何中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

將三角板按照特定的方式進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用三角板的特殊邊角關(guān)系，借助三角形的全等知識(shí)，即可解決問(wèn)題.

例2（2010，黑龍江牡丹江）在平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB=90°）和直線l.過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（圖2-1），易證：AF+BF=2CE.當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2-2、圖2-3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)直接寫出線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系的猜想（不需證明）.

圖2-1圖2-2圖2-3分析：圖形變換改變了圖形的位置，但不改變圖形的大小和形狀.將變化后的圖形與圖2-1進(jìn)行對(duì)比，容易聯(lián)想到構(gòu)造正方形的輔助線的作法.至于線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系，則可以由三角形的全等得到.

解：圖2-2結(jié)論成立，證明如下.

三、利用三角板建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問(wèn)題

把題目中隱含的三角板找出來(lái)，利用其邊角關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)問(wèn)題的解決將會(huì)有出其不意的效果.

例4（2009，福建廈門）我們知道，當(dāng)一條直線與一個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線與這個(gè)圓相交.類似地，我們定義：當(dāng)一條直線與一個(gè)正方形有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱這條直線與這個(gè)正方形相交.

當(dāng)直線y=-3x+b與正方形OABC相交時(shí)，一定也與線段OB相交，且交點(diǎn)不與點(diǎn)O、 B重合.故直線y=-3x+b也一定與線段OF1相交，記交點(diǎn)為F，則 F不與點(diǎn)O、 F1重合，且OF=d.

（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，并證明點(diǎn)A在直線l上；

（2）求二次函數(shù)解析式；

（3）過(guò)點(diǎn)B作直線BK∥AH交直線l于K點(diǎn)，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.

分析：本題是一個(gè)綜合性比較強(qiáng)的題目，特別是第（3）小題.若能發(fā)現(xiàn)圖中隱含的三角板型的三角形并利用其邊角性質(zhì)來(lái)解題，問(wèn)題將迎刃而解.如圖5-2，由直線l的解析式y(tǒng)=33x+3，易得∠KAB=30°，再由AB與AH關(guān)于直線l對(duì)稱，可得∠HAB=60°，過(guò)K作KD⊥x軸于點(diǎn)D，又因?yàn)锽K∥AH，得到∠KBD=∠HAB =60°，進(jìn)而得到三角板型的三角形如△AKD、△BKD.求最小值時(shí)作點(diǎn)K關(guān)于直線AH的對(duì)稱點(diǎn)Q，連結(jié)BQ后得到的△BQK也是一個(gè)三角板型的三角形，易得HN+NM+MK的最小值為BQ，等于8.

三角板是學(xué)生最熟悉的一種數(shù)學(xué)工具，利用三角板的拼接可以得到不同大小的角、特殊的三角形、特殊的平行四邊形、梯形等幾何圖形；利用三角板還可以畫平行線、角的平分線、線段的垂直平分線、畫線段的黃金分割點(diǎn)等.作為命題的載體，近年的中考題常見(jiàn)有借助于三角板來(lái)考察圖形的變換、銳角三角函數(shù)、三角形的全等與相似等知識(shí)點(diǎn)，乃至在較難的綜合題中也常常出現(xiàn)三角板的影子，而三角板自身的邊角關(guān)系的確為解題提供了極大的方便.所以，小小的三角板，往往可以解決大問(wèn)題，這就要求我們?cè)谧鲱}的過(guò)程中有敏銳的觀察力，善于觀察，積極思考，逐步提高解決問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)

[1]范良火.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)九上 [M].杭州：浙江教育出版社， 2007.

[2]杜恒斌.三角板在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)用的實(shí)踐與研究[J] .浙江省初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀論文集，衢州，2009.